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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:20 Sa 19.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
hallo zusammen.
Bin gerade dabei folgende Aufgabe zu bearbeiten, aber irgendwie verwirrt mich die Aufgabenstellung total.
Also
Bezeichne Betrag von [mm] A=(\summe_{i,j=1}^{n} A_{i,j}^2)^{0,5} [/mm] die euklidisch Norm der quadratischen Matrix [mm] A\in [/mm] IR^nxn
Beweisen sie nun folgende Aussagen
1) Betrag von AB [mm] \le [/mm] Betrag von A * Betrag von B für alle [mm] A,B\in\IR^{nxn}
[/mm]
2) die Reihe [mm] exp(A)=\summe_{n=1}^{\infty}\bruch{A^n}{n!} [/mm] ist für alle [mm] A\in\IR^{nxn} [/mm] konvergent.
Könnt ihr mir erklären was eine euklidische Norm einer Matrix sein soll? Und was das in diesem Kontext bedeutet?
Wie löst man z.B die erste Aufgabe. Muss man nur einsetzen? und die zweite kann man die Konvergenz einfach mit einem der Kriterien zeigen?
Viele Grüße
Deniz
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Hallo Deniz,
> Könnt ihr mir erklären was eine euklidische Norm einer
> Matrix sein soll? Und was das in diesem Kontext bedeutet?
Was das sein soll, steht doch da. Du kennst das sicher schon von ![[]](/images/popup.gif) Vektoren, aber das Konzept ist verallgemeinerbar.
> Wie löst man z.B die erste Aufgabe. Muss man nur
> einsetzen?
Da kommst Du nicht weit. Probier mal n=3 und n=4 und such dann eine Verallgemeinerung. Hoffentlich hast du genug Papier im Haus.
Schau lieber mal, ob Du nicht etwas über normierte Räume und Rechenregeln für Normen findest, samt einiger Nachweise.
> und die zweite kann man die Konvergenz einfach
> mit einem der Kriterien zeigen?
Ja, vielleicht. Welches würdest Du denn anwenden wollen?
Ansonsten sollte Dir die Gleichung bekannt sein. Bedenke: A ist hier nur irgendeine reelle Zahl.
> Viele Grüße
> Deniz
...und ansonsten: eigene Versuche sind hier nicht nur gern gesehen, sondern eigentlich eine der Voraussetzungen.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:11 Sa 19.12.2009 | | Autor: | deniz87 |
Kann man den Beweis zu 2) nicht analog zu dem für die Exponentialreihe führen? Also zum Beispiel mit Quotientenkriterium?
Also ist die 1) doch nicht so leicht wie sie aussieht. Eigentlich dachte ich dass das ähnlich wie der Beweis für die Dreiecksungleichung gehen müsste. Aber wahrscheinlich täusch ich mich da?
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Hallo Deniz,
> Kann man den Beweis zu 2) nicht analog zu dem für die
> Exponentialreihe führen? Also zum Beispiel mit
> Quotientenkriterium?
Klar, da steht doch nichts anderes als die Exponentialreihe!
> Also ist die 1) doch nicht so leicht wie sie aussieht.
> Eigentlich dachte ich dass das ähnlich wie der Beweis für
> die Dreiecksungleichung gehen müsste. Aber wahrscheinlich
> täusch ich mich da?
Nein, das siehst du ganz richtig. Schwieriger ist es trotzdem, weil es hier ja nicht um Vektoren, sondern um Matrizen geht. Such mal nach dem Zusammenhang zwischen Determinante und euklidischer Norm, dann sollte es nicht mehr so schwierig sein.
lg
rev
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