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| Aufgabe | 1)
a) Stellen Sie die Riemannsumme von sin(x) zur Zerlegung des Intervalls 1,11 in (10/n) gleichlange Teilintervalle und mit den Teilintervallmitten als Zwischenstellen auf.
b) Fassen Sie diese Riemannsumme nach Erweiterung mit sin(10/2n) und Verwendung der Formel sin(u) sin(v) = (1/2)(cos(u-v)-cos(u+v)) kompakt zusammen.
c) Welcher Wert ergibt sich als Grenzwert dieser Riemannsummen für n geht gegen unendlich? (HInweis: Welchen Wert hat lim x geht gegen 0 (sinx/x)= ? |
Hallo,
Habe erstmal ein großes Problem und zwar weiß ich nicht, wie man solche Riemannsummen aufstellt... die Formel ist:
y1*delta1(x)+...+yn*delta n(x) mit delta k (x)= xk-x(k-1) (k und k-1 stehen unten)
Aber wie bekomme ich da jetzt diese Funktion und Zerlegung und so hinein??
zu c): Welcher Grenzwert ergibt sich denn? Und für die Hinweisaufgabe? Wenn x gegen 0 geht, dann ist der Grenzwert also sin von einem ganz kleinen x und was ist das??? Ist 0 der Grenzwert??
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:29 Di 13.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wir haben nen tollen Formeleditor, den auch schon Schüler gut bedienen können.
deine [mm] \Delta [/mm] x sind hier alle gleich lang, nämlich 10/n. dann hast du als Stellen der Funktion sin1, sin(1+10/n), sin (1+2*10/n) usw,
zuc)
Vergleiche mal sin x und x am Kreis! je kleiner x desto kleiner der Unterschied zwischen x und sin x. d.h. sinx/x geht für x gegen 0 gegen 1!
Man kann auch sinx in der Nähe von x =0 durch seine Tangente ersetzen, je näher an 0 desto genauer nähert die Tangente die fkt. an!also kann man dann die fkt durch ihre Tangente ersetzen! und die ist?
Gruss leduart
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Hallo leduart,
Danke für den Tipp mit dem Formeleditor.
Also, habe ich das richtig verstanden, dass meine Riemannsumme jetzt einfach lautet:
Rn:= sin(1)+sin(1+(10/n))+sin(1+2*10/n)... und bis wohin geht die Summe? sie ist doch endlich, da es nur 10/n Teilintervalle gibt, oder?
Gruß,
Anna
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:42 Di 13.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. wo bleiben die [mm] \Delta [/mm] x?
2. wie weit die Summe geht kannst du selbst überlegen, du willst dich bei sin(11) ankommen!
Mach dir für die Reimansumme ein Bild, damit du das besserkapierst! also sin(x) aufzeichnen, das Stück von 1 bis 11 in n=12 Teile teilen und die Rechtecke eintragen. dann weisst du wenigstens, was du da rechnest!
Gruss leduart
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Hallo,
sorry, aber ich kapier das mit dieser Riemannsumme trotz Aufmalen immer noch nicht...
ist die Summe also so:
Rn:= sin(1)*(10/n)+sin(1+10/n)*(10/n)+...+sin(11)*(10/n) ?
Wie kommst Du denn darauf, dass n=12 ist? Oder war das nur ein Beispiel? Kann man nicht in so viele Teilintervalle untergliedern, wie man will?
Gruß, crazyhuts
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Di 13.05.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn du bei 1 anfängst, musst du bei [mm] n_1 [/mm] aufhören. Wenn du bei 1+10/n anfängst musst du bei n aufhören.
Die Idee ist doch einfach: Du willst die Fläche (mit Vorzeichen) unter ner Kurve haben. erstmal nur ne Kurve im positiven. Krumme flächen kannst du nicht. deshalb teilst du die fläche in "Streifen" der Breite [mm] \Delta [/mm] x ein, und rechnest die Flächen all der daraus entstehenden Rechtecke aus. wenn du die Streifen breit machst ist das nur ne grobe abschätzung des Flächeninhalts, wenn du sie schmaler machst wirds besser, je schmaler desto besser. Man kann alle streifen verschieden breit machen oder -was man meistens tut- alle gleich breit. wenn man das stück, das man haben will in n Teile teilt, kann man -falls man ne formel findet- am Ende n beliebig klein machen und hat dann ein exaktes Ergebnis, wenn man keine Formel findet rechnet man eben mit nem Programm - also numerisch- nen ungefähr Wert aus. die Zahl n kommt dann auf den Anspruch an Genauigkeit an. Wenn du jetzt mal deine Zeichnung nimmst, kannst du den ersten Streifen so hoch machen, wie die Kurve beim Anfangspunkt bei dir x=1 also sin(1) hoch machen, oder so hoch wie der Streifen am Ende ist, nämlich bei [mm] x+\Delta [/mm] x), bei dir sin(1+10/n) im ersten Fall ist das 1. Rechteck zu klein, im zweiten zu groß. da es immer n Rechtecke sind hörst du im ersten Fall beim vorletzten Wert auf, im 2 ten Fall beim Letzten. Die 12 waren nur ein Beispiel, aber mal es wirklich auf, wenn du 20 lieber hast als 12 mit n=20.
Mal die einen Rechtecke rot, die anderen blau und mach dir klar, dass der wirkliche Wert der Fläche irgendwo dazwischen liegt.
Du kannst dir ja auch überlegen, wie du die Fläche ausrechnen würdest, ich wette, du kommst mit ner ähnlichen methode raus!
Gruss leduart
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