Rekursionsgleichung < Diskrete Mathematik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:29 Do 10.02.2011 | | Autor: | hilado |
| Aufgabe | Sei n [mm] \in \N. [/mm] Lösen Sie die Rekursionsgleichung
[mm] a_{n + 4} [/mm] = [mm] a_{n + 3} [/mm] + [mm] 3a_{n + 2} [/mm] - [mm] 5a_{n + 1} [/mm] + [mm] 2a_{n}
[/mm]
mit den Anfangswerten [mm] a_{0} [/mm] = 0, [mm] a_{1} [/mm] = 4, [mm] a_{2} [/mm] = 5, [mm] a_{3} [/mm] = 30. |
Also soweit mir bekannt, muss ich erst einmal die charakteristische Polynomform bekommen, d.h. ich versuche die Nullstellen von folgender Formel zu bekommen
[mm] X^{4} [/mm] - [mm] X^{3} [/mm] - [mm] 3X^{2} [/mm] + 5X - 2.
Eine Nullstelle habe ich: x = -2.
Nun versuch ich eine Polynomdisvision durchzuführen, und dabei kommt folgendes raus:
[mm] (X^{4} [/mm] - [mm] X^{3} [/mm] - [mm] 3X^{2} [/mm] + 5X - 2) : (X - 2) = [mm] x^{3} [/mm] + [mm] X^{2} [/mm] - X + 3 + [mm] \bruch{3}{X - 2}
[/mm]
Aber nun wie weiter? Ich versuch grad noch eine weitere Nullstelle zu bekommen, aber mit meinem neuen Term geht das eher schlecht find ich ..
|
|
| |
|
> Sei n [mm]\in \N.[/mm] Lösen Sie die Rekursionsgleichung
>
> [mm]a_{n + 4}[/mm] = [mm]a_{n + 3}[/mm] + [mm]3a_{n + 2}[/mm] - [mm]5a_{n + 1}[/mm] + [mm]2a_{n}[/mm]
>
> mit den Anfangswerten [mm]a_{0}[/mm] = 0, [mm]a_{1}[/mm] = 4, [mm]a_{2}[/mm] = 5,
> [mm]a_{3}[/mm] = 30.
> Also soweit mir bekannt, muss ich erst einmal die
> charakteristische Polynomform bekommen, d.h. ich versuche
> die Nullstellen von folgender Formel zu bekommen
>
> [mm]X^{4}[/mm] - [mm]X^{3}[/mm] - [mm]3X^{2}[/mm] + 5X - 2.
>
> Eine Nullstelle habe ich: x = -2.
>
> Nun versuch ich eine Polynomdisvision durchzuführen, und
> dabei kommt folgendes raus:
>
> [mm](X^{4}[/mm] - [mm]X^{3}[/mm] - [mm]3X^{2}[/mm] + 5X - 2) : (X - 2) = [mm]x^{3}[/mm] + [mm]X^{2}[/mm]
> - X + 3 + [mm]\bruch{3}{X - 2}[/mm]
Das kann nicht sein. -2 ist eine Nullstelle, somit darf es keinen Restterm geben. Bei der polynomdivision dividierst du durch (x-a) . Also muss du durch (x+2) teilen, dann geht es auch 
>
> Aber nun wie weiter? Ich versuch grad noch eine weitere
> Nullstelle zu bekommen, aber mit meinem neuen Term geht das
> eher schlecht find ich ..
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:51 Do 10.02.2011 | | Autor: | hilado |
Das ging aber schnell. So nun hab ich meine Basismenge
[mm] \{ (-2)^{n}, n * 1^{n}, 1^{n} \}
[/mm]
Stimmt das so ?
|
|
|
| |
|
Hallo hilado,
> Das ging aber schnell. So nun hab ich meine Basismenge
>
> [mm]\{ (-2)^{n}, n * 1^{n}, 1^{n} \}[/mm]
Hier fehlt eine Lösung.
Die anderen Lösungen stimmen.
>
> Stimmt das so ?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:14 Do 10.02.2011 | | Autor: | hilado |
etwa 2n * [mm] 1^{n} [/mm] ?
|
|
|
| |
|
Hallo hilado,
> etwa 2n * [mm]1^{n}[/mm] ?
Nein.
Schau dir die algebraische Veilfachheit von -2 und 1 an.
Dann musst Du darauf kommen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:32 Do 10.02.2011 | | Autor: | hilado |
ahh, weils vorher n * [mm] 1^{n} [/mm] hieß, müsst es ja jetzt [mm] n^{2} 1^{n} [/mm] heißen, oder ?
|
|
|
| |
|
Hallo hilado,
> ahh, weils vorher n * [mm]1^{n}[/mm] hieß, müsst es ja jetzt [mm]n^{2} 1^{n}[/mm]
> heißen, oder ?
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Do 10.02.2011 | | Autor: | hilado |
:) Das ist gut.
Ich hab also folgende Formel:
[mm] k_{1} [/mm] * [mm] 1^{n} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] n [mm] 1^{n} [/mm] + [mm] k_{3} n^{2} 1^{n} [/mm] + [mm] k_{4} (-2)^{n}
[/mm]
So ich hab ja die Anfangswerte
[mm] a_{0} [/mm] = 0
[mm] a_{1} [/mm] = 4
[mm] a_{2} [/mm] = 5
[mm] a_{3} [/mm] = 30
Meine Gleichungen sehen so aus
[mm] A_{0} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] k_{4}
[/mm]
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] 4k_{2} [/mm] + [mm] 16k_{3} [/mm] + [mm] 16k_{4}
[/mm]
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] 5k_{2} [/mm] + [mm] 25k_{3} [/mm] - [mm] 32k_{4}
[/mm]
[mm] A_{3} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] 30k_{2} [/mm] + [mm] 30^{2}k_{3} [/mm] + [mm] (-2)^{30}k_{4}
[/mm]
1. Ist das richtig?
2. Was mach ich jetzt mit denen?
|
|
|
| |
|
Hallo hilado,
> :) Das ist gut.
>
> Ich hab also folgende Formel:
>
> [mm]k_{1}[/mm] * [mm]1^{n}[/mm] + [mm]k_{2}[/mm] n [mm]1^{n}[/mm] + [mm]k_{3} n^{2} 1^{n}[/mm] + [mm]k_{4} (-2)^{n}[/mm]
>
> So ich hab ja die Anfangswerte
> [mm]a_{0}[/mm] = 0
> [mm]a_{1}[/mm] = 4
> [mm]a_{2}[/mm] = 5
> [mm]a_{3}[/mm] = 30
>
> Meine Gleichungen sehen so aus
> [mm]A_{0}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm] + [mm]k_{4}[/mm]
> [mm]A_{1}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm] + [mm]4k_{2}[/mm] + [mm]16k_{3}[/mm] + [mm]16k_{4}[/mm]
> [mm]A_{2}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm] + [mm]5k_{2}[/mm] + [mm]25k_{3}[/mm] - [mm]32k_{4}[/mm]
> [mm]A_{3}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm] + [mm]30k_{2}[/mm] + [mm]30^{2}k_{3}[/mm] + [mm](-2)^{30}k_{4}[/mm]
>
> 1. Ist das richtig?
Die Gleichung sind nicht richtig.
Setze für n nacheinander 0,1,2,3 in die Formel ein.
> 2. Was mach ich jetzt mit denen?
Das entstandene Gleichungssystem lösen.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Do 10.02.2011 | | Autor: | hilado |
Ah ok, mir war das nicht ganz klar.
Also hab ich nun folgende Gleichungen:
[mm] A_{0} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] k_{4}
[/mm]
[mm] A_{1} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] k_{2} [/mm] + [mm] k_{3} [/mm] - [mm] 2k_{4}
[/mm]
[mm] A_{2} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] 2k_{2}+ 4k_{3} [/mm] + [mm] 4k_{4}
[/mm]
[mm] A_{3} [/mm] = [mm] k_{1} [/mm] + [mm] 3k_{2} [/mm] + [mm] 9k_{3} [/mm] - [mm] 8k_{4}
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo hilado,
> Ah ok, mir war das nicht ganz klar.
>
> Also hab ich nun folgende Gleichungen:
>
> [mm]A_{0}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm] + [mm]k_{4}[/mm]
> [mm]A_{1}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm] + [mm]k_{2}[/mm] + [mm]k_{3}[/mm] - [mm]2k_{4}[/mm]
> [mm]A_{2}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm] + [mm]2k_{2}+ 4k_{3}[/mm] + [mm]4k_{4}[/mm]
> [mm]A_{3}[/mm] = [mm]k_{1}[/mm] + [mm]3k_{2}[/mm] + [mm]9k_{3}[/mm] - [mm]8k_{4}[/mm]
Die Gleichungen stimmen jetzt.
Gruss
MathePower
|
|
|
|
