Richtungsableitung fuer lokal Lipschitz stetige Funktionen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:21 Do 02.09.2004 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
(Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.)
Ich habe folgendes Problem: Sei [mm] f:\IR^{n} \rightarrow \IR [/mm] eine Funktion und d [mm] \in \IR^{n} [/mm] eine Richtung. Gibt es eine lokal Lipschitz stetige Funktion f fuer die der Grenzwert
[mm] \limes_{t \rightarrow 0} \bruch{f(x + td) - f(x)}{t}
[/mm]
nicht existiert? Dabei sei (t) eine Folge die von oben gegen 0 konvergiert.
Falls der Grenzwert existiert, spricht man von einer Richtungsableitung. Weil f lokal Lipschitz stetig ist, kann der Limes oben nicht unbeschraenkt wachsen. Was hoechstens passieren kann ist, dass der Limes mehrere Haeufungspunkte hat. Wie koennte so eine Funktion f aussehen?
Gruss
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:59 Do 02.09.2004 | | Autor: | BJJ |
Tut mir leid, ich glaube ich habe selber eine Antwort gefunden:
Es sei
f(x) = [mm] \left\{\begin{matrix}
x & \mbox{wenn }x\in\IQ\\
0 & \mbox{wenn }x\in \IR\setminus \IQ
\end{matrix}\right.
[/mm]
Dann ist f im Punkt 0 lokal Lipschitz stetig. Die Richtungsableitung fuer d = 1 existiert nicht. Wer die Nullfolge (t) ueber [mm] \IQ [/mm] waehlt erhaelt als Haeufungspunkt 1 und wer ueber [mm] \IR\setminus \IQ [/mm] kommt erhaelt als Haeufungspunkt 0.
Manchmal platzt der Knoten nach langem Gruebeln, kurz nachdem man die Frage stellt. Trozdem danke fuer eure Aufmerksamkeit.
Gruss
bjj
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Hallo BJJ,
Lokal Lipschitz stetig heißt doch. Es gibt eine Umgebung von 0 in der die Lipschitzbedingung gilt. Kannst Du eine solche Umgebung wirklich angeben.
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:29 Do 02.09.2004 | | Autor: | BJJ |
Hi mathemaduenn,
stimmt geht nicht, f ist nur stetig in 0 aber nicht lokal Lipschitz stetig. Das war mal wieder der uebliche Sturz von himmelhochjauzechend bis zu Tode betruebt. Jetzt muss neu ueberlegt werden. Danke, jedenfalls.
Gruss
bjj
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Do 02.09.2004 | | Autor: | Julius |
Löst leider nicht das Problem, siehe Antwort von bjj.
Hallo bjj!
Also, wenn du nur ein $x$ suchst, so dass (eine) die (Richtungs-)Ableitung an der Stelle $x$ nicht existiert (obwohl die Funktion (lokal) Lipschitz-stetig ist), dann würde ich es mal mit der Betragsfunktion
$f(x) = |x|$
auf [mm] $\IR$ [/mm] versuchen...
$f$ ist trivialerweise Lipschitz-stetig (mit Lipschitz-Konstante $L=1$), aber die Ableitung an der Stelle $x=0$ existiert nicht.
Dieses Beispiel lässt sich auch für höhere Dimensionen in Form von [mm] $f(x)=|x_i|$ [/mm] und der Richtung [mm] $e_i$ [/mm] verallgemeinern.
Klar? (Wenn nicht, dann frage bitte nach...)
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:09 Do 02.09.2004 | | Autor: | BJJ |
Hallo Julius,
danke fuer deine Antwort.
Die Betragsfunktion ist zwar nicht differenzierbar im Punkt 0 aber die Richtungsableitungen (so wie ich sie definiert habe) existieren. Das Problem bleibt also weiter offen ;)
Gruss
bjj
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:16 Do 02.09.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo bjj!
Ach so, jetzt sehe ich es: Weil bei dir $t$ stets von oben gegen $0$ konvergiert.
Okay, sorry, das hatte ich überlesen. ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Liebe Grüße
Julius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:22 Fr 03.09.2004 | | Autor: | BJJ |
Hallo Julius,
genau, das haette ich wohl bei meiner Frage etwas deutlicher hervorheben muessen als kllammheimlich im Nebensatz zu erwaehnen.
Gruss
bjj
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Hallo BJJ,
Hab mir mal was überlegt. nimm 2 Folgen die unterschiedlich gg. 0 gehen( [mm]\bruch{1}{n},\bruch{1}{n^2}[/mm]) und versuche daraus eine Lipschitz stetige Funktion zu basteln.
in etwa so:
Für gerade n gilt:
[mm]f\left(\bruch{1}{n}\right)=\bruch{1}{n}[/mm]
[mm]f\left(\bruch{1}{n+1}\right)=\bruch{1}{n^2}[/mm]
und dazwischen linear fortsetzen. Wenn der Anstieg begrenzt bleibt ist die L-stetig und es gibt auf jeden Fall 2 Folgen für die der GW unterschiedlich ist.
gruß
mathemaduenn
Edit: Die so konstruierte Funktion ist doch nicht L-stetig
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 05:48 Fr 03.09.2004 | | Autor: | BJJ |
Hallo mathemaduenn,
gute Idee. Deine Funktion oszilliert stueckweise linear zwischen einer linearen und einer quadratischen Funktion, so dass man fuer d = 1 als Richtungsableitungen 1 und 0 erhaelt. Gibt es einen Grund, dass du
[mm] f\left(\bruch{1}{n+1}\right) = \bruch{1}{n^{2}} [/mm]
statt
[mm] f\left(\bruch{1}{n+1}\right) = \bruch{1}{(n+1)^{2}}[/mm]
waehlst?
Ich habe mir etwas aehnliches ueberlegt, nur mit einem glatten Kurvenverlauf. Paar Details sind aber noch nicht bewiesen: Betrachte die Funktion
[mm] f(x) = x sin\left(\bruch{1}{x}\right) [/mm]
1. f muesste man doch stetig im Punkt 0 mit f(0) = 0 fortsetzen koennen.
2. Intuitiv erscheint es mir, dass f lokal Lipschitz stetig in einer Umgebung von 0 sein koennte.
3. Je nachdem ob man unten oder oben auf der Amplitude reitet, erhaelt man unterschiedliche Richtungsableitungen.
Was meinst du?
Gruss
bjj
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Hallo BJJ,
Die von mir vorgeschlagene Funktion ist leider nicht L-stetig. Da hatte ich mich wohl verechnet. Zu deiner Funktion:
[mm]f(x) = x sin\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
> 1. f muesste man doch stetig im Punkt 0 mit f(0) = 0 fortsetzen koennen.
Ja genau
> 2. Intuitiv erscheint es mir, dass f lokal Lipschitz stetig in einer Umgebung von 0 sein koennte.
Dies glaube ich nicht da
[mm]f'(x) = sin\left(\bruch{1}{x}\right)-\bruch{cos\left(\bruch{1}{x}\right)}{x}[/mm]
d.h. die Ableitung ist unbeschränkt.
> 3. Je nachdem ob man unten oder oben auf der Amplitude reitet, erhaelt man unterschiedliche Richtungsableitungen.
Das sehe ich auch so.
Zusammenfassend müsste man "nur" [mm]f(x) = sin\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm] integrieren und hätte die gewünschten Eigenschaften.
Ich geb auf. *schulterzucken*
gruß
mathemaduenn
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 So 05.09.2004 | | Autor: | dieter |
Hallo mathemaduenn!
> Zusammenfassend müsste man "nur" [mm]f(x) = sin\left(\bruch{1}{x}\right)[/mm]
> integrieren und hätte die gewünschten Eigenschaften.
Dann tun wird das doch einfach und definieren [mm] $f(x)=\int_0^x \sin(\bruch [/mm] {1} {t })dt $(das Integral existiert, da der Integrant beschränkt ist).
Die Funktion ist sicherlich Lipschitz-stetig in einer Umgebung um 0 (da in [mm] \IR \backslash \{ 0\} [/mm] stetig differenzierbar). Jetzt müsste man nur noch Folgen finden um zu zeigen, dass die Richtungsableitung in 0 nicht existiert, ich sehe aber im Moment nicht wie und ob es diese Überhaupt gibt.
Gruß
dieter
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 21:56 So 05.09.2004 | | Autor: | felixs |
ich hab ja auch erstmal versucht sone funktion zu konstruieren....
aber mir is irgendwie aufgefallen dass dein limes doch duch die Lipschitzkonstante beschraenkt ist, also doch existieren muss.
das mit den 2 haeufungspunkten funktioniert imho nicht, weil dann ja:
[mm] $\limes_{ |x| \rightarrow 0}$ [/mm] existiert nicht
$ [mm] \Rightarrow [/mm] f$ nicht stetig in 0
$ [mm] \Rightarrow [/mm] f$ auch nicht lipschitzstetig in 0
nur so ein gedanke...
-- felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:18 So 05.09.2004 | | Autor: | dieter |
> ich hab ja auch erstmal versucht sone funktion zu
> konstruieren....
> aber mir is irgendwie aufgefallen dass dein limes doch
> duch die Lipschitzkonstante beschraenkt ist, also doch
> existieren muss.
Nein, er muss nicht existieren, es folgt (wie schon in der Frage gesagt wurde), dass die Folge beschränkt ist, also nicht gegen [mm] $\infty$ [/mm] gehen kann.
> das mit den 2 haeufungspunkten funktioniert imho nicht,
> weil dann ja:
> [mm]\limes_{ |x| \rightarrow 0}[/mm] existiert nicht
über was wird denn dieser Limes gebildet?
Es gilt nur
$ [mm] \limes_{t \rightarrow 0} \bruch{f(x + td) - f(x)}{t} [/mm] $ existiert nicht, im (in den meisten Beispielversuchen betrachteten) Fall mit $ f: [mm] \IR^+ \to \IR$ [/mm] $f(0)=0$ also [mm] $\lim_{x\to 0} \bruch{f(x)} [/mm] {x}$ existiert nicht, was aber nicht [mm] $\lim_{x\to 0} [/mm] {f(x)}$ existiert nicht impliziert, was für deine weitere Argumentation gebraucht wird.
> [mm]\Rightarrow f[/mm] nicht stetig in 0
> [mm]\Rightarrow f[/mm] auch nicht lipschitzstetig in 0
>
> nur so ein gedanke...
> -- felix
Gruß
dieter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Mo 06.09.2004 | | Autor: | felixs |
ja hast recht, war etwas voreilig geposteter bloedsinn.
ich denk mal weiter drueber nach ... :)
--felix
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