Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
| Aufgabe | [mm] a_{0}=1 [/mm]
[mm] a_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{6(1+a_n)
}{7+a_n}
[/mm]
i) Zeige Monotonie
ii) Zeige Beschränktheit
iii) Berechne Grenzwert |
Zu i)
Die Folge ist Monoton-Steigend! (an<an+1)
Beweis:
[mm] \bruch{6(1+an)}{7+an} [/mm] < [mm] \bruch{6(1+an+1)}{7+an+1}
[/mm]
= [mm] \bruch{6(1+an)}{7+an} [/mm] < [mm] \bruch{6(2+an)}{8+an}
[/mm]
= (6+6an)(8+an)<(12+6an)(7+an)
=48+54an<84+54an
=48<84
Stimmt das?
Als Grenzwert haben ich:
an strebt gegen a, also strebt auch an+1 gegen a!
[mm] a=\bruch{6(1+a)}{7+a}
[/mm]
a(7+a)=6+6a
[mm] 7a+a^2=6+6a
[/mm]
[mm] 0=a^2+a-6
[/mm]
a1=2
a2=3
Stimmt das?
Aber wie zeige ich die Beschränktheit der Folge?
Gruß
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Hallo Lorence!
Aufgabe a.) hast Du völlig verhauen, da Du hier verkennst, dass es auf der rechten Seite [mm] $a_{n \red{+1}}$ [/mm] heißen muss.
Das $+1_$ steht also mit im Index.
Beim Grenzwert lauten die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung:
[mm] $$a_1 [/mm] \ = \ +2$$
[mm] $$a_2 [/mm] \ = \ [mm] \red{-}3$$
[/mm]
Welches verbleibt also als Grenzwert?
Für die Beschränktheit kannst Du z.B. eine vollständige Induktion in Verbindung mit dem -ergebnis aus (i) verwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:56 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, der Grenzwert ist also 2! Aber wie soll ich jetzt Monotonie und Beschränktheit zeigen?
Deinen Ansatz kann ich leider nicht nachvollziehen?
Gruß
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Hallo Lorence!
Berechne für die Monotonie den Ausdruck:
[mm] $$a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6*\left(1+a_n\right)}{7+a_n}-a_n [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:18 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay die Montonie habe ich jetzt bewiesen , allerdings etwas anderst:
Ich hab
[mm] \bruch{6*(1+(\bruch{6*(1+an)}{7+an))}}{7+\bruch{6(1+an)}{7+an}}>\bruch{6(1+an)}{7+an}
[/mm]
am ende steht dann da:
[mm] an^2+2an [/mm] +1>0 und dass ist immer der Fall, außer für an=-1
Stimmt dieser Ansatz überhaupt? Und wie zeige ich die Beschränktheit?
Gruß, und danke für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:50 Mi 28.01.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Da du die Monotonie weisst, weisst du [mm] a)a_n>1 [/mm] und kannst jetzt, da du den GW schon kennst zeigen , dass [mm] a_n<2
[/mm]
bzw aus [mm] 1,a_n\le [/mm] 2 mit Induktion dasselbe fuer [mm] a_{n+1} [/mm] folgern.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Ist das der Ansatz?
[mm][mm] \bruch{6*(1+(\bruch{6*(1+an)}{7+an))}}{7+\bruch{6(1+an)}{7+an}}<2
[/mm]
Danke für die Hilfe
Gruß
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> Ist das der Ansatz?
>
> [mm][mm]\bruch{6*(1+(\bruch{6*(1+an)}{7+an))}}{7+\bruch{6(1+an)}{7+an}}<2[/mm]
Danke für die Hilfe
Hallo,
was meinst Du mit "Ansatz"?
Du willst doch zeigen, daß 2 eine obere Schranke der Folge [mm] (a_n) [/mm] ist, also ist zu zeigen [mm] a_n<2.
[/mm]
Du hast jetzt geschrieben, daß Du [mm] a_{n+2}<2 [/mm] zeigen willst. Das ist kein Fehler, kommt mir aber etwas umständlich vor.
Falls Du eine vollständige Induktion planst, würde man ja im Induktionsschluß eher [mm] a_{n+1}<2 [/mm] aus [mm] a_n<2 [/mm] zu folgern versuchen.
Gruß v. Angela
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:42 Mi 28.01.2009 | | Autor: | abakus |
> Okay die Montonie habe ich jetzt bewiesen , allerdings
> etwas anderst:
Hallo,
dann hast du nichts bewiesen.
Deine Ungleichng ist eine (noch unbewiesene) Behauptung, die als Voraussetzung zum Führen des Beweises nimmst - eine mathematische Todsünde!
Du kannst deinen Beweis noch retten, wenn du von Beginn an jeden Umformungsschritt in der "gilt genau dann, wenn"-Form schreibst. Das geht aber nur, wenn du immer äquivalente Umformungen benutzt hast.
Mathematisch sauber ist der voraussetzungsfreie Ansatz, die Differenz [mm] a_{n+1}-a_n [/mm] zu bilden und nach vereinfachenden Umformungen dieses Terms eine gesicherte Aussage zu treffen, ob und unter welchen Bedingungen dieser Term positiv bzw. negativ ist.
Gruß Abakus
>
> Ich hab
>
> [mm]\bruch{6*(1+(\bruch{6*(1+an)}{7+an))}}{7+\bruch{6(1+an)}{7+an}}>\bruch{6(1+an)}{7+an}[/mm]
>
> am ende steht dann da:
>
> [mm]an^2+2an[/mm] +1>0 und dass ist immer der Fall, außer für an=-1
>
> Stimmt dieser Ansatz überhaupt? Und wie zeige ich die
> Beschränktheit?
>
> Gruß, und danke für die Hilfe!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
> Mathematisch sauber ist der voraussetzungsfreie Ansatz,
> die Differenz [mm]a_{n+1}-a_n[/mm] zu bilden:
[mm] \bruch{6*(1+(\bruch{6*(1+an)}{7+an))}}{7+\bruch{6(1+an)}{7+an}}-\bruch{6(1+an)}{7+an}=???
[/mm]
Da kommen riesen Zahlen raus und eigentlich sollte man die Aufgaben ohne Taschenrechner bewältigen können. Aber danke für den Hinweis, stimmt das überhaupt?
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Hallo Lorence!
[mm] $$a_{n+1}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6*\left(1+a_n\right)}{7+a_n}-a_n [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6*\left(1+a_n\right)}{7+a_n}-\bruch{a_n*\left(7+a_n\right)}{7+a_n} [/mm] \ = \ ...$$
Und das geht auch ohne Taschenrechner, da die Zahlen überschaubar bleiben ...
Man kann auch zunächst umformen:
[mm] $$a_{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{6*\left(1+a_n\right)}{7+a_n} [/mm] \ = \ ... \ = \ [mm] 6-\bruch{36}{7+a_n}$$
[/mm]
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:23 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Lorence |
Okay, du bringst es auf den Hauptnenner und dann haben wir:
[mm] \bruch{-an^2-an+6}{7+an}=???
[/mm]
Was steht auf der Rechten Seite der Gleichung? was muss ich jetzt machen, danke für die schnelle Hilfe!
Wenn ich [mm] an^2+an-6=0 [/mm] setze und auflöse dann erhalte ich die Lösungen: 2 und -3, also die Grenzwerte!
Gruß
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> Okay, du bringst es auf den Hauptnenner und dann haben
> wir:
>
> [mm]\bruch{-an^2-an+6}{7+an}=???[/mm]
>
> Was steht auf der Rechten Seite der Gleichung? was muss ich
> jetzt machen, danke für die schnelle Hilfe!
>
> Wenn ich [mm]an^2+an-6=0[/mm] setze und auflöse dann erhalte ich die
> Lösungen: 2 und -3, also die Grenzwerte!
Hallo,
tja, nur nützt Dir das so nicht so viel...
Du würdest Dir ja jetzt wünschen, daß die [mm] a_n [/mm] kleiner als 2 sind. Mein Taschenrechner ließ den Verdacht schnell aufkeimem - natürlich völlig fern jeglicher Beweiskraft.
Ebenso könnte der potentielle Grenzwert 2 ein Hinweis in diese Richtung sein.
Es wäre also naheliegend, zunächst mal zu versuchen zu zeigen, daß 2 eine obere Schranke der Folge ist. Danach kannst Du die Monotonieuntersucheung bequem zu Ende bringen.
Gruß v. Angela
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:39 So 08.02.2009 | | Autor: | Xenos. |
Hallo,
kann das bitte jemand für mich fertig ausführen, um zu zeigen das [mm] a_{n+1}-a{n} [/mm] >= 0 ist. ich glaub dann kapier ich das.
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> Hallo,
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> kann das bitte jemand für mich fertig ausführen, um zu
> zeigen das [mm]a_{n+1}-a{n}[/mm] >= 0 ist. ich glaub dann kapier ich
> das.
Hallo,
die Aufgabe ist ja schon ein paar Tage älter, so daß nicht mehr jeder alles im Kopf hat, und wir erwarten von Dir auch eigenen Lösungsansätze.
Vielleicht stellst Du kurz die Aufgabe vor, berichtest, was bisher alles warum getan und was erreicht wurde, und rechnest bis zu der Stelle, an welcher Du scheiterst.
Dann kann man Dir sinnvoll weiterhelfen.
Gruß v. Angela
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Hallo Lorence,
wir hatten gerade auf einem anderen Thread eine
ausführliche Diskussion zur genau gleichen Aufgabe !
Gruß Al-Chwarizmi
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