Riemann < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Carlo |
| Aufgabe | [mm] \integral_{1}^{ \infty }{|2x+3|^-^3 dx}
[/mm]
Handeltes sich um ein Riemann-Integral, um ein kovergentes uneigentliches Riemann-Integral oder um ein divergentes uneigentliches Riemann-Integral? |
Hallo,
ich habe Probleme diese Aufgabe zu lösen. Was muss ich als erstes tun?
Vielen Dank schonmal :)
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Hallo,
nun, als erstes würde ich das ersteinmal einfach nur ausrechnen. Solche Betragsklammern jagen einem ja manchmal Angst und Schrecken ein. Nur: bewirken die hier überhaupt irgendetwas?
Nun geht es ja offensichtlich einfach nur um die Frage, ob es ein Riemann-Integral ist oder ein uneigentliches Riemann-Integral. Die Frage der Konvergenz ist ja mit dem Ergebnis der obigen Rechnung schon beantwortet. Und der Rest ist einfach: da die Fläche unter dem Schaubild ins Unendliche reicht (bzw. hier sogar Unendlich eine Schranke ist), handelt es sich per definitionem um ein uneigentliches Integral.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich habe es ausgerechnet und bekomme als Ergebnis, dass das ein konvergentes uneigentliches Riemann-Integral ist und gegen [mm] \bruch{1}{100} [/mm] konvergiert. Ist das richtig ?
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Hallo,
jep: alles richtig. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:52 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Dankeschöön :)
Ich habe noch eine weitere Frage. Undzwar, sobald man [mm] \infty [/mm] in der Integralgrenze hat, handelt es sich um ein uneigentliches Integral oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hi,
> Ich habe noch eine weitere Frage. Undzwar, sobald man
> [mm]\infty[/mm] in der Integralgrenze hat, handelt es sich um ein
> uneigentliches Integral oder?
genau so ist es. Aber Achtung: die Tatsache, dass die Schranken endlich sind, heißt noch lange nicht, dass kein uneigentliches Integral vorliegt. So ist bspw. das folgende Integral ebenfalls ein uneigentliches (und divergentes) Integral:
[mm]\integral_{0}^{1}{1/x dx}[/mm]
Der Grund ist der, dass der Integrand an der Stelle x=0 eine Polstelle besitzt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Wie kann man denn überprüfen, dass ein Integral mit festen Integralgrenzen, ein uneigentliches Integral ist? Du hast von Polstellen geschrieben, wie rechne ich oder erkenne ich sowas ? :S
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:54 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo Carlo!
Polstellen sind auf jeden Fall Definitionslücken der betrachteten Funktion.
Das heißt, an dieser Stelle ist die Funktion nicht definiert, weil man z.B. durch Null teilen würde (siehe obiges Beispiel).
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Fr 13.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Achso okay, danke :)
Ich habe noch eine weitere Frage, ich habe die selbe Aufgabe versucht, mit diesen Intervallgrenzen zu berechnen [mm] \integral_{-2}^{1}
[/mm]
Dann müsste das Integral doch ein gewöhnliches Integral sein oder? Ich habe als Wert 0,24 heraus, wobei mir wolfram etwas anderes ausspuckt :S
Und wie wichtig sind die Betragsstriche ?
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Hallo Carlo,
du solltest dich schnellstens nochmals mit dem Begriff des Riemann-Integrals auseinandersetzen. Was ist die Voraussetzung für Riemann-Integrierbarkeit? Richtig, die Stetigkeit. Also darfst du sicherlich nicht über eine Definitionslücke hinweg integrieren, da das per Definition gar nicht funktionieren kann.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:33 So 15.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Hallo :),
ich habe mich jetzt damit auseinandergesetzt und habe festgestellt, dass das Integral [mm] \integral_{-2}^{1}{ |2x+3|^-^3 dx} [/mm] in dem Punkt -2 und -1 eine Polstelle hat, demnach könnte man das ja nicht integrieren. Aber, was ich mich frage ist, wie kann ich das mathematisch "sauber" formulieren ? Und diese Betragsstriche sind mir immernoch ein Rätsel :S Ich muss die selbe Aufgabe ohne Betragsstriche ausrechnen, also [mm] \integral_{-2}^{1}{ (2x+3)^-^3 dx} [/mm]
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Hallo,
das mit den Polstellen solltest du einfach nochmal nachschlagen; es ist dir überhaupt nicht klar. Beide Integranden besitzen bei [mm] x_0=-3/2 [/mm] ihre einzige Polstelle.
Und sicherlich heißt die Aufgabe nicht einfach nur 'ausrechnen', sondern wohl sinngemäß, dass du prüfen sollst, ob die Integrale existieren. Habt ihr in diesem Zusammenhang mal etwas vom Cauchyschen Hauptwert gehört? Auf jeden Fall musst du in beiden Aufgaben letztendlich mit Grenzwerten arbeiten.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:07 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Ich habe die Aufgabe mit dem Betragsstrich versucht mit Anwendung des Cauchyschen Hauptwertsatzes zu bestimmen und habe als Grenzwert [mm] \bruch{6}{1225} [/mm] und ohne Betragsstrich [mm] \bruch{-6}{1225} [/mm] . Ist das so korrekt ?
Mein Ansatz war wie folgt:
[mm] \integral_{-2}^{0}{|\bruch{1}{(2x+3)^3}| dx} [/mm] + [mm] \integral_{0}^{1}{|\bruch{1}{(2x+3)^3}| dx} [/mm]
= [mm] \limes_{u\rightarrow\ 0^+} \integral_{-2}^{-u}{|\bruch{1}{(2x+3)^3}| dx} [/mm] + [mm] \integral_{+u}^{1}{|\bruch{1}{(2x+3)^3}| dx} [/mm]
u [mm] \not= [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:06 Mo 16.05.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ich habe die Aufgabe mit dem Betragsstrich versucht mit
> Anwendung des Cauchyschen Hauptwertsatzes zu bestimmen und
> habe als Grenzwert [mm]\bruch{6}{1225}[/mm] und ohne Betragsstrich
> [mm]\bruch{-6}{1225}[/mm] . Ist das so korrekt ?
>
>
> Mein Ansatz war wie folgt:
>
> [mm]\integral_{-2}^{0}{|\bruch{1}{(2x+3)^3}| dx}[/mm] +
> [mm]\integral_{0}^{1}{|\bruch{1}{(2x+3)^3}| dx}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{u\rightarrow\ 0^+} \integral_{-2}^{-u}{|\bruch{1}{(2x+3)^3}| dx}[/mm]
> + [mm]\integral_{+u}^{1}{|\bruch{1}{(2x+3)^3}| dx}[/mm]
>
> u [mm]\not=[/mm] 0
Was soll das ? Diophant hats doch ausdrücklich gesagt: Polstelle bei $ [mm] x_0=-3/2 [/mm] $
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:10 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Carlo |
> Was soll das ? Diophant hats doch ausdrücklich gesagt:
> Polstelle bei [mm]x_0=-3/2[/mm]
>
> FRED
Das ist mir auch klar! Aber ich sollte doch mit Grenzwerten das Integral bestimmen oder etwa nicht ?
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Hallo,
[mm]\integral_{-2}^{1}{\frac{1}{|2x+3|} dx}=\limes_{t\rightarrow\\-3/2^{-}}\integral_{-2}^{t}{\frac{1}{|2x+3|} dx}+\limes_{t\rightarrow\\-3/2^{+}}\integral_{t}^{1}{\frac{1}{|2x+3|} dx}[/mm]
jetzt klarer?
Jedoch Achtung: im Falle der zweiten Aufgabe (ohne die Betragsstriche) kommt ein sehr einfaches Ergebnis heraus, bei dem es aber gilt seine Herkunft zu Begründen. Wie diese Begründung aussehen sollte, hängt auch noch stark davon ab, welche Konzepte für uneigentliche Integrale ihr bisher gelernt habt. Ich hatte dich danach schon gefragt, aber du hast dies wohl überlesen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:29 Mo 16.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Begründung aussehen sollte, hängt auch noch stark
> davon ab, welche Konzepte für uneigentliche Integrale ihr
> bisher gelernt habt. Ich hatte dich danach schon gefragt,
> aber du hast dies wohl überlesen.
>
> Gruß, Diophant
Wir haben bis jetzt den Cauchyschen Hauptwertsatz gelernt.
Für die Aufgabe mit Betragsstriche habe ich jetzt [mm] \bruch{6}{25}
[/mm]
raus und die Aufgabe ohne Betragsstriche ist mir immernoch ein Rätsel :(
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Hallo,
> Für die Aufgabe mit Betragsstriche habe ich jetzt
> [mm]\bruch{6}{25}[/mm]
für welche Rechnung jetzt, also für welche Schranken? Wie sollen wir dir ein Ergebnis korrigieren, wenn weder die zugehörige Rechnung noch der Rechenweg dasteht???
Für die Aufgabe ohne Betragsstriche mit der Definitionslücke innerhalb des Integrationsintervalls betrachte mal die Symmetrieeigenschaften des Integranden, da sollte dir etwas ganz bestimmtes auffallen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:03 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Die Aufgabe mit Betragsstriche ist doch ein divergentes uneigentliches Integral und das ohne Betragsstriche ist ein konvergentes uneigentliches Integral gegen 6/25 ?
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Hallo Carlo,
so wird das nichts. Du hast hier verschiedene Aufgaben vorgestellt, woher soll man denn wissen, welche du jetzt meinst.
Im Zweifelsfall lautet die richtige Antwort sonst ab jetzt nur noch ![[]](/images/popup.gif) 42.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:25 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Carlo |
[mm] \integral_{-2}^{1}{|2x+3|^-^3 dx}
[/mm]
das ist ein divergentes uneigentliches integral und wenn man den cauchyschen hauptwert ausrechnen sollte, beträgt dieser [mm] \infty
[/mm]
[mm] \integral_{-2}^{1}{(2x+3)^-^3 dx}
[/mm]
das ist ein konvergentes uneigentliches integral mit dem wert 6/25
so meinte ich es :)
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Hallo,
ja: beides richtig.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:39 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Das kann aber nicht richtig sein, ich habe eben festgestellt, dass das zweite Integral nicht konvegiert, das ist doch auch ein divergentes uneiegentliches Integral, weil es eine Polstelle hat. Der Cauchywert beträgt 6/25 ?!? :S
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Hallo,
ja, sorry, da war ich zu schnell. Im Riemannschen Sinne ist das zweite Integral uneigentlich und divergent, der Cauchy'sche Hauptwert beträgt jedoch 6/25. Ich glaube, dann haben wir es geschafft?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:54 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Ja, wir haben es geschafft :D
Ich habe noch eine weitere Frage, also wenn das Integral eine Polstelle besitzt, kann man also direkt sagen, dass das Integral im "Riemannschen Sinne" ein divergentes uneigentliches Integral ist ?!? Und weiterhin muss man dann nichts machen, als nur evtl. den Cauchyschen Hauptwert auszurechnen ?
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Hallo,
nein, das ist nun auch wieder falsch. Berechne mal das Integral:
[mm] \integral_{-1}^{1}{\frac{1}{\wurzel{|x|}} dx}
[/mm]
Du wirst sehen, dass dieses Integral zwar uneigentlich ist aber konvergent. Bildlich gesprochen besitzt die vom Schaubild des Integranden, der x-Achse und den zwei senkrechten Geraden bei x=-1 u. x=1 eingeschlossene Fläche (die ins Unendliche reicht) einen (endlichen) Inhalt.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:06 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Also reicht es hier nicht aus zu sagen, dass die Integrale divergent sind, weil sie eine Polstelle bei -3/2 haben ? Was muss ich denn noch machen, um zu beweisen, dass sie divergent sind ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Mi 18.05.2011 | | Autor: | fred97 |
Sei a<c<b und nimm an, die Funktion $f: [a,b] [mm] \setminus \{c\} \to \IR$ [/mm] sei stetig und habe in c einen Pol. Dann ist das Integral
(*) [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
ein uneigentliches Integral. Dieses Integral heißt konvergent, wenn die beiden Integrale
[mm] \integral_{a}^{c}{f(x) dx} [/mm] und [mm] \integral_{c}^{b}{f(x) dx}
[/mm]
konvergieren. Ist auch nur eines der beiden obigen Integrale divergent, so heißt das Integral in (*) divergent.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:20 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Carlo |
Vielen Dank Fred97!
Wenn ich als Beispiel folgende Aufgabe nehme:
[mm] \integral_{-2}^{1}{|2x+3|^-^\bruch{1}{2} dx}
[/mm]
Dieses Integral hat in dem Punkt -3/2 eine Polstelle, also ist das ein uneigentliches Integral.
Nun teile ich dieses Integral an der kritischen Stelle auf:
[mm] \limes_{t\rightarrow\-3/2} \integral_{-2}^{t}{ \bruch{1}{\wurzel{|2x+3|}} dx} [/mm] +
[mm] \limes_{t\rightarrow\-3/2} \integral_{t}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{|2x+3|}} dx} [/mm]
Wenn ich das ausrechne, bekomme ich [mm] \wurzel{5} [/mm] - 1 heraus, wobei das falsch ist, ich müsste 1 + [mm] \wurzel{5} [/mm] als Ergebnis heruaskriegen. :S
Könnte mir jemand helfen ?
Ergänzung:(mein Ansatz)
[mm] \limes [\wurzel{|2x+3|}] [/mm] a=-2 und b=1
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:40 Mi 18.05.2011 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
du hast die falsche Polstelle benutzt. Aber wäre es nicht abgesehen davon sinnvoll, für eine neue Aufgabe einen neuen Thread zu starten?
Gruß, Diophant
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Hallo Carlo,
> Vielen Dank Fred97!
>
>
> Wenn ich als Beispiel folgende Aufgabe nehme:
> [mm]\integral_{-2}^{1}{|2x+3|^-^\bruch{1}{2} dx}[/mm]
>
>
> Dieses Integral hat in dem Punkt -3/2 eine Polstelle, also
> ist das ein uneigentliches Integral.
>
> Nun teile ich dieses Integral an der kritischen Stelle
> auf:
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow\-3/2} \integral_{-2}^{t}{ \bruch{1}{\wurzel{|2x+3|}} dx}[/mm]
> +
> [mm]\limes_{t\rightarrow\-3/2} \integral_{t}^{1}{ \bruch{1}{\wurzel{|2x+3|}} dx}[/mm]
>
>
> Wenn ich das ausrechne, bekomme ich [mm]\wurzel{5}[/mm] - 1 heraus,
> wobei das falsch ist, ich müsste 1 + [mm]\wurzel{5}[/mm] als
> Ergebnis heruaskriegen. :S
>
>
> Könnte mir jemand helfen ?
>
Siehe die Mitteilung von Diophant.
>
> Ergänzung:(mein Ansatz)
>
> [mm]\limes [\wurzel{|2x+3|}][/mm] a=-2 und b=1
Gruss
MathePower
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