Restterm bei vollst. Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:14 So 31.10.2010 | | Autor: | lexjou |
| Aufgabe | Zeige mit der Methode der vollständigen Induktion, dass [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] die folgende Aussage gilt:
[mm] A(n):\gdw \summe_{k=n}^{20n}k=\bruch{1+20}{2}n((20-1)n+1)
[/mm]
1. Verankerung: Gilt die Aussage A(0)?
LS: [mm] \summe_{k=0}^{0}k:=0
[/mm]
RS: [mm] \bruch{1+20}{2}0((20-1)0+1)=0
[/mm]
2. Induktionsschritt
Sei n eine beliebige natürliche Zahl und es gelte A(n)
Untersuche, ob dann auch A(n+1) gilt, d.h. ob die folgende Gleichung
[mm] \bruch{1+20}{2}(n+1)((b+1)(n+1)+1)
[/mm]
gilt.
Dazu betrachten wir die Gleichung
[mm] \summe_{k=n+1}^{20(n+1)}k=\summe_{k=n}^{20n}k+R_{n}
[/mm]
[mm] (R_{n} [/mm] ist durch obige Gleichung definiert.)
a) Berechne den Restterm [mm] R_{n} [/mm] und schreibe ihn in die Form
[mm] R_{n}="x"n+"y". [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe schon hin und her überlegt, wie ich auf die Lösung kommen könnte!
Laut Definition ist ja A(n+1)=A(n)+k!
Da komme ich dann aber auf folgende Gleichung:
[mm] \summe_{k=n+1}^{20(n+1)}k=\bruch{1+20}{2}n((20-1)n+1)+(n+1)
[/mm]
Oder man setzt für n=n+1 ein und dann sieht das so aus:
[mm] \summe_{k=n+1}^{20(n+1)}k=\bruch{1+20}{2}(n+1)((20-1)(n+1)+1)
[/mm]
Aber wie kommt dann dieses "(b-1)" da rein?
Ich habe schon überlegt, dass
[mm] R_{n}=\summe_{k=n+1}^{20(n+1)}k [/mm] - [mm] \summe_{k=n}^{20n}k
[/mm]
Aber da komme ich auf nichts Gescheites.
Kann mir da irgendjemand weiterhelfen???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:28 So 31.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. das b steht da, weil du rauskriegen sollst was da richtig steht.
2. A(n+1)=A(n)+k versteh ich nicht, was soll denn k sein
3. Was heisst ich komm auf nichts Gscheites? Was hast du denn raus?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:59 Mo 01.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Leduart,
das k steht in diesem Fall für (n+1), da ich ja die Summe für alle natürlichen Zahlen angebe. Steht so bei Wikipedia.
Für mich logischer wäre, in der rechten Seite komplett für jedes n=n+1 einzusetzen!
Weil ich denke, das mit dem "+k" haut nicht hin, weil ich ja im Index k=n habe und nicht z.B. k=0.
Also soll ich nach b umstellen und das soll dann [mm] R_{n} [/mm] sein?
Bis jetzt kam ich auf eine Megalgleichung die über eine ganze A4 Zeile ging! Das krieg ich ja niemals in die Form die vorgegeben ist!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:08 Mo 01.11.2010 | | Autor: | lexjou |
Hallo Loddar,
aber dann weiß ich immer noch nicht, was das b zu bedeuten hat und wie ich auf die am Schluss geforderte Lösung komme.
So wie ich das verstanden habe soll ich davon jetzt A(n) subtrahieren und das soll dann [mm] R_{n} [/mm] sein.
Aber das sieht dann so aus:
[mm] \summe_{k=n+1}^{20(n+1)}k [/mm] - [mm] \summe_{k=n}^{20n}k
[/mm]
also:
[mm] (\bruch{1+20}{2}(n+1)((20-1)(n+1)+1))-(\bruch{1+20}{2}(n)((20-1)n+1))=R_{n}
[/mm]
Aber was hat das b in der oberen Gleichung zu suchen???
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Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Das b ist einfach nur, weil Du Dir selbst überlegen sollst, was da stehen muß.
Deine Chefs wollten halt helfen und dabei nicht alles verraten - irgendwie scheint der Schuß nach hinten loszugehen.
Im Induktionsschluß ist zu zeigen, daß unter der Induktionsannahme dann [mm] \summe_{k=n+1}^{20(n+1)}k=\bruch{21}{2}(n+1)*(19(n+1)+1)=\bruch{21}{2}(n+1)(19n+20) [/mm] folgt. Einfach n durch n+1 ersetzen und sonst alles in der "Originalaussage" unverändert lassen.
Zu dem ominösen [mm] R_n:
[/mm]
Es ist
[mm] \summe_{n+1}^{20(n+1})k= [/mm] (n+1) +(n+2)+...+20n+(20n+1)+(20n+2)=
[mm] =\blue{n}+(n+1) +(n+2)+...+20n+(20n+1)+(20n+2)\blue{-n}
[/mm]
[mm] =\red{n+(n+1)+...+20n} [/mm] +(20n+1)+(20n+2)-n
[mm] =\red{\summe_{k=n}^{20n}k}+(20n+1)+(20n+2)-n.
[/mm]
Der Restterm ist [mm] R_n=(20n+1)+(20n+2)-n, [/mm] und man wünscht sich von Dir, daß Du ihn schreibst als (20n+1)+(20n+2)-n=...*n+...
So, b und [mm] R_n [/mm] sollten jetzt geklärt sein, und darüber kannst Du selbst noch ein wenig nachdenken:
> wie ich auf die am Schluss geforderte Lösung
> komme.
Für das, was ich oben rot markiert habe, setzt Du natürlich die Induktionsannahme ein.
Gruß v. Angela
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Hallo,
ich hab mit Hilfe von Angelas Angaben gerade die gleiche Aufgabe durchgerechnet und wollte wissen ob ich alles korrekt gemacht habe, da die Zahlenwerte irgendwie seltsam aussehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: PNG) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Fr 04.11.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Genau so!
