Riemann Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:10 Di 12.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
| Aufgabe | Aufgabe: Das Integral berechnen:
[mm] \integral_{0}^{a}{f(x^{k})dx} [/mm] |
Hallo,
ich habe denn Sinn der Integralberechnung nach Riemann verstanden und könnte vielleicht das Integral für f(x)=x berechnen. (Hier und da sind noch kleine Verständnisschwierigkeiten.)
Ich weiß aber nicht genau wie ich das für [mm] x^{k} [/mm] anstellen soll.
Meine erste Verwirrung ist die, dass wir die Ober- bzw Untersumme mit [mm] x_{k-1}
(War die Frage verständlich?)
Um beispielsweise die Untersumme von f(x)=x zu bilden, würde ich wie folgt anfangen:
[mm] s_{n}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{a(k-1)}{n}\*\bruch{a}{n}
[/mm]
doch wie sähe das für die Funktion [mm] f(x)=x^{k} [/mm] aus? Was verändert sich dadurch?
Vielen Dank schonmal, Paula.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:17 Di 12.04.2011 | | Autor: | leduart |
Hallo
zeichne doch mal die funktion [mm] x^k [/mm] (nicht [mm] f(x^k) [/mm] auf und eine Untere und obere treppe dazu. Teile das Stück von 0 bis a in n Teile
die unterste Stufe hat die Höhe 0, Briete a/n, die nächste Höhe [mm] (a/n)^k [/mm] Breite a/n die Nächste [mm] (2*a/n)^2 [/mm] usw.
die Untersumme ist also [mm] a/n*(0+(a/n)^k+(2a/n)^k+(3a/n)^k+.....((n-1)*a/n)^k)
[/mm]
jetzt bist du dran!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:05 Mi 13.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Also ich würde das jetzt so anfangen:
[mm] s_{n}=\summe_{k=1}^{n}(\bruch{ka}{n})^{k}\*\bruch{a}{n}
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n}k^{k}\*(\bruch{a}{n})^{k}\*\bruch{a}{n}
[/mm]
[mm] =(\bruch{a}{n})^{k+1}\summe_{k=1}^{n}k^{k}
[/mm]
Ginge das? Habe ich etwas nicht bedacht?
Wie genau differenzieren sich bis hier hin die Ober und die Untersumme? (Meiner Meinung nach noch gar nicht.)
Und wie genau forme ich das jetzt um, dass die Summenformel verschwindet? Darin habe ich keine Übung, könnte mir jemand weiterhelfen?
Liebe Grüße, Paula.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:15 Mi 13.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Also ich würde das jetzt so anfangen:
>
> [mm]s_{n}=\summe_{k=1}^{n}(\bruch{ka}{n})^{k}\*\bruch{a}{n}[/mm]
Au weiah, oben verwendest Du den Buchstaben k für 2 verschiedene Dinge, einmal als Summationsindex und auch noch für die Potenz in [mm] x^k. [/mm] Das kann nur schiefgehen !
Mach es so:
[mm]s_{n}=\summe_{j=1}^{n}(\bruch{ja}{n})^{k}\*\bruch{a}{n}[/mm]
Vielleicht hilfts
FRED
>
> [mm]=\summe_{k=1}^{n}k^{k}\*(\bruch{a}{n})^{k}\*\bruch{a}{n}[/mm]
>
> [mm]=(\bruch{a}{n})^{k+1}\summe_{k=1}^{n}k^{k}[/mm]
>
> Ginge das? Habe ich etwas nicht bedacht?
> Wie genau differenzieren sich bis hier hin die Ober und die
> Untersumme? (Meiner Meinung nach noch gar nicht.)
>
> Und wie genau forme ich das jetzt um, dass die Summenformel
> verschwindet? Darin habe ich keine Übung, könnte mir
> jemand weiterhelfen?
>
> Liebe Grüße, Paula.
>
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:56 Mi 13.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Alles klar, das hatte mich am Anfang auch irritiert, aber wir hatten sowohl die Potenz, als auch den Summationsindex mit k definiert.
Dann nenne ich den Summationsindex nun j:
[mm] S_{n}=\summe_{j=1}^{n}(\bruch{ja}{n})^{k}\*\bruch{a}{n}
[/mm]
[mm] =(\bruch{a}{n})^{k+1}\summe_{j=1}^{n}j^{k}
[/mm]
Ist das soweit korrekt? Und wenn ja, wie bekomme ich jetzt raus, was
[mm] \summe_{j=1}^{n}j^{k}= [/mm] ? ist?
Viele Grüße und vielen Dank.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:06 Mi 13.04.2011 | | Autor: | paula_88 |
Ich habe einen Satz gefunden, der [mm] \summe_{j=1}^{n}j^{k} [/mm] definiert und komme jetzt mit der Aufgabe klar.
Meine obige Frage hat sich somit erledigt.
Viele Grüße.
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