Rekursionsformeln mit Folgen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:57 Mi 21.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die unten angegebenen Rekursionsformeln wohldefinierte Folgen liefern. Untersuchen Sie diese Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenen falls den Grenzwert.
a) [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{x_{n}}{1 + x_n} [/mm] , [mm] x_0 [/mm] = a > 0
b) [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{2 + x_n}{1 + x_n} [/mm] , [mm] x_0 [/mm] = a > 0
c) [mm] x_{n+1} [/mm] = - [mm] \frac{1 + x_n}{x_n} [/mm] , [mm] x_0 [/mm] = a > 0
d) [mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \frac{1}{2} [/mm] (a + [mm] x^{2}_n) [/mm] , [mm] x_0 [/mm] = a [mm] \in [/mm] ]0,1[ |
Bei dieser Aufgabe weiss ich auch nichtmal den Anfang !
Würde mich um Hilfe freuen...
MFG
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Hallo U-Gen!
Berechne doch mal jeweils die ersten paar Folgenglieder. Daraus lässt sich doch schon eine Tendenz erkennen, was eine eventuelle Monotonie betrifft.
Wenn Du dann Monotonie sowie Beschränktheit (jeweils mittels vollständiger Induktion) nachweisen kannst, folgt daraus unmittelbar die Konvergenz.
Der entsprechende Grenzwert lässt sich dann mit dem Ansatz $x \ := \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}x_{n+1}$ [/mm] berechnen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Mi 21.11.2007 | | Autor: | U-Gen |
Geht die a) dann gegen 1 ?!
Das is blöd ich kann mir dat gar nicht vorstellen weil ich keine dergleiche Aufgabe gerechnet hab bzw den Rechenweg gesehen hab ...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:35 Mi 21.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Geht die a) dann gegen 1 ?!
Nein. Hast du dir mal ein paar Folgenglieder hingeschrieben? Probier's mal für a=1 und für a=2 aus!
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:52 Do 22.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Ich habe mich jetzt mal mit Aufgabenteilen a) und b) einige Stündchen auseinandergsetzt.
Die a) dürfte ich so weit eigentlich richtig haben, da komme ich über Monotonie ((streng) monoton fallend) und die Schranken a und 0 auf die Konvergenz gegen 0.
Bei der b) ist das ganze aber leider recht knifflig. Wohldefiniertheit ist noch klar.
Bei der Monotonie haperts bei mir leider. Zum einen fällt schon beim bloßen aufschreiben, z.B. für a = 5 das 1. Folgenglied aus der Reihe [mm] x_0 [/mm] > [mm] x_1 [/mm] < [mm] x_2 [/mm] > [mm] x_3 [/mm] > [mm] x_4 [/mm] ..., weshalb ich, wo ich mir nicht sicher bin, ob das erlaubt ist, die Monotonie erst ab dem 3. Folgenglied (n=2) betrachtet habe.
Ich komme auch beim formalen Beweis der Monotonie auf keinen grünen Zweig, bzw. stoße immer wieder auf Widersprüche, was mich doch etwas verwirrt.
Als Grenzwert erhalte ich hier nichtsdestotrotz 1.
Nur, wie zeige ich hier die Konvergenz, da mich ja scheinbar die Monotonie im Stich lässt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Ich habe mich jetzt mal mit Aufgabenteilen a) und b) einige
> Stündchen auseinandergsetzt.
> Die a) dürfte ich so weit eigentlich richtig haben, da
> komme ich über Monotonie ((streng) monoton fallend) und die
> Schranken a und 0 auf die Konvergenz gegen 0.
>
> Bei der b) ist das ganze aber leider recht knifflig.
> Wohldefiniertheit ist noch klar.
>
> Bei der Monotonie haperts bei mir leider. Zum einen fällt
> schon beim bloßen aufschreiben, z.B. für a = 5 das 1.
> Folgenglied aus der Reihe [mm]x_0[/mm] > [mm]x_1[/mm] < [mm]x_2[/mm] > [mm]x_3[/mm] > [mm]x_4[/mm] ...,
> weshalb ich, wo ich mir nicht sicher bin, ob das erlaubt
> ist, die Monotonie erst ab dem 3. Folgenglied (n=2)
> betrachtet habe.
Für die Konvergenz ist das völlig ausreichend. Endlich viele Folgenglieder am Anfang machen dafür keinen Unterschied.
> Ich komme auch beim formalen Beweis der Monotonie auf
> keinen grünen Zweig, bzw. stoße immer wieder auf
> Widersprüche, was mich doch etwas verwirrt.
Du willst doch das Vorzeichen von [mm]x_{n+1}-x_n[/mm] bestimmen:
[mm]x_{n+1}-x_n = \bruch{2+x_{n}}{1+x_{n}} -x_{n} = \bruch{2+x_{n} - x_{n}(1+x_{n})}{1+x_{n}} = \bruch{2-x_{n}^{2}}{1+x_{n}}[/mm].
Überlege dir zunächst, dass alle [mm]x_{n}[/mm] nichtnegativ sind. Dann reduziert sich die Frage nach der Monotonie auf die Frage, ob die [mm]x_{n}[/mm] größer oder kleiner als [mm]\sqrt{2}[/mm] sind.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:18 Do 22.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Das ist natürlich eine sehr nützliche Idee, die Monotonie über das Vorzeichen zu zeigen. Danke dafür :)
Nun, wie verhält sich [mm] x_n [/mm] zu [mm] \sqrt{2}?
[/mm]
Wir wissen ja:
[mm] x_n [/mm] = [mm] \bruch{2 + x_{n-1}}{1+x_{n-1}} [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{1 + x_{n-1}} [/mm] < 1,5
Da die untere Schranke und gleichzeitig der Grenzwert dieser Folge 1 ist, kann der geamte Term nur kleiner als 1,5 sein.
Was bedeutet, dass unendlich viele Folgeglieder (wegen der Nähe zum Grenzwert) größer als Wurzel 2 sind, oder?
Schließlich liegen in der Epsilon-Umgebung von 1,5 unendlich viele Elemente der Folge?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:32 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Das ist natürlich eine sehr nützliche Idee, die Monotonie
> über das Vorzeichen zu zeigen. Danke dafür :)
>
> Nun, wie verhält sich [mm]x_n[/mm] zu [mm]\sqrt{2}?[/mm]
>
> Wir wissen ja:
>
> [mm]x_n[/mm] = [mm]\bruch{2 + x_{n-1}}{1+x_{n-1}}[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{1 + x_{n-1}} <1,5[/mm]
>
> Da die untere Schranke und gleichzeitig der Grenzwert
> dieser Folge 1 ist, kann der geamte Term nur kleiner als
> 1,5 sein.
Einverstanden mit der Schranke, aber nicht mit dem Grenzwert.
Es kommt doch raus, dass
[mm]x_{n+1}-x_{n} \begin{cases} >0 & \text{ für $x_n<\sqrt{2}$} \\
<0 & \text{ für $x_n>\sqrt{2}$} \\
=0 & \text{ für $x_n=\sqrt{2}$}
\end{cases}[/mm].
Was sagt dir das?
Den Grenzwert kannst du bestimmen, indem du in [mm]x_n =1 + \bruch{1}{1 + x_{n-1}}[/mm] auf beiden Seiten den Grenzübergang [mm]n\rightarrow\infty[/mm] machst.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:38 Do 22.11.2007 | | Autor: | MaRaQ |
Danke soweit. Ich versuch das ganze demnächst noch mal mit etwas Abstand zu betrachten. Grade bin ich nur noch verwirrt. ^^
Den Grenzwert hatte ich über [mm] x_n [/mm] = 1 + [mm] \bruch{1}{n + \bruch{1}{1+a}} [/mm] bestimmt. Damit kam ich dann auf 1.
Nunja. ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Danke soweit. Ich versuch das ganze demnächst noch mal mit
> etwas Abstand zu betrachten. Grade bin ich nur noch
> verwirrt. ^^
>
> Den Grenzwert hatte ich über [mm]x_n[/mm] = 1 + [mm]\bruch{1}{n + \bruch{1}{1+a}}[/mm]
> bestimmt. Damit kam ich dann auf 1.
Da muss 2 statt des n stehen:
[mm]x_n= 1+ \bruch{1}{1+x_{n-1}} = 1 + \bruch{1}{1+ \left(1+ \bruch{1}{1+a}\right)}[/mm].
Dann stimmt wieder Alles.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:33 Mi 21.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Zeigen Sie, dass die unten angegebenen Rekursionsformeln
> wohldefinierte Folgen liefern.
Dazu sollst du noch nachweisen, dass nicht irgendwann ein ungültiger Ausdruck auftritt, dass also zum Beispiel bei der
> a) [mm]x_{n+1}[/mm] = [mm]\frac{x_{n}}{1 + x_n}[/mm] , [mm]x_0[/mm] = a > 0
der Nenner nie 0 wird, also ein [mm]x_n=-1[/mm] nicht vorkommen kann.
Viele Grüße
Rainer
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