Riemann Integrierbar < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Lavanya |
| Aufgabe | | Sei f:[0,2] [mm] \to \IR [/mm] stetig. Für alle Riemann integrierbaren Funktionen g:[0,1] [mm] \to \IR [/mm] gelte [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] {f(x) g(x) dx}= 0. Berechnen Sie f ( [mm] \bruch{1}{2}) [/mm] |
Halli Hallo,
Ich habe einmal eine Frage dazu... Wie kann ich ein Integral ausrechnen wenn ich gar nicht weiß wie die Funktion aussieht ?
Was muss ich hier machen ? Oder wie muss ich hier anfangen ?
Wäre super wenn mir da jemand helfen kann..
MFG
Lavanya
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:57 Di 17.01.2006 | | Autor: | felixf |
Hallo Lavanya,
> Sei f:[0,2] [mm]\to \IR[/mm] stetig. Für alle Riemann integrierbaren
> Funktionen g:[0,1] [mm]\to \IR[/mm] gelte [mm]\integral_{0}^{1}[/mm] {f(x)
> g(x) dx}= 0. Berechnen Sie f ( [mm]\bruch{1}{2})[/mm]
> Halli Hallo,
>
> Ich habe einmal eine Frage dazu... Wie kann ich ein
> Integral ausrechnen wenn ich gar nicht weiß wie die
> Funktion aussieht ?
Du brauchst ja nicht das Integral zu berechnen sondern nur einen Funktionswert 
Mal angenommen, der Funktionswert in [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] ist nicht $0$. Was kannst du dann mit der Stetigkeit machen? Als ''Testfunktion'' $g$ kannst du eine Indikatorfunktion fuer eine passende Umgebung $U$ von [mm] $\frac{1}{2}$ [/mm] nehmen.
(Falls dir das nichts sagt: eine Indikatorfunktion fuer $U$ ist auf $U$ konstant 1 und ausserhalb von $U$ konstant $0$. Wenn z.B. $U = [mm] \left]a, b\right[ \subseteq [/mm] [0, 1]$ ist, dann ist $0 = [mm] \int_0^1 [/mm] f(x) g(x) [mm] \; [/mm] dx = [mm] \int_a^b [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx$.)
LG Felix
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Wobei ich es auffällig finde, daß gerade [mm]f \left( \frac{1}{2} \right)[/mm] berechnet werden soll. Denn die Argumentation würde doch auch für jedes andere [mm]x_0 \in [0,1][/mm] funktionieren.
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