Richtungsableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:47 Sa 27.06.2009 | | Autor: | maxi85 |
| Aufgabe | | Berechne für f(x,y) = sin xy im Punkt (1;0) die Richtungsableitung in Richtung v= [mm] (1/2,1/2\wurzel{3}) [/mm] und ferner die Richtung in diesem Punkt, in der die Richtungsableitung [mm] \partial_{v}f(1;0) [/mm] maximal ist, sowie diesen maximalen Wert. |
Ich hab mich da mal ran gemacht und bin mir jetzt nicht ganz sicher ob ich da totalen blödsinn raushabe oder nicht.
Hier erstmal meine Rechnung:
[mm] \partial_{v}f(x,y) [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f((x,y) +tv) - f(x,y)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{f(x+0,5t;y+0,5\wurzel{3}) - f(x,y)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin((1+0,5t)*(1/2\wurzel{3}))-0}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} [/mm] 1/t * [mm] sin(0,5\wurzel{3}(1+0,5t))= \begin{cases} \infty, & \mbox{für } t \mbox{>0 } \\ -\infty, & \mbox{für } t \mbox{<0} \end{cases}
[/mm]
dieses ergebniss leuchtet mir allerdings nicht annähernd ein, denn wenn die ableitung unendlich ist müsste der anstieg an der stelle ja extrem hoch sein. wenn ich mir das aber zeichnen lasse sehe ich das absolut nicht...
Ich muss also entweder nen Denkfehler haben oder mich irgendwo verrechnet haben. Korrektur von einem von beiden wäre daher toll! :)
Der zweite teil der aufgabe heißt ja dann ich soll die richtung bestimmen in der die richtungsableitung an diesem punkt maximal wird. wenn mein ergebniss stimmen würde müsste ich diese aber doch schon haben, oder? Und wenn es nicht stimmt, wie berechne ich das dann? Einfach [mm] v=(v_{1};v_{2}) [/mm] setzen, rechnen und am ende gucken wie v aussehen muss damit was großes rauskommt?
danke im vorraus, die Maxi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:50 Sa 27.06.2009 | | Autor: | Zorba |
Wende vor dem letzten Schritt mal die Regel von de L'Hospital an
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 Sa 27.06.2009 | | Autor: | maxi85 |
l´hopital besagt doch aber, dass
[mm] \lim_{x\to x_0}\tfrac{f(x)}{g(x)}\,=\,\lim_{x\to x_0}\tfrac{f'(x)}{g'(x)} [/mm] <=> [mm] \lim_{x \to x_0}{f(x)} [/mm] = 0 und [mm] \lim_{x \to x_0}{g(x)} [/mm] = 0
wenn ich nun aber [mm] f(x)=\bruch{1}{sin(0,5\wurzel{3}(1+0,5t))} [/mm] und g(x)=t setze wird das doch nix?! für t->0 ist ja dann [mm] f(x)=\bruch{1}{sin(0,3\wurzel{3})}\approx [/mm] 1/0,76 [mm] \approx [/mm] 1,315
und wenn ichs anders rum drehe (also f(x) und g(x)) komm ich auch nicht weiter...
oder fasse ich hier gerade falsch auf was [mm] x->x_{0} [/mm] bedeutet?
Aber selbst wenn [mm] x_0 [/mm] nullstelle sein soll finde ich doch da nix was für beide gilt?!?
Ich bin verwirrt...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:08 Sa 27.06.2009 | | Autor: | maxi85 |
*grummel*
Hat sich wahrscheinlich erledigt, dank an leduard (und alle die ihre Zeit damit verschwendet haben meinen rechenfehler zu suchen...)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:15 Sa 27.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
nochmal
da steht [mm] sin(0,5\wurzel{3}*t(1+0,5t)) [/mm] das ist fuer t=0 0
warum hast du das jetzt ploetzlich im Nenner statt im Zaehler?
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:18 Sa 27.06.2009 | | Autor: | maxi85 |
sorry, ich war durch die erste antwort ein wenig verwirrt wie ich das nun drehen muss. aber wenn ich das t im sinus dazu nehme wleches ich vergessen hatte is alles klar, danke!
Ich sollte länger nachdenken bevor ich irgendwas in den Computer tippe...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:33 Sa 27.06.2009 | | Autor: | Zorba |
Sorry fürs verwirren, ich hatte nicht nachgerechnet, habe auch dein übersehenes t nicht bemerkt!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:55 Sa 27.06.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. hast du ein t vergessen in deinem sin. (bei y)
2. Dein GW waere 0/0 also nicht unbedingt [mm] \infty [/mm] , also neu rechnen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:43 Sa 27.06.2009 | | Autor: | maxi85 |
ok beim ersten teil kriege ich dann über l´hopital den wert [mm] 1/2\wurzel{3} [/mm] raus. (muss niemand für mich nachrechnen)
der 2. teil macht mir noch ein bissl kopfschmerzen. mein ansatz ist:
[mm] \partial_v f=\limes_{t\rightarrow 0}= \bruch{f(1+tv_1;0+tv_2)-f(1;0)}{t} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} \bruch{sin(tv_2 + t^2v_1 v_2)}{t}
[/mm]
hier müsste ja dann wieder l´hopital dran sein
==> = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} cos[(tv_2 [/mm] + [mm] t^2v_1 v_2)(2tv_1 v_2 [/mm] + [mm] v_2)] [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 0} cos(2t^3 (v_1 v_2)^2 [/mm] + [mm] tv^2_2 [/mm] + 3 [mm] t^2 v_1 v^2_2)
[/mm]
jetzt müsste ich ja hoffentlich (weil cos stetig ist?) limes und cos vertauschen können.
==> cos[ [mm] \limes_{t\rightarrow 0} 2t^3 (v_1 v_2)^2 [/mm] + [mm] tv^2_2 [/mm] + 3 [mm] t^2 v_1 v^2_2 [/mm] wird maximal wenn der ausdruck in der klammer gegen 0 geht (oder [mm] 2k\pi [/mm] , [mm] k\in \IN), [/mm] das passiert hier doch aber für beliebiges [mm] v_1 ,v_2 [/mm] ??? da ich aber oben schon was anderes raushabe wird das wohl kaum stimmen...
hat jemand ne idee wo mein denkfehler diesmal liegen könnte?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 Sa 27.06.2009 | | Autor: | Zorba |
Du hast glaube ich die innere Ableitung in den cos gezogen. Das geht nicht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:01 Sa 27.06.2009 | | Autor: | maxi85 |
du hast natürlich recht. und dann ist es auch kein problem mehr.
ich brauch dringend jemanden der/die mir rechnen beibringt...
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