Resultante Quadratzahl? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $f(X):=X^n+aX+b$. [/mm] Die Resultante $Res(f,f')$ lässt sich schreiben als
[mm] $Res(f,f')=n^nb^{n-1}+(-1)^{n-1}(n-1)^{n-1}a^n$
[/mm]
Für welche [mm] $a,b\in\mathbb{Z}$ [/mm] ist $Res(f,f')$ eine Quadratzahl? |
Ich habe an eine Fallunterscheidung gedacht. Im Fall $n=2k$ ist
[mm] $Res(f,f')=(2k)^{2k}b^{2k-1}-(2k-1)^{2k-1}a^{2k}
[/mm]
Mir will aber nicht einfallen, wie ich zeigen kann, wann dies eine Quadratzahl ist.
Hoffe ihr könnt mir helfen. Vielen Dank vorab an jeden der hilft ;)
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Niemand eine Idee oder ist die Aufgabe zu schwer? Bitte gebt mir doch einen Tipp!
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Versehentlich als Mitteilung geschrieben. Hat niemand einen Tipp für mich?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:28 Mo 25.11.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Differential,
> Versehentlich als Mitteilung geschrieben.
Nein, das hast Du gar nicht. Deinen zweiten Beitrag (=1.Erinnerung) habe ich als Mitteilung eingestuft, den nächsten Loddar. Wir sind beide Moderatoren.
Deine Frage rückt in der Fragenliste auch dann nach oben, wenn Du irgendeinen neuen Beitrag schreibst, eben auch eine Mitteilung. Solange der neue Beitrag keine inhaltlich neue Botschaft enthält, verfahren wir daher lieber so.
Zur Sache: Was eine ![[]](/images/popup.gif) Resultante ist, ist mir bewusst. Was ich mich nur frage ist, ob Du wirklich herausfinden willst, wann die Resultante eine Quadratzahl ist. Wenn ja, wozu? Oder geht es doch um f(X)?
Verrat doch mal die ganze Aufgabe, vielleicht wird es dann verständlicher.
Grüße
reverend
> Hat niemand einen
> Tipp für mich?
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Hallo reverend ,
vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe den Text oben bearbeitet. Das ist WIRKLICH die komplette Aufgabe.
Zu zeigen ist, dass es unendlich viele $a,b$ gibt, sodass die Diskriminante von $f$ eine Quadratzahl in [mm] $\mathbb{N}$ [/mm] ist. Da sich die Diskriminante nur um ein Vorzeichen von $Res(f,f')$ unterscheidet, genügt es letzteres zu betrachten.
Eine Quadratzahl ist also eine Zahl [mm] $q^2$ [/mm] mit [mm] $q\in\mathbb{Z}$.
[/mm]
Hoffe es ist jetzt ein wenig verständlicher ;)
Liebe Grüße
Differential
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Hey,
nach deiner neusten Mitteilung sieht die Sachlage doch ganz anders aus.
Es ist sehr schwer festzustellen, wann diese Zahl eine Quadratzahl ist.
Allerdings ist es leicht, unendlich viele Quadratzahlen dieser Form zu bauen:
Ist $n$ gerade so wähle $a=0$, ist $n$ ungerade so wähle $b=0$.
In beiden Fällen kannst du unendlich viele $b$ bzw. $a$ wählen, die dir Quadratzahlen geben.
lg
Schadow
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Ist es wirklich so einfach? Die Exponenten passen m.E. nicht so einfach zusammen, z. B. wenn $a=0$, dann bleibt [mm] $(2k)^{2k} [/mm] * [mm] b^{2k-1}$ [/mm] und das kann ich m. E. nicht zu einer Quadratzahl machen (außer für triviale Fälle für $b$).
Das hilft zwar auch nicht auf dem Weg zur Lösung, irritiert mich aber.
p.s. Ich habe es mal einfach gemacht und mir das für $n=2$ angeschaut. Dann bekommt man einen Term mit $a$ und $b$, der eine Quadratzahl ergeben muss, vielleicht bekommt man über solche Beispiele einen Zugang zu Lösungen für $a$ und $b$.
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Doch, doch, das geht, auch wenn es nicht so aussieht.
Als Tipp: Wähle $b$ als Quadratzahl. :)
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Hi,
angenommen wir wählen $b$ als Quadratzahl, d.h.: [mm] $b=\tilde{b}^2$. [/mm] Dann erhalten wir für den Fall $n=2k$:
[mm] $Res(f,f')=(2k)^{2k}\tilde{b} ̃^{4k-2}-(2k-1)^{2k-1} a^{2k}=((2k)^{k}\tilde{b} ̃^{2k-1})^2-(2k-1)^{2k-1} a^{2k}=((2k)^k \tilde{b} [/mm] ̃^{2k-1} [mm] )^2-(2k-1) ((2k-1)^{k-1} a^k )^2$
[/mm]
Jetzt ist der linke Summand schon mal eine Quadratzahl. Aber wann ist die Summe eine Quadratzahl? Hast du da noch eine Idee?
LG
Differential
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Wie schon gesagt: $a=0$ wählen. :)
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Sorry, hatte deinen Beitrag zunächst nicht gesehen. Ja, dass war auch meine erste Idee. Irgendwie habe ich mich aber darin verrannt zu denken, dass es auch gehen müsste, ohne einer der beiden Null ist.
Vielen Dank für deine Antwort!
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