Rekursive Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Fr 04.01.2013 | | Autor: | nero08 |
Hallo!
Das Beispiel lautet:
[mm] a_{n+2} [/mm] = [mm] a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}/2
[/mm]
ICh soll dies nun auf konverenz überprüfen.
Meine Idee wäre dies mit dem Cauchy Kriterium zu zeigen.
Nur hänge ich hier:
[mm] |a_{n+2} [/mm] - [mm] a_{n+1}| [/mm] = [mm] |a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}/2 [/mm] - [mm] a_{n+1}| [/mm] = [mm] |-a_{n}|
[/mm]
hier komme ich leider nicht weiter :(
lg
EDIT:
DIe Startwerte:
[mm] a_{1} [/mm] = 0, [mm] a_{2}=1
[/mm]
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Hi,
hast du auch einen Startwert?
[mm] $x_0=...$ [/mm] oder [mm] $x_1=...$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:07 Fr 04.01.2013 | | Autor: | nero08 |
danke hab ich hinzugefügt...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:37 Fr 04.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo nero08!
> Hallo!
>
> Das Beispiel lautet:
> [mm]a_{n+2}[/mm] = [mm]a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}/2[/mm]
>
> ICh soll dies nun auf konverenz überprüfen.
>
> Meine Idee wäre dies mit dem Cauchy Kriterium zu zeigen.
>
> Nur hänge ich hier:
>
> [mm]|a_{n+2}[/mm] - [mm]a_{n+1}|[/mm] = [mm]|a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n}/2[/mm] - [mm]a_{n+1}|[/mm] =
> [mm]|-a_{n}|[/mm]
>
> hier komme ich leider nicht weiter :(
>
> lg
>
> EDIT:
> DIe Startwerte:
>
> [mm]a_{1}[/mm] = 0, [mm]a_{2}=1[/mm]
Zeige, dass [mm](a_n)_n[/mm] bzw. [mm](|a_n|)_n[/mm] eine Nullfolge ist: Beweise [mm] $|a_{n+2}|<|a_{n+1}|$ [/mm] mit Hilfe der Dreiecksungleichung.
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:05 Fr 04.01.2013 | | Autor: | nero08 |
hi!
ich schaffe es zu zeigen, dass es sich um eine null folge handelt.
g=g-g/2
0=g*(-1/2)
g=0
Leider gelingt es mir nicht die monotonie zu zeigen :/
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:42 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Fulla |
> hi!
>
> ich schaffe es zu zeigen, dass es sich um eine null folge
> handelt.
>
> g=g-g/2
> 0=g*(-1/2)
> g=0
Hä? Ich dachte da eher an etwas in der Richtung
[mm]|a_{n+2}|= \left| a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right|<|a_{n+1}|+\left|\frac{a_n}{2}\right|<|a_{n+1}|[/mm]
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:50 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Trollgut |
Hallo,
entschuldige die Frage, aber wieso meinst du denn, dass dieser Zusammenhang hier gilt?
[mm] |a_{n+1}|+\left|\frac{a_n}{2}\right|<|a_{n+1}|
[/mm]
Ich komme zum Beispiel bei [mm] |a_{5}| [/mm] auf 0 und bei [mm] |a_{6}| [/mm] auf 0,5.
Vielleicht noch eine Idee von mir: Man könnte die Folge in die Teilfolgen [mm] a_{8n}, a_{8n+1}, a_{8n+2}, a_{8n+3}, a_{8n+4}, a_{8n+5}, a_{8n+6} [/mm] und [mm] a_{8n+7} [/mm] zerlegen und zeigen, dass sie alle gegen 0 konvergiern. Was aber natürlich ein ziemlicher Aufwand wäre und es geht bestimmt auch einfacher :).
Gruß
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:30 Sa 05.01.2013 | | Autor: | Fulla |
Hallo Trollgut,
meine Monotonieannahme war natürlich Murks.
> Hallo,
>
> entschuldige die Frage, aber wieso meinst du denn, dass
> dieser Zusammenhang hier gilt?
>
> [mm]|a_{n+1}|+\left|\frac{a_n}{2}\right|<|a_{n+1}|[/mm]
>
> Ich komme zum Beispiel bei [mm]|a_{5}|[/mm] auf 0 und bei [mm]|a_{6}|[/mm]
> auf 0,5.
>
> Vielleicht noch eine Idee von mir: Man könnte die Folge in
> die Teilfolgen [mm]a_{8n}, a_{8n+1}, a_{8n+2}, a_{8n+3}, a_{8n+4}, a_{8n+5}, a_{8n+6}[/mm]
> und [mm]a_{8n+7}[/mm] zerlegen und zeigen, dass sie alle gegen 0
> konvergiern. Was aber natürlich ein ziemlicher Aufwand
> wäre und es geht bestimmt auch einfacher :).
Es reicht, die Folge in 4 Teilfolgen zu zerlegen. Jedes vierte Folgenglied, beginnend mit [mm]a_1[/mm], ist 0. Also [mm]\left(a_{4n-3}\right)_n=(0)_n[/mm] (mit [mm]n=1,2,3,...[/mm]).
Die Teilfolgen [mm]a_{4n-2}[/mm] und [mm]a_{4n-1}[/mm] sind gleich und die Folgenglieder sind alterierende Potenzen von [mm]\frac 14[/mm], also [mm]1, -\frac 14, \frac {1}{16}, -\frac{1}{64},...[/mm].
Und für [mm]a_{4n}[/mm] gilt: [mm]a_{4n}=\frac{a_{4n-1}}{2}[/mm] [mm]\forall n[/mm].
So aufwändig ist das gar nicht. Schreibe diese Teilfolgen richtig auf und du bist recht schnell fertig.
Ich habe gerade versucht, von [mm] $a_{n+2}=a_{n+1}-\frac{a_{n+1}}{2}$ [/mm] auf eine geschlossene Form zu kommen, bzw. daraus die vier Teilfolgen herzuleiten. Mir fehlt aber noch der richtige Dreh...
Damit das auch mal wo steht, hier die ersten Folgenglieder:
0 1 1 1/2 0 -1/4 -1/4 -1/8 0 1/16 1/16 1/32 0 -1/64 -1/64 -1/128...
Lieben Gruß,
Fulla
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 So 06.01.2013 | | Autor: | nero08 |
okay erhalte jetzt folgende Teilfolgen:
[mm] a_{4n}=a_{4n-1}-\bruch{a_{4n-2}}{2}
[/mm]
[mm] a_{4n-1}=a_{4n-2}-\bruch{a_{4n-3}}{2}
[/mm]
[mm] a_{4n-2}=a_{4n-3}-\bruch{a_{4n-4}}{4}
[/mm]
[mm] a_{4n-3}=a_{4n-4}-\bruch{a_{4n-5}}{2}
[/mm]
muss ich jetzt für jede Teilfoge zeigen, dass sie monton und beschränkt ist?
dann hätte ich gleich eine frage zur monotonie wie zeige ich die in so einem Fall?
ich mach es sonst immer mit induktion und erweitere die werte so, dass ich den nächst höheren habe. aber wie geht das hier?
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
Hallo
du brauchst mehrere Induktionen. [mm] a_{4k}=0
[/mm]
[mm] a_{4k+1}=a_{4k+2} [/mm] usw.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:33 So 06.01.2013 | | Autor: | nero08 |
> Hallo
> du brauchst mehrere Induktionen. [mm]a_{4k}=0[/mm]
> [mm]a_{4k+1}=a_{4k+2}[/mm] usw.
> Gruss leduart
okay ich machs mal für [mm] a_{4k}
[/mm]
IA: n=1
[mm] a_{4}= [/mm] 1/2 = 1- 1/2 ok
IS: n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] a_{4n+4}= a_{4n+3} [/mm] - [mm] \bruch{a_{4n+2}}{2} [/mm] = [mm] a_{8n-1} [/mm] - [mm] \bruch{a_{8n-2}}{2} [/mm] ok
so?
btw. es gibt kein [mm] a_{0}
[/mm]
lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 So 06.01.2013 | | Autor: | leduart |
hallo
ich versteh deine Rechnung nicht
[mm] a_{4k}
[/mm]
ind. anfang;
k=0 [mm] a_0=0
[/mm]
Ind. Beh
[mm] a_{4k}=0
[/mm]
[mm] a_{4k+4}=a_{4k+3}-a_{4k+2}/2
[/mm]
richtig falls [mm] a_{4k+3}=a_{4k+2}/2
[/mm]
also musst du das zeigen, dazu brauchst du [mm] _a_{4k+2}=a_{4k+1}
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo Fulla
Stimmt. Die Lösung ist deutlich unkomplizierter. Hätte da noch eine Frage:
Wie zeigt man möglichst einfach die Konvergenz der beiden alternierenden Folgen [mm] a_{4n-1} [/mm] und [mm] a_{4n-2}? [/mm] Gibt es da noch einen eleganteren Weg als zwischen geraden und ungeraden n zu unterscheiden?
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:20 Di 08.01.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:43 Sa 05.01.2013 | | Autor: | nero08 |
>
> > hi!
> >
> > ich schaffe es zu zeigen, dass es sich um eine null folge
> > handelt.
> >
> > g=g-g/2
> > 0=g*(-1/2)
> > g=0
>
> Hä? Ich dachte da eher an etwas in der Richtung
das war der grenzwert...
das wäre die monotonie:
> [mm]|a_{n+2}|= \left| a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right|<|a_{n+1}|+\left|\frac{a_n}{2}\right|<|a_{n+1}|[/mm]
>
nicht dein nachposter feststellte gilt dies nicht mal.
davon abgesehen:
[mm] \left| a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right|<|a_{n+1}|+\left|\frac{a_n}{2}\right|
[/mm]
du kannst doch nicht aus dem + ein - machen? Wenn ich mich recht erinnere gilt hier die umgekehrte dreieckungleichung also:
[mm] \left| a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right|>|a_{n+1}|-\left|\frac{a_n}{2}\right|
[/mm]
> Lieben Gruß,
> Fulla
>
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> nicht dein nachposter feststellte gilt dies nicht mal.
> davon abgesehen:
>
> [mm]\left| a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right|<|a_{n+1}|+\left|\frac{a_n}{2}\right|[/mm]
>
Das funktioniert wiederum (wenn man das ganze mit einem kleiner-gleich schreibt), denn es gilt:
[mm] \left|a_{n+1}+(-\frac{a_{n}}{2})\right|<= \left|a_{n+1}|\right+\left|-\frac{a_n}{2}\right|=\left|a_{n+1}|\right+\left|\frac{a_n}{2}\right|
[/mm]
> du kannst doch nicht aus dem + ein - machen? Wenn ich mich
> recht erinnere gilt hier die umgekehrte dreieckungleichung
> also:
> [mm]\left| a_{n+1}-\frac{a_{n}}{2}\right|>|a_{n+1}|-\left|\frac{a_n}{2}\right|[/mm]
Mit einem kleiner-gleich gilt sie.
Gruß
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