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| Aufgabe | Sei (X,d) ein metrischer Raum und sei [mm] \emptyset [/mm] ungleich Y [mm] \subset [/mm] X versehen mit der Relativmetrik dY. Zeigen Sie:
Eine Teilmenge U [mm] \subset [/mm] Y ist genau dann offen in (Y,dY), wenn eine in (X,d) offene Teilmenge V existiert mit U = V [mm] \cap [/mm] Y. |
Hey, wir sitzen nun schon einige Stunden hier an dieser Aufgabe, aber wir kommen einfach nicht weiter... Bitte, bitte helft uns...
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> Hey, wir sitzen nun schon einige Stunden hier an dieser
> Aufgabe, aber wir kommen einfach nicht weiter... Bitte,
> bitte helft uns...
Hallo,
wenn Ihr mit mehreren Leuten mehrere Stunden gegrübelt habt, werdet Ihr ja auch mehrere Lösungsversuche unternommen haben. Von denen solltet Ihr schon etwas preisgeben.
Was habt Ihr Eiuch überlegt, woran scheitert es?
(Was ist eigentlich die "Relativmetrik"?)
Gruß v. Angela
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Also wir haben so angefangen:
Relativmetrik bedeutet ja, dass (Y,dy) ein metrischer Raum ist bzgl. dy(x,y) = d(x,y).
Naja dann haben wir angenommen U [mm] \subset [/mm] Y ist offen in (Y,dy).
Dann gilt ja für alle x [mm] \in [/mm] U gibt es ein r > 0 mit Br(x) [mm] \subset [/mm] U. Dann haben wir uns hingeschrieben, was jetzt aber Br(x) ist.
Br(x) = { [mm] y\in [/mm] Y, dy(x,y) < r }
Da wir es aber mit einer Relativmetrik zu tun haben, ist das ja das gleiche wie:
{ [mm] y\in [/mm] Y, d(x,y) < r }
Jetzt wissen wir ja noch, dass Y Teilmenge von X ist. Daher dürfte diese Menge ja eine Teilmenge von {y [mm] \in [/mm] X, d(x,y) <r } sein. So soweit waren wir auf der einen Seite.
Wir sollen ja jetzt zeigen, dass eine in (X,d) offene Teilmenge existiert mit U = [mm] V\cap [/mm] Y. Jetzt haben wir uns noch überlegt, naja, was ist eigentlich eine Teilmenge die offen in (X,d) ist:
Für alle x [mm] \\in [/mm] V gibt es ein r> 0 mit Br(x) [mm] \subset [/mm] V. Und auch hier haben wir uns wieder hingeschrieben, was das denn nun bedeutet:
Br(x) = {y [mm] \in [/mm] X, d(x,y) < r }
so jetzt haben wir ja oben und unten ziemlich ähnliche Mengen am Ende stehen, nur oben is halt das x in U und unten in V. Weiter sind wir dann nicht mehr gekommen....
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naja danke nochma ;) habs jetzt raus ^^
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