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| Aufgabe | Sei A [mm] \in \IR^{nxn} [/mm] symmetrisch und positiv definit mit Eigenwerten 0 < [mm] \lambda_{1} \le \lambda_{2} \le...\le \lambda_{n}
[/mm]
zu zeigen ist, dass die Richardson-Iteration für den Relaxationsparameter
[mm] w=\bruch{2}{\lambda_{1} + \lambda_{n}}
[/mm]
konvergiert.
Berechnen sie für [mm] A=\pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 } b=\vektor{2 \\ -2} x^{(0)}=\vektor{0 \\ 0}
[/mm]
Zwei Iterationsschritte mit obigem Parameter w sowie mit w [mm] =\bruch{1}{4}.Vergleichen [/mm] Sie die Ergebnisse mit der exaten Lösung. |
Hallo,
also ich habe zunächst den Eigenwert von A berechnet und dann w ausgerechnet:
charakteristisches Polynom:
[mm] x^2 [/mm] - 6x + 8
reelle Eigenwerte:
{2; 4}
w= [mm] \bruch{2}{2+4}=\bruch{2}{6}=\bruch{1}{3}
[/mm]
[mm] x^{(k+1)}=x^k-w *(A*x^k-b)
[/mm]
[mm] x^{k-1}=\vektor{0 \\ 0} [/mm] -w * [mm] \pmat{ 3 & 1 \\ 1 & 3 } [/mm] * [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] - [mm] \vektor{2 \\ -2} [/mm] = [mm] \bruch{-1}{3} *\vektor{-2 \\ 2} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{2}{3} \\ \bruch{-2}{3}}
[/mm]
nun weiss ich nicht mehr weiter!kann mir jmd helfen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:22 Fr 04.07.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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