Reihen und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:49 Sa 03.12.2011 | | Autor: | hubbel |
| Aufgabe | Sei j [mm] \in \IN. [/mm] Untersuchen Sie folgende Reihen und Konvergenz bzw. Divergenz.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^j}{k!}, \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)}, \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{10k+1} [/mm] |
Wie genau würde man beispielsweise an die erste Aufgabe ran gehen? Mit dem Limes geht das bei Summen nicht oder?
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Hallo hubbel,
hast du kein "Hallo" und "Tschüss" für uns übrig?
Traurig ist das!
> Sei j [mm]\in \IN.[/mm] Untersuchen Sie folgende Reihen und
> Konvergenz bzw. Divergenz.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \bruch{k^j}{k!}, \summe_{k=1}^{\infty} \bruch{1}{k(k+1)}, \summe_{k=0}^{\infty} \bruch{1}{10k+1}[/mm]
>
> Wie genau würde man beispielsweise an die erste Aufgabe
> ran gehen? Mit dem Limes geht das bei Summen nicht oder?
1) Quotientenkriterium
2,3) Vergleichskriterium
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 Sa 03.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ah, ok, verstehe, jetzt mal zur ersten und zwar weiß ich, dass das Quotientenkriterium wie folgt lautet:
[mm] |\left \bruch{z_{k+1}}{z_k} \right|\le [/mm] q
Nur verstehe ich nicht, wie ich das anwenden kann...
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Hallo hubbel,
> Ah, ok, verstehe, jetzt mal zur ersten und zwar weiß ich,
> dass das Quotientenkriterium wie folgt lautet:
>
> [mm]|\left \bruch{z_{k+1}}{z_k} \right|\le[/mm] q
>
> Nur verstehe ich nicht, wie ich das anwenden kann...
Im Fall der ersten Reihe ist
[mm]z_{k}=\bruch{k^{j}}{k!}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:11 Sa 03.12.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm] |\left( \bruch{\left( \bruch{k^{j+1}}{k!} \right)}{\left( \bruch{k^j}{k!} \right)} \right)|\le [/mm] q
Wäre das korrekt? Und was wäre q? In meinem Skript steht q [mm] \in(0,1)
[/mm]
Aber was genau heißt das? Bzw. was kann ich damit anfangen?
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Hallo nochmal,
> [mm]|\left( \bruch{\left( \bruch{k^{j+1}}{k!} \right)}{\left( \bruch{k^j}{k!} \right)} \right)|\le[/mm]
> q
>
> Wäre das korrekt? Und was wäre q? In meinem Skript steht
> q [mm]\in(0,1)[/mm]
>
> Aber was genau heißt das? Bzw. was kann ich damit
> anfangen?
Berechne [mm] $\lim\limits_{k\to\infty}$ [/mm] vom dem obigen Betragausdruck.
Wenn das $q$ ist mit $q<1$, dann hast du (absolute) Konvergenz der Reihe, falls $q>1$, so divergiert die Reihe.
Bei $q=1$ bekommst du keine Aussage ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:49 Sa 03.12.2011 | | Autor: | hubbel |
[mm] \left( \bruch{k^{j+1}}{k!} \right)
[/mm]
Wie bestimme ich die Konvergenz davon allgemein? Ich mein, ich kann das ganze auch umschreiben in:
[mm] \bruch{1}{k!}*(k^0+k^1+k^2+...+k^j)
[/mm]
Ansich muss ich ja nun zeigen, dass k! größer ist als [mm] k^j [/mm] damit das ganze gegen 0 konvergiert, wie mach ich das? Und wie kann ich mit [mm] k^{j+1} [/mm] das analog machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:17 Sa 03.12.2011 | | Autor: | leduart |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo
was machst du da?
1. in $ |\left( \bruch{\left( \bruch{k^{j+1}}{k!} \right)}{\left( \bruch{k^j}{k!} \right)} \right)|\le $
ist fast alles falsch. j ist eine feste zahl, die mit der Summation nichts zu tun hat. dein a_k ist
\bruch{k^j}{k!} ann ist a_{k+1}=\bruch{(k+1)^j{(k+1)!}
jetzt dividieren und soweit kürzen und vereinfachen, dann fesstellen ob du zeigen kannst dass es kleiner 1 ist und für k gegen \infty auch kleiner 1 bleibt.
wie du auf $ \bruch{1}{k!}\cdot{}(k^0+k^1+k^2+...+k^j) $
kommst versteh ich nicht, du siehst dir doch nur den quotienten von 2 aufeinanderfolgenden summanden der Summe an?
Gruss leduart
Gruss
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 03:13 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Oh man, natürlich muss ich k laufen lassen, sorry, ganz verpennt.
Das ganze muss so aussehen oder?
[mm] |\left( \bruch{\left( \bruch{(k+1)^j}{(k+1)!} \right)}{\left( \bruch{k^j}{k!} \right)} \right)|<1 [/mm]
Sprich, ich muss zeigen, dass eben dies gilt oder?
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Hallo hubbel,
> Oh man, natürlich muss ich k laufen lassen, sorry, ganz
> verpennt.
>
> Das ganze muss so aussehen oder?
>
> [mm]|\left( \bruch{\left( \bruch{(k+1)^j}{(k+1)!} \right)}{\left( \bruch{k^j}{k!} \right)} \right)|<1[/mm]
>
> Sprich, ich muss zeigen, dass eben dies gilt oder?
Von diesem AUsdruck zwischen den Betragsstrichen,
musst Du zeigen, dass dieser betragsmäßig kleiner 1 ist.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ok, habe das mal soweit umgeformt, wie ich konnte:
[mm] |\left( \bruch{(k+1)^j}{(k+1)!} \right)* \left( \bruch{k!}{k^j} \right)|=|\left( \bruch{(k+1)^j}{(k+1)*k!} \right)*\left( \bruch{k!}{k^j} \right)| =|\left( \bruch{(k+1)^j}{(k+1)*k^j} \right)|=|\left( \bruch{(k+1)^{j-1}}{k^j} \right)|
[/mm]
Jetzt wüsste ich erstmal nicht, wie ich weitermachen müsste, jemand eine Idee? Bzw. stimmt das bis dahin?
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Hallo nochmal,
> Ok, habe das mal soweit umgeformt, wie ich konnte:
>
> [mm]|\left( \bruch{(k+1)^j}{(k+1)!} \right)* \left( \bruch{k!}{k^j} \right)|=|\left( \bruch{(k+1)^j}{(k+1)*k!} \right)*\left( \bruch{k!}{k^j} \right)| =|\left( \bruch{(k+1)^j}{(k+1)*k^j} \right)|=|\left( \bruch{(k+1)^{j-1}}{k^j} \right)|[/mm]
>
> Jetzt wüsste ich erstmal nicht, wie ich weitermachen
> müsste, jemand eine Idee? Bzw. stimmt das bis dahin?
Jo, stimmt, ich würde im letzten Schritt die [mm](k+1)[/mm]-Terme nicht zusammenfassen, sondern das [mm](k+1)^j[/mm] und das [mm]k^j[/mm]:
[mm]\frac{(k+1)^j}{(k+1)\cdot{}k^j}=\frac{1}{k+1}\cdot{}\left(\frac{k+1}{k}\right)^j=\frac{1}{k+1}\cdot{}\left(1+\frac{1}{k}\right)^j[/mm]
Hier siehst du "besser", was nun für [mm]k\to\infty[/mm] passiert ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, ok, das ist ja eindeutig, dass es gegen 0 läuft, alles klar, danke.
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} \left \bruch{1}{k(k+1)} \right
[/mm]
Vergleichskriterium ist ja das Majorantenkriterium, es gilt also:
[mm] |\summe_{k=n}^{\infty} z_k|\le \summe_{k=n}^{\infty}a_k
[/mm]
Wie wende ich das an? Und was ist [mm] a_k?
[/mm]
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Hallo nochmal,
> Ja, ok, das ist ja eindeutig, dass es gegen 0 läuft, alles
> klar, danke.
Genau, also Konvergenz der Reihe gem. QK
>
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty} \left \bruch{1}{k(k+1)} \right[/mm]
>
> Vergleichskriterium ist ja das Majorantenkriterium,
> es gilt also:
>
> [mm]|\summe_{k=n}^{\infty} z_k|\le \summe_{k=n}^{\infty}a_k[/mm]
>
> Wie wende ich das an? Und was ist [mm]a_k?[/mm]
Es ist [mm]\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k^2+k}\le\frac{1}{k^2}[/mm] für alle [mm]k\in\IN[/mm]
Was weißt du über die Reihe [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2}[/mm] ?
Und allg. über die Reihen des Typs [mm]\sum\limits_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^s}[/mm] für [mm]s\in\IR[/mm] ?
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:54 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Nunja, die Reihen von [mm] 1/k^s [/mm] konvergieren gegen einen festen Wert, aber wie kann ich damit argumentieren?
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Hallo nochmal,
> Nunja, die Reihen von [mm]1/k^s[/mm] konvergieren gegen einen festen
> Wert,
Nee, nur für $s>1$, für [mm] $s\le [/mm] 1$ divergieren sie, die harmonische Reihe ist "Grenzreihe" zwischen den konvergenten und divergenten Reihen dieses Typs
> aber wie kann ich damit argumentieren?
Hier hast du mit der im Vergleich zur Ausgangsreihe größeren Reihe [mm] $\sum_k\frac{1}{k^2}$ [/mm] eine konvergente Majorante gefunden (s=2)
Damit konvergiert deine kleinere Ausgangsreihe auch - wogegen ist je egal, das ist nicht Ziel der Untersuchung
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Logisch, verstanden, danke.
Jetzt noch zur letzten kurz.
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left \bruch{1}{10k+1} \right
[/mm]
Wir haben als Tipp bekommen, man könne das ganze auf eine uns bekannte Reihe beziehen:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left \bruch{(-1)^k}{k+1} \right
[/mm]
Aber verstehe nicht, inwiefern uns das hilft, denn durch die [mm] (-1)^k [/mm] divergiert das ganze doch oder? Weil es einmal posivtiv und einmal negativ wird.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Logisch, verstanden, danke.
>
> Jetzt noch zur letzten kurz.
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left \bruch{1}{10k+1} \right[/mm]
>
> Wir haben als Tipp bekommen, man könne das ganze auf eine
> uns bekannte Reihe beziehen:
Wohl wahr...
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left \bruch{(-1)^k}{k+1} \right[/mm]
... aber sicher nicht auf die.
Es gilt für k[mm]\ge[/mm]1 die Ungleichung [mm]\bruch{1}{10k+1}\ge\bruch{1}{11k}=\bruch{1}{11}*\bruch{1}{k}[/mm]
Gruß Abakus
>
> Aber verstehe nicht, inwiefern uns das hilft, denn durch
> die [mm](-1)^k[/mm] divergiert das ganze doch oder? Weil es einmal
> posivtiv und einmal negativ wird.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:46 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Naja, ich soll das ganze ja allgemein für [mm] k\ge0 [/mm] zeigen. Man sieht ja aber, dass das ganze konvergiert, aber ich weiß beim besten Willen nicht, wie ich das zeigen kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Naja, ich soll das ganze ja allgemein für [mm]k\ge0[/mm] zeigen.
> Man sieht ja aber, dass das ganze konvergiert, aber ich
> weiß beim besten Willen nicht, wie ich das zeigen kann.
Hallo,
die Reihe divergiert gewaltig!
Nach dem Herausziehen meines Faktors 1/11 bleibt die harmonische Reihe als divergente Minorante übrig.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:04 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich verstehe nicht, warum man 1/11 überhaupt einfach herausziehen darf, das ist doch eine Summe, ich müsste sozusagen aus jedem Summanden die 1/11 ziehen oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:08 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich verstehe nicht, warum man 1/11 überhaupt einfach
> herausziehen darf, das ist doch eine Summe, ich müsste
> sozusagen aus jedem Summanden die 1/11 ziehen oder nicht?
Ja.
Meine Abschätzung war nicht an ein bestimmtes k gebunden. Ich kann jeden Summanden so abschätzen und also auch auch jedem Summanden 1/11 ausklammern.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:58 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich weiß nicht ob ich mich nur doof anstelle, aber wenn ich jetzt mal das k eben gegen unendlich laufen lasse, dann sieht die Reihe irgendwie so aus:
1+1/11+1/21+1/32+...+1/10k+1
Ich meine die Werte werden doch immer kleiner und fallen irgendwann nicht mehr ins Gewicht, wieso divergiert das trotzdem, ich verstehs nicht...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:28 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich weiß nicht ob ich mich nur doof anstelle, aber wenn
> ich jetzt mal das k eben gegen unendlich laufen lasse, dann
> sieht die Reihe irgendwie so aus:
>
> 1+1/11+1/21+1/32+...+1/10k+1
>
> Ich meine die Werte werden doch immer kleiner und fallen
> irgendwann nicht mehr ins Gewicht, wieso divergiert das
> trotzdem, ich verstehs nicht...
Hallo,
es ist eine absolute Standardaufgabe aller Universitäten und Mathestudiengänge, dass die so genannte harmonische Reihe [mm]a_n=\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm] divergent ist. Kennst du das nicht ?!?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ja, das hatten wir auch, aber ich begreife halt nicht, wieso 1/k+1 divergiert und [mm] 1/k^2 [/mm] konvergiert.
Ich begreife auch einfach nicht, wie ich das korrekt aufschreibe und schon gar nicht, warum ich einfach 1/11 ausklammern kann, obwohl ich nur für ein einziges k=1 gesetzt habe...
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Hallo!
> Ja, das hatten wir auch, aber ich begreife halt nicht,
> wieso 1/k+1 divergiert und [mm]1/k^2[/mm] konvergiert.
Du musst dir klar machen, dass du hier eine Reihe hast, und die Glieder aufsummierst.
Das [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}[/mm] divergiert kannst du ganz leicht zeigen, indem du nur die Partialsummen mit dem index einer Zweierpotenz betrachtest.
wobei: [mm]s_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k}[/mm][mm][/mm]
[mm]s_{1}=1[/mm]
[mm]s_{2}=1+\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm]s_{4}=1+\bruch{1}{2}+\underbrace{\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}}_{\geq2*\bruch{1}{4}}
[/mm]
[mm]s_{8}= \bruch{1}{k}=1+\bruch{1}{2}+\underbrace{\bruch{1}{3}+\bruch{1}{4}}_{\geq2*\bruch{1}{4}=\bruch{1}{2}}+\underbrace{\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}+\bruch{1}{7}+\bruch{1}{8}}_{\geq4*\bruch{1}{8}=\bruch{1}{2}}.....
[/mm]
Jeder dieser Ausdrücke, die du durch zusammenfassen erhälst ist [mm]\geq\bruch{1}{2}[/mm]
Nun kann man das ganze abschätzen:
[mm]s_{2^{n}}\geq\bruch{1}{2}*n[/mm]
Das Divergiert dann für alle n.
Hoffe das hilft dir weiter.
Valerie
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Das habe ich nun verstanden, danke!
Also könnte ich bei meiner Aufgabe doch auch so argumentieren:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{10k+1} \right)=\left( \bruch{1}{10} \right)\summe_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{k+1/10} \right)
[/mm]
Nun würde ich eben das Majorantenkriterium anführen und sagen, dass das ganze noch kleiner ist als 1/k und da 1/k divergiert, muss auch das divergieren, richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:25 So 04.12.2011 | | Autor: | abakus |
> Das habe ich nun verstanden, danke!
>
> Also könnte ich bei meiner Aufgabe doch auch so
> argumentieren:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{10k+1} \right)=\left( \bruch{1}{10} \right)\summe_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{k+1/10} \right)[/mm]
>
> Nun würde ich eben das Majorantenkriterium anführen und
> sagen, dass das ganze noch kleiner ist als 1/k und da 1/k
> divergiert, muss auch das divergieren, richtig?
Nein, deine Begründung hakt.
Die Reihe 1/k divergiert, okay.
Wenn aber etwas kleiner ist als eben 1/k, könnte das ja eben dazu führen, dass es so extrem klein ist, dass es nicht mehr divergiert, sondern konvergiert.
In meiner Abschätzung mit 1/(11k) sind die Summanden kleiner als bei 1/(10k+1) und trotzdem divergiert ihre Summe. Deshalb muss die Summe von
1/(10k+1) erst recht divergieren.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:32 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ich müsste ja dann aber beweisen, dass für 1/11k die Summe divergiert, aber wie mach ich das?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 So 04.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Das habe ich nun verstanden, danke!
>
> Also könnte ich bei meiner Aufgabe doch auch so
> argumentieren:
>
> [mm]\summe_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{10k+1} \right)=\left( \bruch{1}{10} \right)\summe_{k=0}^{\infty} \left( \bruch{1}{k+1/10} \right)[/mm]
>
> Nun würde ich eben das Majorantenkriterium anführen und
> sagen, dass das ganze noch kleiner ist als 1/k und da 1/k
> divergiert, muss auch das divergieren, richtig?
genau falsch rum. etwas , das kleiner ist als eine divergierende reihe kann konvergieren! [mm] 1/k^2<1/k [/mm] für alle k>1
aber die summe über [mm] 1/k^2 [/mm] konv. die über 1/k divergiert.
richtig ist: 1/(10k+1)>1/11k für alle k>1
deshalb ist
[mm] \summe_{k=1}^{n}1/(10k+1)>\summe_{k=1}^{n}1/(11k)=1/11*\summe_{k=1}^{n}1/k
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{\infty}1/k [/mm] divergiert, also auch [mm] 1/11*\summe_{k=1}^{\infty}1/k [/mm]
und wir haben [mm] gezeigt:\summe_{k=1}^{n}1/(10k+1)>1/11*\summe_{k=1}^{\infty}1/k [/mm]
also muss auch die größere summe divergieren.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:37 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Jetzt leuchtet mir das ein! Danke euch!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:47 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Ein Problem hab ich aber noch und zwar darf ich das überhaupt benutzen? Weil meine Summe beginnt bei k=0 und das darf ich bei der abschätzung ja nicht einsetzen, weil wir sonst im Nenner 0 hätten, macht das etwas aus?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:18 Mo 05.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Wobei es eigentlich keine Rolle spielt, wenn es für k=1 divergiert, dann ja wohl auch für k=0, doofe Frage, sorry.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:06 So 04.12.2011 | | Autor: | hubbel |
Habe nochmal hierzu kurz eine Frage und zwar, muss ja für konvergenz einmal die Monotonie gelten, was ich ja jetzt bewiesen habe, aber auch, dass die Folge beschränkt ist, woher weiß ich, dass die Folge beschränkt ist? Sehe ich das einfach durch das Summenzeichen, sprich, dass die Folge erst bei k=0 beginnt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:48 So 04.12.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
a) hier geht es um Reihen, die kannst du wenn du willst als Folge von summen behandeln.
Was du hier mit montonie und Beschränktheit willst verstehe ich nicht. die Reihe konvergiert, wenn sie einen GW hat. sie konvergiert, wenn jeder Summand ab einem festen n kleiner ist als der einer Reihe von der man schon weiss, dass sie konvergiert.
Dazu habt ihr das Quotientenkriterium bewiesen. mit dem q kann man eine geometrisch konvergente Majorante finden.
sieh den Beweis für das Quotientenkriterium nach.
Ebenso solltest du den Beweis dafür, dass die harmonische reihe beliebig groß wird nachsehen. mit den 2 zusammen kapierst du warum 1/(k+1) divergiert, [mm] 1/k^2 [/mm] aber konvergiert.
auch "gefühlsmäßig werden doch die summanden bei [mm] 1/k^2 [/mm] viel schneller klein, dder hundrtste summand ist 1/10000 bei 1/(k+1) ist der 100ste Summand erst 1/101
Gruss leduart
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