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| Aufgabe | Sei U [mm] \subseteq [/mm] G eine Untergruppe von G .Wir defnieren die relation [mm] \sim{U} [/mm] auf G mit a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a [mm] *b^{-1} \varepsilon [/mm] U
[mm] b^{-1} [/mm] wir die Inverse zu b definiert .Zeigen Sie dass [mm] \sim{U} [/mm] eine Äquivalenzrelation auf G ist
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Ich weiß dass Relation auf G = gleich bedeutend ist wie R ist die teilmenge von G X G ,aber das symbol (als welle)mit U gekennzeichnet weiß nicht was das bedeutet :(
[mm] \sim{U} [/mm] ,????
a [mm] \sim [/mm] b [mm] \gdw [/mm] a [mm] *b^{-1} [/mm] ,wie kann ich das betrachten ? ,das sagt mir wenig , die verknüpfung kann + oder mal sein ....
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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> Sei U [mm]\subseteq[/mm] G eine Untergruppe von G .Wir defnieren die
> relation [mm]\sim{U}[/mm] auf G mit a [mm]\sim[/mm] b [mm]\gdw[/mm] a [mm]*b^{-1} \varepsilon[/mm]
> U
>
> [mm]b^{-1}[/mm] wir die Inverse zu b definiert .Zeigen Sie dass
> [mm]\sim{U}[/mm] eine Äquivalenzrelation auf G ist
>
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> Ich weiß dass Relation auf G = gleich bedeutend ist wie R
> ist die teilmenge von G X G ,aber das symbol (als
> welle)mit U gekennzeichnet weiß nicht was das bedeutet :(
>
> [mm]\sim{U}[/mm] ,????
>
> a [mm]\sim[/mm] b [mm]\gdw[/mm] a [mm]*b^{-1}[/mm] ,wie kann ich das betrachten ? ,das
> sagt mir wenig , die verknüpfung kann + oder mal sein
> ....
>
Hallo,
das Symbol [mm] \sim [/mm] ist ja erklärt: [mm] a\sim [/mm] b <==> [mm] a*b^{-1} \in [/mm] U.
Die Verknüpfung * ist diejenige, mit welcher G eine Gruppe bildet.
Nun mußt Du der Reihe nach die Bedingungen für [mm] "\sim [/mm] ist Äquivalenzrelation" nachweisen.
Welche sind denn das?
Gruß v. Angela
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ich muss die Reflexivität ,symmetrie und transivität beweisen ,aber weiß nicht wie ,würde ich an der stelle verknüpfung eine gleichheit haben ,dann wüßte ich wie ich gehe
aber mit * weiß nicht
Reflexivität a~a <=> a*a^-1 = e ?angenommen es ist richtig ,hab ich es dann auch für alle a bewiesen? wenn ja begründung :)
Symmetrie a~b folgt b~a <=>a* b^-1 folgt b * a^-1 richtig ?
Tranisivität a~b und b~c => a~c
(a*b^-1 ) ^ (b * c^-1) = a*e*c^-1= a*c^-1? das ist nur geraten?
meine frage ist das richtig ? falsch ,fehlt da noch was ?
das letzte habe ich einfach geraten ?
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> ich muss die Reflexivität ,symmetrie und transivität
> beweisen ,aber weiß nicht wie ,würde ich an der stelle
> verknüpfung eine gleichheit haben ,dann wüßte ich wie ich
> gehe
>
> aber mit * weiß nicht
>
> Reflexivität a~a <=> a*a^-1 = e ?angenommen es ist
> richtig ,hab ich es dann auch für alle a bewiesen? wenn ja
> begründung :)
Gar nicht so übel.
Paß auf:
Sei a [mm] \in [/mm] G.
Da G eine Gruppe, gibt es zu jedem a ein Element [mm] a^{-1} [/mm] mit [mm] a*a^{-1}=e [/mm] (e neutrales Element in G).
Jetzt kommt etwas Wichtiges, was Du oben vergessen hast. Es ist nämlich die Frage zu klären: ist [mm] a*a^{-1} \in [/mm] U?
Das ist der Fall, denn das neutrale Element ist in jeder Untergruppe enthalten.
Also gilt a [mm] \sim [/mm] a.
>
> Symmetrie a~b folgt b~a <=>a* b^-1 folgt b * a^-1 richtig
> ?
Auch hier beachtest Du nicht, daß es darum geht, ob das Element in U ist.
Sei a~b.
Dann gilt a* b^-1 [mm] \in [/mm] U.
Und nun mußt Du klären ob (und ggf. warum) b * a^-1 [mm] \in [/mm] U ist.
> Tranisivität a~b und b~c => a~c
Sei a~b und b~c, d.h. [mm] ab^{-1} \in [/mm] U und ....
Von Dir zu klären: liegt unter diesen Umständen [mm] ac^{-1} [/mm] in U?
Gruß v. Angela
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erstmal du bist der beste ^^ ,
So bin folgt ran gegangen
Bevor ich jetzt rechne schreib ich mal die Gruppen und Untergruppen eigenschaften.
Gruppen eingeschaft :
Für alle a ,b c element G gilt :
1 a*b=c
2 (a*b)*c=a*(b*c)
3 a*e=a
4 a*(a^-1)=e
Für alle Untergruppen-eigenschaft
Für alle a,b,c element U gilt:
1 a*b=c
2 a*e=a
3 a*(a^-1)=e
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Nebenbei ,untergruppe ist ja fast genau das gleiche wie gruppe ^^
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Da ich oben nun die vorausetzung für gruppen geschrieben habe ,begründe ich nun die äquivalenzrelation
1.Reflexivität a~a<=> a*a^-1 [mm] \varepsilon [/mm] U =e [mm] \varepsilon [/mm] U
2.Symmetrie a ~b<=>a*b^-1 [mm] \varepsilon [/mm] U dann folgt aus b~a<=>b*a^-1 [mm] \varepsilon [/mm] U ,da a ,b [mm] \varepsilon [/mm] U
und jetzt soll ich begründen warum es symmetrisch ?
reicht das nicht aus ? :)
3.Transivität
1. a~b , b~a => a~a ,da a~b= a*b^-1 [mm] \varepsilon [/mm] U und b~a=b*a^-1 [mm] \varepsilon [/mm] U dann folgt (a*b^-1)*(b*a^-1) [mm] \varepsilon [/mm] U =(a*a^-1)*(b*b^-1)=e*e=e
2. a~b , b~c=> a~c <------------------------ könnte ich nach diesen ansatz nicht lösen wenn ja warum nicht ,denn c^-1 liegt auch in u denn a*b=c
da jedes a [mm] \varepsilon [/mm] U ein a^-1 hat folgt c^-1 auch in c ....
:)
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:25 Mi 02.05.2007 | | Autor: | piet.t |
Hallo!
Dann mache ich hier mal ein bisschen weiter...
>
> 1.Reflexivität a~a<=> a*a^-1 [mm]\varepsilon[/mm] U =e [mm]\varepsilon[/mm]
> U
Im Prinzip richtig, allerdings sollte man es noch etwas genauer aufschreiben. Was genau ist zu zeigen? Was sind die Voraussetzungen?
Also z.B.:
zu zeigen: $a [mm] \sim [/mm] a$, d.h. es ist zu zeigen dass [mm] $a*a^{-1}\in [/mm] U$
Voraussetzungen: für diese Behauptung keine speziellen, nur der allgemeine Rahmen dieser Aufgabe (G Gruppe, U Untergruppe von G).
Beweis: ...jetzt bist Du dran! (Wobei bei diesem Teil hier nicht viel steht)
>
> 2.Symmetrie a ~b<=>a*b^-1 [mm]\varepsilon[/mm] U dann folgt aus
> b~a<=>b*a^-1 [mm]\varepsilon[/mm] U ,da a ,b [mm]\varepsilon[/mm] U
>
!!!!ACHTUNG!!!! Es ist nicht unbedingt so, dass [mm] $a\in [/mm] U$ oder [mm] $b\in [/mm] U$, es muss nicht einmal eines der beiden Elemente in U liegen.
Versuche Dir auch hier nochmal strukturiert klarzumachen was die Voraussetzungen sind und was zu zeigen ist.
Voraussetzung: $a [mm] \sim [/mm] b$, also [mm] $a*b^{-1} \in [/mm] U$.
zu zeigen: $b [mm] \sim [/mm] a$, also [mm] $b*a^{-1} \in [/mm] U$.
Beweis: Dein Job. Noch als kleiner (oder besser großer) Tipp: was ist denn [mm] $(b*a^{-1})^{-1}$??
[/mm]
> und jetzt soll ich begründen warum es symmetrisch ?
> reicht das nicht aus ? :)
>
> 3.Transivität
>
> 1. a~b , b~a => a~a ,da a~b= a*b^-1 [mm]\varepsilon[/mm] U und
> b~a=b*a^-1 [mm]\varepsilon[/mm] U dann folgt (a*b^-1)*(b*a^-1)
> [mm]\varepsilon[/mm] U =(a*a^-1)*(b*b^-1)=e*e=e
>
> 2. a~b , b~c=> a~c <------------------------ könnte ich
> nach diesen ansatz nicht lösen wenn ja warum nicht ,denn
> c^-1 liegt auch in u denn a*b=c
> da jedes a [mm]\varepsilon[/mm] U ein a^-1 hat folgt c^-1 auch in c
> ....
Auch hier wieder: weder a noch b noch c müssen in U liegen!!! Du weisst nur, dass [mm] $a*b^{-1} \in [/mm] U$ und [mm] $b*c^{-1}\in [/mm] U$. Aber multipliziere doch mal 2 Elemente von U miteinander (so sehr viele kennen wir ja nicht  ) und schau, was dabei rauskommt.
>
> :)
>
Gruß
piet
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könnt ihr mir jetzt nicht nur den einen teil beweisen :) ,anstadt .... :) mich an der nase zu ziehen ,damit ich das einmal gesehen haben muss und weiß wie es dann funktioniert
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:25 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Rhombus |
(1) [mm] $a\sim [/mm] a$, denn [mm] $aa^{-1}=e\in [/mm] U$.
(2) [mm] $a\sim [/mm] b [mm] \Rightarrow ab^{-1} \in [/mm] U [mm] \Rightarrow ba^{-1} =(ab^{-1})^{-1} \in [/mm] U$
(3) $a [mm] \sim [/mm] b, b [mm] \sim [/mm] c [mm] \Rightarrow ab^{-1} \in [/mm] U, [mm] bc^{-1} \in [/mm] U [mm] \Rightarrow ac^{-1}=ab^{-1}bc^{-1} \in [/mm] U$.
Hier wurden die Untergruppeneigenschaften von $U$ verwendet.
VG, Rhombus
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[mm] bc^{-1} \in [/mm] U $ warum ist das ein element von U ,das würde ich gern mal wissen?
denn wir wissen nur das a*b^-1 ist element von u
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 Mi 02.05.2007 | | Autor: | Rhombus |
Bei der Transitivität setzt du [mm] $a\sim [/mm] b$ und [mm] $b\sim [/mm] c$ voraus und schließt auf $a [mm] \sim [/mm] c$. Lies dir die Definitionen noch einmal durch.
VG, Rhombus
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