Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 05.10.2010 | | Autor: | MissMath |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{ dz/ ((z+1)(z-1)^3)} [/mm] |
Schönen Abend,
die angegebene Funktion hat doch bei z=1 und z=-1 isolierte Singularitäten und zwar Pole oder?
Müsste ich nicht an beiden Punkten das Residuum berechnen und mit denen dann weiter die Aufgabe lösen?
Meine Professorin hat nur das Residuum an der Stelle z=-1 berechnet und mit diesem Ergebnis die ganze Aufgabe gelöst! Wieso reicht das schon aus? Oder haben wir bei z=1 gar keine isolierte Singularität?
Schöne Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:10 Di 05.10.2010 | | Autor: | MorgiJL |
Hey...
> Bestimmen Sie [mm]\integral_{|z+1|=1}^{}{ dz/ ((z+1)(z-1)^3)}[/mm]
>
> Schönen Abend,
>
> die angegebene Funktion hat doch bei z=1 und z=-1 isolierte
> Singularitäten und zwar Pole oder?
> Müsste ich nicht an beiden Punkten das Residuum berechnen
> und mit denen dann weiter die Aufgabe lösen?
> Meine Professorin hat nur das Residuum an der Stelle z=-1
> berechnet und mit diesem Ergebnis die ganze Aufgabe
> gelöst! Wieso reicht das schon aus? Oder haben wir bei z=1
> gar keine isolierte Singularität?
liegt denn z=1 mit in der Menge, über welche integriert wird?...(mal das z als x+iy schreiebn und dann im KS kucken wie die Menge aussieht).
>
> Schöne Grüße
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
JAn
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:32 Di 05.10.2010 | | Autor: | MissMath |
Wir integrieren ja über den Kreis |z+1|=1 und wenn wir z=1 haben wäre dies gleich 2 also außerhalb des Kreises, stimmt das so? lässt man z=1 deswegen weg?
|
|
|
| |
|
Hallo MissMath,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Wir integrieren ja über den Kreis |z+1|=1 und wenn wir z=1
> haben wäre dies gleich 2 also außerhalb des Kreises,
> stimmt das so? lässt man z=1 deswegen weg?
>
So ist es.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:59 Mi 06.10.2010 | | Autor: | fred97 |
> Wir integrieren ja über den Kreis |z+1|=1 und wenn wir z=1
> haben wäre dies gleich 2 also außerhalb des Kreises,
> stimmt das so? lässt man z=1 deswegen weg?
Wenn Du mit dem Residuensatz dran gehst bekommst Du zunächst:
$ [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{ dz/ ((z+1)(z-1)^3)} [/mm] = 2 [mm] \pi [/mm] i(res(f,1)*n(c,1)+res(f,-1)*n(c,-1))$
wobei [mm] $c(t)=-1+e^{it}$ [/mm] (t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi]) [/mm] und n(c,z) die Umlaufzahl von c bezügl. z bedeutet.
Oben ist n(c,-1)=1 und n(c,1)=0
Hier:
https://matheraum.de/read?i=718715
hab ich einen weiteren Lösungsweg.
FRED
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 07:52 Mi 06.10.2010 | | Autor: | fred97 |
Ergänzend: Du kannst es auch so machen:
Sei K die offene Kreisscheibe um -1 mit Radius 3/2 und f(z):= [mm] \bruch{1}{(z-1)^3}
[/mm]
Dann ist f auf K holomorph
Mit der Cauchyschen Integralformel erhälst Du:
$ [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{ dz/ ((z+1)(z-1)^3)} [/mm] = [mm] \integral_{|z+1|=1}^{}{\bruch{f(z)}{z+1} dz}= [/mm] 2 [mm] \pi [/mm] i*f(-1)= - [mm] \bruch{ \pi i}{4}$
[/mm]
FRED
|
|
|
|
