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| Aufgabe | die Folge ist gegeben: ( [mm] \wurzel{2},\wurzel{2\wurzel{2}},\wurzel{2\wurzel{2}\wurzel{2}},...)
[/mm]
Gib eine Rekursionsformel an.
Zeige das die Folge konvergiert.
Berechne den Grenzwert. |
Ich weiß nicht wie die Rekursionsformel hierbei heißen soll...ich bin schon ne ganze weile am Knobeln, aber ich komme einfach nicht darauf! und daher kriege ich auch keinen Grenzwert raus und kann die Konvergenz nicht bestimmen. ist das eine "bestimmte" Folge, eine eine Folge mit spezieller Bezeichnung?
Wäre für Hilfe dankbar!
Mathegirl
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> die Folge ist gegeben: (
> [mm]\wurzel{2},\wurzel{2\wurzel{2}},\wurzel{2\wurzel{2}\wurzel{2}},...)[/mm]
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> Gib eine Rekursionsformel an.
> Zeige das die Folge konvergiert.
> Berechne den Grenzwert.
> Ich weiß nicht wie die Rekursionsformel hierbei heißen
> soll...ich bin schon ne ganze weile am Knobeln, aber ich
> komme einfach nicht darauf!
Hallo,
was eine Rekursionsformel ist, weißt Du aber?
Das Folgenglied [mm] a_1 [/mm] kannst Du gewiß auch hinschreiben: [mm] a_1:= [/mm] ...
Kannst Du die Folge oben noch um ein paar Glieder fortsetzen?
Mach mal!
Wenn Du das getan hast, dann kannst Du Dir mal überlegen, wie Du jeweils ein neues Folgenglied aus dem vorherigen gewinnst.
Wie bekommst Du [mm] a_2 [/mm] aus [mm] a_1? a_2=...
[/mm]
Wie bekommst Du [mm] a_3 [/mm] aus [mm] a_2? a_3= [/mm] ...
Wie bekommst Du [mm] a_4 [/mm] aus [mm] a_3? a_4=...
[/mm]
Wie bekommst Du [mm] a_{n+1} [/mm] aus [mm] a_n? a_{n+1}= [/mm] ...
Gruß v. Angela
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Die Gedanken habe ich mir ja bereits gemacht, aber ich komme einfach nicht darauf!
Eine Rekursionsformel ist sag ich mal eine Art Gleichung, die eine Funktion auf sich selbst abbildet...
[mm] a_1= \wurzel{2}
[/mm]
okay....wenn ich die Folge weiter fortsetze, dann erhalte ich..... (..., [mm] \wurzel{2\wurzel{2\wurzel{2\wurzel{2}}}},...
[/mm]
ich bekomme die weiteren Glieder, indem ich von [mm] \wurzel{2} [/mm] wieder [mm] \wurzel{2} [/mm] ziehe....ich weiß optisch was gemeint ist und wie es weiter laufen muss.....aber ich kann es nicht ausdrücken!
Mathegirl
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Hallo Mathegirl,
> Die Gedanken habe ich mir ja bereits gemacht, aber ich
> komme einfach nicht darauf!
>
> Eine Rekursionsformel ist sag ich mal eine Art Gleichung,
> die eine Funktion auf sich selbst abbildet...
>
> [mm]a_1= \wurzel{2}[/mm]
>
> okay....wenn ich die Folge weiter fortsetze, dann erhalte
> ich..... (...,
> [mm]\wurzel{2\wurzel{2\wurzel{2\wurzel{2}}}},...[/mm]
>
> ich bekomme die weiteren Glieder, indem ich von [mm]\wurzel{2}[/mm]
> wieder [mm]\wurzel{2}[/mm] ziehe....ich weiß optisch was gemeint
> ist und wie es weiter laufen muss.....aber ich kann es
> nicht ausdrücken!
Es lohnt sich, den ein oder anderen Schritt aufzuschreiben.
Es ist [mm]\red{a_1=\sqrt{2}}[/mm]
[mm]a_2=\sqrt{2\cdot{}\red{\sqrt{2}}}=\ldots[/mm]
Drücke das mit [mm]a_1[/mm] aus!
Dann schreibe [mm]a_3[/mm] hin, das ist [mm]\sqrt{2\sqrt{2\Box}}}[/mm]
Wie und wo taucht da [mm] $a_2$ [/mm] auf?
usw.
Erkennst du ein Schema für [mm]a_n+1=\text{irgendwas, wo} \ a_n \ \text{drin vorkommt}[/mm]
>
>
> Mathegirl
Gruß
schachuzipus
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ich kannd as irgendwie nicht ausdrücken....
[mm] a_n= a_{n-1}*\wurzel[n-1]{2} [/mm] das wäre meine einzige Idee dazu..
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Hallo Mathegirl,
> ich kannd as irgendwie nicht ausdrücken....
>
> [mm]a_n= a_{n-1}*\wurzel[n-1]{2}[/mm] das wäre meine einzige
> Idee dazu..
Das ist nicht richtig, denn für [mm]a_{2}[/mm] gilt nach obiger Formel:
[mm]a_{2}=a_{1}*\wurzel[1]{2}=\wurzel{2}*2 \not= \wurzel{2\wurzel{2}}=\wurzel{2*a_{1}}[/mm]
Damit gilt offenbar: [mm]a_{n+1}=\wurzel{2*a_{n}}[/mm]
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
überleg doch mal wenn du z.Bsp [mm] a_5 [/mm] ausgerechnet hättest und du willst [mm] a_6 [/mm] haben. was musst du tun? da kann doch die ganze Arbeit mit den 5mal Wurzel ziehen nicht umsonst gewesen sein. wenn du weisst wie du [mm] a_5 [/mm] beutz um [mm] a_6 [/mm] auszurechnen oder [mm] a_3 [/mm] um [mm] a_4 [/mm] auszurechnen hast du deine gesuchte formel
Gruss leduart
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sorry, ich weiß es wirklich nicht.....komme einfach nicht drauf!
Grüße Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:21 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
schachuzipus hats doch soooo schön rot vorgemacht, da denk mal nen moment länger drüber nach!
Gruss leduart
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Ich weiß es wirklich nicht...könnt ihr mir nicht vielleicht die Rekursionsformel vorgeben? dann komme ich vielleicht mit dem rest zumindest besser klar!
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Hey schau dir doch mal den beitrag von Mathepower an der hat dir doch die Rekursionformel hingeschrieben!!!!
Also nochmal:
[mm] a_{n}=\wurzel{2} [/mm] , [mm] a_{n+1}=\wurzel{2*a_{n}}
[/mm]
Jetzt die Konvergenz und den Grenzwert...
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Der Grenzwert beträgt [mm] \wurzel{2}, [/mm] kann das sein?
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Hallo nochmal,
> Der Grenzwert beträgt [mm]\wurzel{2},[/mm] kann das sein?
Nee.
Wie kommst du darauf?
Ich komme auf etwas anderes ...
Gruß
schachuzipus
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Falsch der Grenzwert ist 2
Pass auf es ist z.z. [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=2
[/mm]
Der grenzwert der folge sei a
[mm] \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=a
[/mm]
[mm] a_{n+1}=\wurzel{2*a_{n}} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2*a_{n}}=a \Rightarrow a=\wurzel{2*a} [/mm] so jetzt löst du nach a auf [mm] \gdw a^{2}=2*a \Rightarrow [/mm] a=2
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Hallo,
> Falsch der Grenzwert ist 2
So er denn existiert.
Hierzu müsste man noch nachweisen, dass die Folge monoton steigend und nach oben beschränkt ist.
Oder ist das schon im thread irgenwo geschehen?
>
> Pass auf es ist z.z. [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}=2[/mm]
>
> Der grenzwert der folge sei a
>
> [mm]\Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n+1}=a[/mm]
>
> [mm]a_{n+1}=\wurzel{2*a_{n}} \Rightarrow \limes_{n\rightarrow\infty} \wurzel{2*a_{n}}=a \Rightarrow a=\wurzel{2*a}[/mm]
> so jetzt löst du nach a auf [mm]\gdw a^{2}=2*a \Rightarrow[/mm]
> a=2
>
>
Gruß
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:32 Do 09.12.2010 | | Autor: | Sprudel |
Ja Schachuzipus hat recht.....
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