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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 22:33 Do 18.11.2004 | | Autor: | misterbecks |
Für p>0 und Startwert [mm] a_{0}>0 [/mm] ist [mm] (a_{n})_{n\in\IN} [/mm] definiert durch:
[mm] a_{n+1}=\bruch{1}{2}(a_{n}+\bruch{p}{a_{n}})
[/mm]
(i) Zeige: Für jeden Startwert [mm] a_{0}=2 [/mm] konvergiert [mm] a_{n} [/mm] gegen [mm] \wurzel{p}.
[/mm]
(ii) Bestimme: [mm] \wurzel{5} [/mm] mittels [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{0}=2!
[/mm]
Hinweis: Zeige 1) [mm] a_{n}\ge\wurzel{p} [/mm] für [mm] n\ge1 [/mm] und [mm] a_{n} [/mm] monoton fallend.
(iii) Angenommen, es gelte [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n}>\wurzel{p}, [/mm] was folgt dann für [mm] a_{n}-a_{n+1}?
[/mm]
Also, erstmal fällt es mir schwer das mit dem Grenzwert zu lösen. Klar, die Folge wird immer kleiner, da man die Hälfte des nur minimal vergrößerten Vorgängers nimmt. Aber die Konvergenz gegen [mm] \wurzel{p} [/mm] sehe ich nicht. Und bei (ii) und (iii) habe ich gar keine Ahnung...kann mir jemand einen Hinweis geben?
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Hi!
zum Hinweis: zeige [mm] a_n> [/mm] 0 und [mm] a_n^2\ge [/mm] p, dann gilt auch [mm] a_n\ge \wurzel{p}
[/mm]
dann: [mm] a_n-a_{n+1}=\frac{1}{2a_n}(a_n^2-p)\ge [/mm] 0 also monoton fallend
i) du weißt [mm] a_n [/mm] konv. setze [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a
[/mm]
außerdem gilt [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}
[/mm]
also: [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n=a=\limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}=\frac{1}{2}(a+\frac{p}{a})
[/mm]
[mm] \Rightarrow p=a^2 \Rightarrow a=\wurzel{p}
[/mm]
das gilt für alle Startwerte [mm] a_0>0
[/mm]
ii) naja offensichtlich ist [mm] \wurzel{5}=\limes_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2}(a_n+\frac{5}{a_n}) [/mm] mit [mm] a_0>0
[/mm]
Bei iii) weiß ich auch nicht so genau was gemeint ist.
mfg Verena
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