Riemann-Integral < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Sa 28.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Kann mir jemand die Berechnung eines Riemann Intergralls an folgendem Beispiel erklären:
[mm] \integral_{0}^{1}{e^{x} dx}
[/mm]
Das wäre lieb!
|
|
| |
|
Hi Engel,
grundsätzlich gehst du beim bestimmten Riemann-Integral folgendermaßen vor:
Hauptsatz der Integralrechnung:
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = F(b) - F(a)
Dabei sind a und b die untere bzw. obere Interationsgrenze, f(x) heißt Integrand.
Man berechnet ein bestimmtes Integral f(x) dx indem man
1.) eine Stammfunktion f(x) des Integranden f(x) aufstellt,
2.) die Integrationsgrenzen a und b in f(x) einsetzt und
3.) die Differenz F(b) - F(a) bildet.
Das sieht in deinem Beispiel dann so aus:
> [mm]I = \integral_{0}^{1}{e^{x} dx}[/mm]
1.) Stammfunktion bilden
Hier musst du also die Ausgangsfunktion integrieren, also [mm] e^{x} [/mm] "aufleiten", damit du die Stammfunktion erstellst. Die ist auch [mm] e^{x} [/mm] da gilt: f(x) = [mm] e^{x} \Rightarrow [/mm] f'(x) = [mm] e^{x} [/mm] * ln(e) [mm] \Rightarrow [/mm] weil ln(e) = 1 und umgekehrt! Also gilt:
I = [mm] \integral_{0}^{1}{e^{x} dx} [/mm] = [mm] \vektor{e^{x}}
[/mm]
2.) und 3.) Integrationsgrenzen einsetzen und Differenz bilden
Zuerst wird die obere (b) und dann die untere (a) Grenze eingesetzt. Wir wissen das [mm] e^{1} [/mm] = e da jede Zahl hoch 1 die Zahl selbst ist. Und wir wissen auch das [mm] e^{0} [/mm] = 1 da jede Zahl hoch 0 eins ist. Also gilt hier:
I = [mm] \integral_{0}^{1}{e^{x} dx} [/mm] = [mm] \vektor{e^{x}} [/mm] = [mm] e^{1} [/mm] - [mm] e^{0} [/mm] = e - 1
Und somit hast du für die Standard E-Funktion nach dem Riemann-Integral deren Flächeninhalt zwischen x-Achse und Funktion im [0;1] errechnet. Dieser ist e - 1 !
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:40 So 29.04.2007 | | Autor: | Engel205 |
Super klasse hab ich voll verstanden, danke nochmal!
|
|
|
|
