Riemann'sche Zeta-Funktion < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Fr 25.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
| Aufgabe | Die Riemann'sche [mm] \zeta [/mm] Funktion ist für s>1 definiert durch
[mm] \zeta(s):=\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n^{s}}).
[/mm]
Zeigen Sie:
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\zeta(k)-1)=1 [/mm] |
Guten Abend,
ich bereite mich gerade auf eine Analysis-Klausur vor und bin im Internet auf diese recht interessante Aufgabe gestoßen, weiß jedoch nicht, ob ich hier auch wirklich alles richtig gemacht habe und ob man das auch "einfacher" machen könnte. Am Ende komme ich da auf eine recht "hässliche" Reihe, deren Reihenwert ich noch ermitteln müsste, jedoch nicht weiß, wie ich das machen soll.
[mm] \summe_{k=2}^{\infty}(\zeta(k)-1)=\summe_{k=2}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n^{k}})-1)=\summe_{k=2}^{\infty}(\summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1}{n^{k}}))
[/mm]
Wir erhalten also eine Doppelreihe. Da [mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{n}^{k})) [/mm] für [mm] n\ge2 [/mm] absolut konvergiert, konvergiert auch die Summe, bei der wir zu erst über k und dann über n aufsummieren und besitzt den selben Reihenwert. Durch Anwenden der geometrischen Summenformel, erhalten wir für die innere Reihe den Wert [mm] \bruch{1}{n(n-1)} [/mm] und müssen letztendlich noch den Reihenwert für [mm] \summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{(n+2)(n+1)}) [/mm] ermitteln. Könnte mir eventuell jemand weiterhelfen oder mich korrigieren?
Danke im Voraus
[mm] b^{2}
[/mm]
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Hallo,
> Die Riemann'sche [mm]\zeta[/mm] Funktion ist für s>1 definiert
> durch
> [mm]\zeta(s):=\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n^{s}}).[/mm]
> Zeigen Sie:
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\zeta(k)-1)=1[/mm]
> Guten Abend,
>
> ich bereite mich gerade auf eine Analysis-Klausur vor und
> bin im Internet auf diese recht interessante Aufgabe
> gestoßen, weiß jedoch nicht, ob ich hier auch wirklich
> alles richtig gemacht habe und ob man das auch "einfacher"
> machen könnte. Am Ende komme ich da auf eine recht
> "hässliche" Reihe, deren Reihenwert ich noch ermitteln
> müsste, jedoch nicht weiß, wie ich das machen soll.
>
> [mm]\summe_{k=2}^{\infty}(\zeta(k)-1)=\summe_{k=2}^{\infty}(\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n^{k}})-1)=\summe_{k=2}^{\infty}(\summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1}{n^{k}}))[/mm]
>
> Wir erhalten also eine Doppelreihe. Da
> [mm]\summe_{n=2}^{\infty}(\summe_{k=2}^{\infty}(\bruch{1}{n}^{k}))[/mm]
> für [mm]n\ge2[/mm] absolut konvergiert, konvergiert auch die Summe,
> bei der wir zu erst über k und dann über n aufsummieren
> und besitzt den selben Reihenwert. Durch Anwenden der
> geometrischen Summenformel, erhalten wir für die innere
> Reihe den Wert [mm]\bruch{1}{n(n-1)}[/mm] und müssen letztendlich
so weit ich das sehe passt das alles. Und das ist eigentlich auch der deutlich schwierigere Teil.
Jetzt nur noch Partialbruchzerlegung machen und Teleskopsumme anwenden.
> noch den Reihenwert für
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty}(\bruch{1}{(n+2)(n+1)})[/mm] ermitteln.
Die Indexverschiebung wurd ich mir hier sparen.
> Könnte mir eventuell jemand weiterhelfen oder mich
> korrigieren?
>
> Danke im Voraus
>
> [mm]b^{2}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:48 Fr 25.07.2014 | | Autor: | bquadrat |
Ach stimmt!!!! Genial :)
Also ich muss letztendlich folgenden Reihenwert bestimmen (mit Hilfe der Teleskopsumme):
[mm] \summe_{n=2}^{\infty}(\bruch{1}{n-1}-\bruch{1}{n})=\bruch{1}{2-1}-\limes_{j\rightarrow\infty}(\bruch{1}{j})=1-0=1
[/mm]
Vielen Dank :D
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