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Forum "Uni-Sonstiges" - Restglied nach Lagrange
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Restglied nach Lagrange: Was mach ich falsch?
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 13:49 Mo 24.11.2008
Autor: brichun

Aufgabe
Gesucht ist das Restglied für die Funktion [mm] f(x) = \wurzel{x} [/mm]

Entwicklung:  xo = 4
Ordnung: n=2
Bereich für 3< x <5



Meine Ableitungen:

[mm] f(x)= \wurzel{x} [/mm]
[mm] f^1(x)= \bruch{1}{2*\wurzel{x}} [/mm]
[mm] f^2(x)= -\bruch{1}{4*\wurzel{x^3}} [/mm]
[mm] f^3(x)=f^{n+1}(x)= \bruch{3}{8*\wurzel{x^5}} [/mm]

Restglied nach Lagrange:

[mm] Rn(x) = \bruch{f^{n+1}(\gamma)}{(n+1)!} * (x-xo)^{n+1} [/mm]


Für  [mm]\gamma<\left| x-xo \right| [/mm]

[mm] f^{n+1}(x) = \bruch{3}{8*\wurzel{x^5}}[/mm]

Einsetzen in Restgliedformel:

[mm] Rn(x)= \bruch{3}{8*6*\wurzel{\gamma^5}} * (x-4)^3[/mm]

[mm]\gamma=\left| 3-4 \right| = 1 [/mm]

[mm]\gamma=\left| 5-4 \right| = 1 [/mm]

[mm] Rn(x)= \bruch{3}{8*6*\wurzel{1^5}} * (5-4)^3[/mm]

Bei mir kommt da [mm] \bruch {1}{16} [/mm] raus.
im Ergebnis steht bei mir

[mm] Rn(x)<= 0.004 [/mm]


Was ist da falsch?




        
Bezug
Restglied nach Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:34 Mo 24.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Gesucht ist das Restglied für die Funktion [mm]f(x) = \wurzel{x}[/mm]
>  
> Entwicklung:  xo = 4
>  Ordnung: n=2
>  Bereich für 3< x <5
>  Restglied nach Lagrange:
>  
> [mm]Rn(x) = \bruch{f^{n+1}(\gamma)}{(n+1)!} * (x-xo)^{n+1}[/mm]
>  
>
> Für  [mm]\gamma<\left| x-xo \right|[/mm]

      (???)
  

> [mm]f^{n+1}(x) = \bruch{3}{8*\wurzel[5]{x}}[/mm]


      diese 5.Wurzel ist falsch !


Bezug
                
Bezug
Restglied nach Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:46 Mo 24.11.2008
Autor: brichun

Danke Ich hab jetzt meinen Fehler gefunden -> falsche Ableitung ;)

Bezug
                        
Bezug
Restglied nach Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:56 Mo 24.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Danke Ich hab jetzt meinen Fehler gefunden -> falsche
> Ableitung ;)


ja, und das [mm] \gamma [/mm] in deiner Formel steht in dem Beispiel
natürlich nicht für eine Zahl mit  [mm] |\gamma|<1 [/mm] , sondern
für eine Zahl zwischen 3 und 5

Gruß


Bezug
                                
Bezug
Restglied nach Lagrange: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:20 Di 25.11.2008
Autor: brichun

[mm] \gamma [/mm] ist also eine Zahl zwischen dem Bereich 3 - 5

ja dann funktionniert es.

Ich hab in meinem Mathebuch folgendes  für Gamma stehen

[mm] x<\gamma
das ist doch nicht der Bereich zwischen 3-5 ?

richt wäre es doch so?

[mm] [mm] \left|x\right|<\gamma
da ja x positiv oder negativ zum Entwicklungspunkt xo den Bereich eingrenzt.

Vielen dank für die Hilfe!
  

Bezug
                                        
Bezug
Restglied nach Lagrange: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:53 Di 25.11.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> [mm]\gamma[/mm] ist also eine Zahl zwischen dem Bereich 3 - 5
>  
> ja dann funktionniert es.
>  
> Ich hab in meinem Mathebuch folgendes  für Gamma stehen
>
> [mm]x<\gamma
>  
> das ist doch nicht der Bereich zwischen 3-5 ?
>  
> richt wäre es doch so?
>  
> [mm][mm]\left|x\right|<\gamma

> da ja x positiv oder negativ zum Entwicklungspunkt xo den Bereich eingrenzt.



Im Beispiel will man eine Obergrenze für den
absoluten Fehler, den man macht, wenn man
für ein beliebiges [mm] x\in[3;5] [/mm] die Wurzelfunktion
durch das Taylorpolynom [mm] T_2(x) [/mm] ersetzt.
[mm] \gamma [/mm] ist für jedes x irgendeine zwischen
[mm] x_0 [/mm] und x liegende Zahl, also ist entweder
[mm] x<\gamma Um den Betrag des Restgliedes nach oben
abzuschätzen, muss man sich überlegen,
wie gross der Term

      [mm] \left|\bruch{f'''(\gamma)}{3!}*(x-4)^3\right| [/mm]

höchstens werden kann, wenn

      $\ x [mm] \in[3;5]$ [/mm] und [mm] $\gamma \in[3;5]$ [/mm]

[mm] \left|f'''(\gamma)\right| [/mm] wird im betrachteten Intervall
am grössten, wenn [mm] \gamma=3, [/mm] |x-4| ist
maximal 1 (falls x=3 oder x=5). Insgesamt
kommt man dann auf die Ungleichung

      [mm] |R_2(x)|\le \left| \bruch{f'''(3)}{3!}*1^3\right|\approx\left|\bruch{0.02406}{6}*1 \right| \approx0.004 [/mm]
    


Bezug
                                                
Bezug
Restglied nach Lagrange: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:24 Do 27.11.2008
Autor: brichun

Jetzt hab ichs verstanden

vielen dank

gruß


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