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hallooo,
wieso hat das riemann integrall mängel?
wieso kommt man überhaupt dazu sich sowas wie die maß und integrationstheorie zu überlegen? woher rührt die motivation dafür?
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:50 Mo 14.02.2011 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> hallooo,
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> wieso hat das riemann integrall mängel?
"Mängel" ist vielleicht das falsche Wort. Bestimmte Aussagen lassen sich für das Riemannintegral nicht treffen, z.B. bei Vertauschung von Grenzprozessen: wenn [mm] $f_n$ [/mm] eine Folge von Funktionen ist, gilt dann
[mm] \limes_{n\to \infty} \integral f_n(x) dx = \integral (\limes_{n\to\infty} f_n(x) ) dx [/mm]
oder nicht? Für das Lebesgue-Integral hat man z.B. die Sätze von der monotonen und von der majorisierten Konvergenz.
> wieso kommt man überhaupt dazu sich sowas wie die maß
> und integrationstheorie zu überlegen? woher rührt die
> motivation dafür?
Mit dem Riemannintegral kann man gut den Flächeninhalt unter einer stetigen Funktion bestimmen. Allgemeiner: das Volumen einfacher geometrischer Körper im [mm] $\IR^n$ [/mm] lässt sich damit gut berechnen. Wenn man aber ganz allgemein nach dem Volumen einer beliebigen offenen Teilmenge des [mm] $\IR^n$ [/mm] fragt, dann kommt man mit dem Riemannintegral nicht aus.
Mit der Frage: "Was ist das Volumen einer Menge?" bist du sofort bei der Maßtheorie.
Viele Grüße
Rainer
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Durch die Integralrechnung lassen sich Längen, Flächeninhalte, Volumina geometrischer Gebilde berechnen, welche man durch elementare geometrische Formeln nicht direkt berechnen könnte.
Die Vielfalt und Komplexität denkbarer Punktmengen ist aber so reichhaltig, dass man immer raffiniertere Methoden entwickeln musste, um auch zunächst „störrische“ Beispiele in den Griff zu bekommen. Ziel der Maß- und Integrationstheorie ist es deshalb, den Bereich der „messbaren“ Mengen möglichst zu erweitern - aber immer unter gewissen, als vernünftig erscheinenden Bedingungen. So soll zum Beispiel der Vereinigung disjunkter Mengen eine Maßzahl zugeordnet werden, die der Summe der Maßzahlen der einzelnen Bestandteile entspricht.
Auf diesem Weg ergaben sich verschiedene Schwierigkeiten. Es gibt unendliche Mengen, denen man vernünftigerweise nur das Maß Null zuordnen kann. Jede beliebige Menge (auch solche, denen man klar ein positives Maß zuschreiben möchte) lässt sich in solche Mengen vom Maß Null unterteilen. Man kommt also zu solchen paradox erscheinenden Ergebnissen, dass zum Beispiel die Eins als eine Summe von lauter Nullen darstellbar sein müsste.
Mit dem Riemannschen Integralbegriff kann man nun gewissen Punktmengen etwa in [mm] \IR^2 [/mm] keine Maßzahl zuordnen, da zwischen den Untersummen und Obersummen stets eine Lücke klafft, die man nicht klein machen oder zum Verschwinden bringen kann. Der Integralbegriff von Lebesgue ermöglicht es nun, manchen derartigen Mengen, bei denen das Riemannintegral versagt, trotzdem noch in sinnvoller Weise ein Maß zuzuordnen. Aber auch das Lebesgue-Maß kann nicht allen Punktmengen beikommen, ohne dass sich paradoxe Resultate ergeben, wie zum Beispiel das
![[]](/images/popup.gif) Banach-Tarski-Paradoxon .
LG Al-Chwarizmi
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