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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:26 Di 14.03.2006 | | Autor: | AriR |
hey leute,
kann mir bitte einer von euch sagen, ob folgende Gleichheit gilt:
-4+ [mm] \summe_{k=0}^{\infty}(\bruch1{3}^{k-1})= \summe_{k=2}^{\infty}\bruch1{3}^{k-1}=-1+\summe_{k=0}^{\infty}\bruch1{3}^k
[/mm]
wäre nett von euch ;) Gruß Ari
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Hallo Ari und einen guten Tag,
kann es sein, dass Du in der Aufgabenstellung
[mm] \sum_{k=0}^{\infty} \left (\frac{1}{3}\right )^k [/mm]
meinst !
Mal angenommen, dass dem so ist, dann hätten wir doch
[mm] \sum_{k=0}^N\frac{1}{3^k}= \frac{1- 1\slash 3^{N+1}}{1-1\slash 3}= \frac{3}{2}\cdot (1-1\slash 3^{N+1})
[/mm]
und das konvergiert gegen [mm] \frac{3}{2}.
[/mm]
Weiterhin ergibt sich daraus
[mm] -4+\sum_{k=0}^{\infty}3^{-(k-1)}\:\: =\:\: [/mm] -4 [mm] +3\cdot \sum_{k=0}^{\infty}3^{-k}=-4+3\cdot \frac{3}{2}
[/mm]
[mm] \sum_{k=2}^{\infty}3^{-(k-1)}\:\: =\:\: \frac{3}{2}-1-\frac{1}{3}
[/mm]
[mm] -1+\sum_{k=0}^{\infty}3^{-k}=-1+\frac{3}{2}
[/mm]
Hoffe, ich hab mich nicht verrechnet, damit solltest Du dann klar kommen.
Gruss,
Mathias
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 14:01 Di 14.03.2006 | | Autor: | AriR |
hi mathiash.. ehrlich gesagt muss ich deine frage leider mit nein beantworten.
ich weiß auch ehrlichgesagt gar nciht so genau was du da gemachast hast.. meine frage war eigentlich, ob diese 3summen gleich sind.
ich würde sagen die ersten beiden sind gleich, weil die erste summe sozusagen genau die 2 summe ist, nur das 2 summanden hinzugekommen sind, die ich dann durch die -4 wieder abgezogen habe oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:08 Di 14.03.2006 | | Autor: | kretschmer |
Hallo,
also wenn Du ehrlich
[mm] $\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1^{k-1}}{3}$
[/mm]
hast, dann sind die drei Summen nicht gleich. [mm] $1^i=1$ $\Rightarrow$
[/mm]
[mm] $\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{3}=\sum_{k=n}^\infty\frac{1}{3}$
[/mm]
damit ein Widerspruch.
Bist Du Dir sicher, dass Du Dich nicht vertippt hast? Ansonsten ist vielleicht ein Fehler in der Aufgabenstellung.
Und in diesem Fall hat Mathiash demonstriert, warum diese Summen dann mit der Korrektur identisch sind.
--
Gruss
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Di 14.03.2006 | | Autor: | AriR |
asoo ich meinte das dann genau genommen so [mm] (\bruch1{3})^k-1 [/mm] also die exponenten beziehen sich immer auf den ganzen bruch, in alle fällen.
sorry.. ist mir gar nicht aufgefallen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:22 Do 16.03.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 14.03.2006 | | Autor: | AriR |
hier ist das jetzt nochmal genau aufgeschrieben:
[mm] -4+\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch1{3})^{k-1}= \summe_{k=2}^{\infty}(\bruch1{3})^{k-1}=-1+\summe_{k=0}^{\infty}(\bruch1{3})^k
[/mm]
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