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Sei p(z) = [mm] z^2 [/mm] + 1/4.Für den Startwert z0 [mm] \in \IC [/mm] sei rekursiv die Folge [mm] (zn)_{n=0}^{\infty} [/mm] definiert durch [mm] z_{n+1} [/mm] = p(zn). Zeigen sie:
1. Gilt |z0| [mm] \ge [/mm] 7/4, so divergiert die Folge.
2. Gilf |z0| [mm] \le [/mm] 1/2 so ist die Folge beschränkt. |
Hi,
Ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter. Normalerweise kann man ja wenn man so was zeigen will den lim für n gegen [mm] \infty [/mm] bilden.
Aber da die Folge hier rekursiv definiert ist weiß ich schon mal nicht wie ich das machen soll.
Außerdem ist mir ja für den Startwert nichts genaues angegeben, man kann ja den Betrag von der Komplexen Zahl nicht einfach einsetzten.
Hab raus gefunden dass es für den 2. Fall gegen 0 laufen muss. Kanns aber auch nicht beweisen.
Hoffe es kann mir jemand helfen.
Danke schon mal
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Aufgabe
> Sei p(z) = [mm]z^2[/mm] + 1/4.Für den Startwert z0 [mm]\in \IC[/mm] sei
> rekursiv die Folge [mm](zn)_{n=0}^{\infty}[/mm] definiert durch
> [mm]z_{n+1}[/mm] = p(zn). Zeigen sie:
> 1. Gilt |z0| [mm]\ge[/mm] 7/4, so divergiert die Folge.
> 2. Gilf |z0| [mm]\le[/mm] 1/2 so ist die Folge beschränkt.
> Hi,
>
> Ich komm bei der Aufgabe einfach nicht weiter.
> Normalerweise kann man ja wenn man so was zeigen will den
> lim für n gegen [mm]\infty[/mm] bilden.
> Aber da die Folge hier rekursiv definiert ist weiß ich
> schon mal nicht wie ich das machen soll.
> Außerdem ist mir ja für den Startwert nichts genaues
> angegeben, man kann ja den Betrag von der Komplexen Zahl
> nicht einfach einsetzten.
> Hab raus gefunden dass es für den 2. Fall gegen 0 laufen
> muss. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
die Folge hat auch in diesem Fall keinen Grenzwert
> Kanns aber auch nicht beweisen.
> Hoffe es kann mir jemand helfen.
>
> Danke schon mal
>
Hallo Jaqueline88,
es handelt sich hier offenbar um die "Apfelmännchen-Folge"...
Ich möchte nur einen Tipp geben, der dir vermutlich weiter helfen wird.
Betrachte die Bildpunkte der vorkommenden komplexen Zahlen in der
Gaußschen Ebene. z0 hat den Betrag [mm] |z_0|, [/mm] liegt also irgendwo auf dem
Kreis um den Nullpunkt mit diesem Radius. [mm]z_0^2[/mm] hat den Betrag
[mm] |z_0|^2 [/mm] und hat also diesen Abstand von 0. Nun wird noch [mm] \bruch{1}{4}
[/mm]
addiert, dies bedeutet eine Verschiebung um [mm] \bruch{1}{4} [/mm] nach rechts...
Schönen Sonntag!  al-Chwarizmi
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hi,
danke schon mal für deine schnelle Antwort. Hab auch soweit verstanden was du meinst.
Aber dann wenn ich mir das so vorstelle geht die folge doch für |z0| [mm] \le [/mm] 1/2 eben gegen 0. Wenn ich eine zahl kleiner als 1 quadriere wird sie noch kleiner, das heißst die Zahl nähert sich betragsmäßig immer mehr der 0 an und wird immer mehr nach rechts verschoben wegen den +1/4. Nähert sich also quasi der reellen positiven Achse an.
Für größer als 7/4 gehts gegen unendlich.
aber kann man das als beweis nehmen?
Hab mal noch eine allgemeine Frage: Wenn ich vom Grenzwert im Komplexen spreche, also eine Schranke suche muss diese dann wieder eine komplexe Zahl sein? Wie würde diese Schranke dann in meinem Fall mit der positiven reellen Achse heißen?
Danke schon mal und noch mal^^
Jaquy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:46 So 27.04.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
du musst hier schon eine saubere Abschätzung vornehmen, sodass auch für den ungünstigsten Fall noch die Divergenz oder die Beschränktheit folgt.
Nehmen wir mal an, [mm] |z_0| [/mm] sei 0,8. Dann gilt [mm] |z_0^2 [/mm] |=0,64, und [mm] |z_0^2+\bruch{1}{4}| [/mm] liegt zwischen 0,39 und 0,89. Der Betrag kann also kleiner oder größer geworden sein.
Viele Grüße
Abakus
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> hi,
> danke schon mal für deine schnelle Antwort. Hab auch
> soweit verstanden was du meinst.
> Aber dann wenn ich mir das so vorstelle geht die folge
> doch für |z0| [mm]\le[/mm] 1/2 eben gegen 0. Wenn ich eine zahl
> kleiner als 1 quadriere wird sie noch kleiner, das heißst
> die Zahl nähert sich betragsmäßig immer mehr der 0 an und
> wird immer mehr nach rechts verschoben wegen den +1/4.
> Nähert sich also quasi der reellen positiven Achse an.
> Für größer als 7/4 gehts gegen unendlich.
>
> aber kann man das als beweis nehmen?
>
> Hab mal noch eine allgemeine Frage: Wenn ich vom Grenzwert
> im Komplexen spreche, also eine Schranke suche muss diese
> dann wieder eine komplexe Zahl sein? Wie würde diese
> Schranke dann in meinem Fall mit der positiven reellen
> Achse heißen?
>
> Danke schon mal und noch mal^^
> Jaquy
Hallo Jaquy,
abakus hat deine Fragen schon teilweise beantwortet.
Zum Limesbegriff in [mm] \IC [/mm] :
Eine Zahl a [mm] \in \IC [/mm] ist Limes der Folge [mm] , [/mm] falls [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} |z_n -a| = 0[/mm]
Du kannst dir vorstellen: eine "Schranke" ist in diesem Fall ein kreisförmiger "Zaun" mit Zentrum in a und mit gegen null strebendem Radius.
Im vorliegenden Fall hat die Folge [mm] [/mm] nur in einem einzigen Fall einen Grenzwert, nämlich für [mm] z_0 [/mm] = 0.5 . Dann ist [mm] z_0 = z_1 = z_2 = ........ = \limes_{n\rightarrow\infty} z_n = 0.5[/mm]
Für alle anderen [mm] z_0 [/mm] mit [mm] |z_0| [/mm] <= 0.5 tanzen die [mm] z_n [/mm] jeweils im schwarzen Teil des Apfelmännchens periodisch oder unperiodisch umher, ohne einem Grenzwert zuzustreben.
al-Chwarizmi
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 19:24 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Jaqueline88 |
hi nochmal,
ich versteh dass ja alles was ihr mir da soweit versucht habt klar zu machen. aber das kann ich nicht in meiner arbeit so erklären.
Hat denn jemand eine Idee für einen handfesten Beweis?? So, für Teil a und/oder b??
Was ihr mir erklärt läuft ja auch darauf hinaus dass es nie beschränkt ist aber ich soll doch zeigen dass es beschränkt ist.
Irgendwas stimmt da nicht oder??^^
Jaquy
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hab mich vorher im Fenster geirrt...
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> Aufgabe
> Sei p(z) = [mm]z^2[/mm] + 1/4.Für den Startwert z0 [mm]\in \IC[/mm] sei
> rekursiv die Folge [mm](zn)_{n=0}^{\infty}[/mm] definiert durch
> [mm]z_{n+1}[/mm] = p(zn). Zeigen sie:
> 1. Gilt |z0| [mm]\ge[/mm] 7/4, so divergiert die Folge.
> 2. Gilt |z0| [mm]\le[/mm] 1/2 so ist die Folge beschränkt.
Hallo Jaquy,
also nochmals von vorne:
1.) nehmen wir ein z mit |z| = r [mm]\ge \bruch{7}{4} [/mm] an.
Dann hat [mm] z^2 [/mm] einen Betrag [mm] |z^2| [/mm] = [mm] |z|^2 [/mm] = [mm] r^2. [/mm] Wenn wir zu einer
komplexen Zahl mit diesem Betrag noch 1/4 addieren, so hat die Summe
einen Betrag, der mindestens [mm] r^2 -1/4 [/mm] ist, also gilt:
[mm] |f(z)| \ge r^2 - 1/4[/mm]
Betrachten wir nun das Betragsverhältnis [mm]\bruch{|f(z)|}{|z|}=\bruch{r^2-\bruch{1}{4}}{r}[/mm]
Man kann nun ganz elementar zeigen, dass letzterer Bruch
stets > 1.6 ist, falls r [mm] \ge [/mm] 1.75.
Aus dem ganzen folgt, dass [mm] \bruch{|z_{n+1}|}{|z_n|}>1.6 [/mm] ist,
wenn nur [mm] |z_0|\ge [/mm] 1.75. Damit wird klar, dass in diesem Fall die Folge
der [mm] z_n [/mm] bestimmt divergent ist, ohne Grenzwert.
2.) Der Fall [mm] |z_0|[/mm] [mm]\le[/mm] 1/2 ist einfacher:
wenn [mm] |z_0|[/mm] [mm]\le[/mm] 1/2 gilt, so ist [mm] |z_0^2|[/mm] [mm]\le[/mm] 1/4
Dann ist auch [mm] |f(z_0)| \le [/mm] 1/4 +1/4 [mm]\le[/mm] 1/2 , d.h. auch
[mm] f(z_0) [/mm] = [mm] z_1 [/mm] und alle folgenden Glieder liegen im Gebiet mit Radius [mm] \bruch{1}{2}
[/mm]
um den Nullpunkt. Das heisst, die Zahlenfolge ist beschränkt.
Übrigens: die Schranke [mm] \bruch{7}{4} [/mm] in Aufgabe 1 könnte noch verkleinert werden.
Gruß al-Ch.
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