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| Aufgabe | Für p [mm] r\in\IN [/mm] sei [mm] p\IZ:=\{p*z | z \in \IZ\};
[/mm]
I) Zeigen Sie, daß dann pZ eine Untergruppe von [mm] (\IZ, [/mm] +) ist, die sogar ein Ideal in [mm] \IZ [/mm] bezüglich der Multiplikation
ist, das heißt es gilt g · h [mm] \in [/mm] pZ für alle g [mm] \in [/mm] Z und h [mm] \in [/mm] pZ.
II) Es sei + die von der Addition in [mm] \IZ [/mm] auf [mm] \IZ [/mm] p induzierte Verknüpfung. Zeigen sie, daß dann [mm] (\IZ [/mm] p,+,*) ein
kommutativer Ring mit 1 ist (der Restklassenring modulo p). |
Also,nimmt man z.B. die Gruppe 3 [mm] \IZ, [/mm] sie enthält {3,6,9,12,......n}
Welche Elemente enthält dann [mm] \IZ [/mm] 3 ,wenn [mm] \IZ [/mm] 3 gleich [mm] \IZ [/mm] / 3 [mm] \IZ [/mm] ist ???
Da fängts schon mal an! Und das g*h , g [mm] \in \IZ [/mm] * [mm] \wedge h\in [/mm] 3 [mm] \IZ [/mm] dann auch wieder durch 3 teilbar ist,also [mm] \in [/mm] 3 [mm] \IZ [/mm] ist auch klar (jetzt bei meinem Beispiel) , aber wie schreib ich das mathematisch????
Und Aufgabe II) was heißt "in [mm] \IZ [/mm] auf [mm] \IZ [/mm] p induzierte Verknüpfung"?
Der Restklassenring modulo p enthält doch {(x,y) [mm] \in \IZ [/mm] , x-y=k*p , [mm] k\in \IN} [/mm] oder? also modulo 3 z.B. Mengen von Zahlen, die beim teilen durch 3 den gleichen Rest lassen.....Aber sind das nun nur "Pärchen" oder wie?
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> Für p [mm]r\in\IN[/mm] sei [mm]p\IZ:=\{p*z | z \in \IZ\};[/mm]
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> I) Zeigen Sie, daß dann pZ eine Untergruppe von [mm](\IZ,[/mm] +)
> ist, die sogar ein Ideal in [mm]\IZ[/mm] bezüglich der
> Multiplikation
> ist, das heißt es gilt g · h [mm]\in[/mm] pZ für alle g [mm]\in[/mm] Z
> und h [mm]\in[/mm] pZ.
>
> II) Es sei + die von der Addition in [mm]\IZ[/mm] auf [mm]\IZ[/mm] p
> induzierte Verknüpfung. Zeigen sie, daß dann [mm](\IZ[/mm] p,+,*)
> ein
> kommutativer Ring mit 1 ist (der Restklassenring modulo
> p).
Hallo,
> Also,nimmt man z.B. die Gruppe 3 [mm]\IZ,[/mm] sie enthält
> {3,6,9,12,......n}
Nein. Wenn schon, dann würde das ja sowieso bis 3n laufen, aber auch das ist verkehrt.
In der Menge sind sämtliche ganzzahlige Vielfache von 3, also ist [mm] 3\IZ=\{0, \pm 3, \pm 6, \pm 9, ...\}.
[/mm]
> Welche Elemente enthält dann [mm]\IZ[/mm] 3 ,wenn [mm]\IZ[/mm] 3 gleich [mm]\IZ[/mm]
> / 3 [mm]\IZ[/mm] ist ???
So. Die Mengen sind nicht gleich.
> Da fängts schon mal an! Und das g*h , g [mm]\in \IZ[/mm] * [mm]\wedge h\in[/mm]
> 3 [mm]\IZ[/mm] dann auch wieder durch 3 teilbar ist,also [mm]\in[/mm] 3 [mm]\IZ[/mm]
> ist auch klar (jetzt bei meinem Beispiel) , aber wie
> schreib ich das mathematisch????
Sei [mm] h\in 3\IZ. [/mm] Dann gibt es ein [mm] z\in \IZ [/mm] mit h= ...,
und es ist g*h= ...= 3* (...), also ist [mm] g*h\in 3\IZ.
[/mm]
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> Und Aufgabe II) was heißt "in [mm]\IZ[/mm] auf [mm]\IZ[/mm] p induzierte
> Verknüpfung"?
Damit dürfte die Addition +_p gemeint sein:
Für alle [mm] \overline{x}, \overline{y}\in \IZ_p [/mm] ist
[mm] \overline{x} +_p\overline{y}:=\overline{x+y}
[/mm]
(Dabei ist + die Addition in [mm] \IZ. [/mm] Oft läßt man für die Addition in den Restklassen den Index p auch weg, aber mit Index ist es etwas deutlicher. )
> Der Restklassenring modulo p enthält doch [mm] \{(x,y)\in \IZ , x-y=k*p ,k\in \IN\}oder? [/mm] also modulo 3 z.B. Mengen von
> Zahlen, die beim teilen durch 3 den gleichen Rest
> lassen.....Aber sind das nun nur "Pärchen" oder wie?
Nein.
In der Restklasse [mm] \oberline{x} [/mm] sind all diejenigen Zahlen y aus [mm] \IZ, [/mm] für welche x-y=k*p mit [mm] k\in \IZ [/mm] gilt, also all die zahlen, die bei Division durch p denselben Rest lassen, wie x.
Mal konkret für p=3:
[mm] \overline{0}=\{0, \pm 3, \pm 6, \pm 9, ...\}
[/mm]
[mm] \overline{1}=\{ ..., -8, -5, -2, 1, 4, 7,...\}
[/mm]
[mm] \overline{2}=\{ ..., -7, -4, -1, 2, 5, 8,...\}
[/mm]
Die Restklassen sind also gewisse Teilmengen der ganzen Zahlen.
Gruß v. Angela
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