Riemannsummen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:10 Do 11.05.2006 | | Autor: | Sir_E |
| Aufgabe | Es sei f : [0,1] [mm] \to \IR [/mm] gegeben durch
[mm] x^{-1} [/mm] - [mm] [x^{-1}] [/mm] , x>0
0 , x=0 Zeigen Sie, dass f auf [0,1] integriebar ist. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
Ist folgende Lösung eigentlich richtig?:
Wegen der Definition der Gaussklammer gilt dass:
0 [mm] \le [/mm] f(x) < 1
und für eine beliebige Zerlegung von [0,1] mit [mm] Z:={z_{1},..., z_{n}}
[/mm]
[mm] z_{k}-z_{k-1} [/mm] < 1
Jetzt soll max { [mm] z_{k}-z_{k-1} [/mm] }:=p
und max { [mm] f(k_{i}) [/mm] }:=q
mit [mm] k_{j} [/mm] als zur jeweiligen Partition zugehörigen Zwischenvektoren.
Dann folgt für beliebige Riemannsumme mit obiger Partition und dem zugehörigem Zwischenvektor k
[mm] \summe_{i=1}^{n} f(k_{i})*(z_{k}-z_{k-1})
[/mm]
dass sie konvergiert denn schließlich gilt doch
[mm] \summe_{i=1}^{n} f(k_{i})*(z_{k}-z_{k-1}) \le \summe_{i=1}^{n} [/mm] p*q
und die letzte summe ist ja eine geometrische Reihe weil p,q<1 und somit konvergiert ja auch die Riemannsumme
oder?
Reicht das jetzt um die Integrierbarkeit zu zeigen?
Und noch eine Frage, müssen alle Riemannsumen für jeden nur möglichen Zwischenvektor konvergieren oder reichtb es enfachn zu zeigen, dass die Riemannsummen für alle Zerlegungen und den zugehörigen beliebigen Zweischenvektoren konvergieren?
Danke schon mal für die bearbeitung
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:21 Fr 12.05.2006 | | Autor: | martzo |
Hi [mm] Sir_E,
[/mm]
> Es sei f : [0,1] [mm]\to \IR[/mm] gegeben durch
> [mm]x^{-1}[/mm] - [mm][x^{-1}][/mm] , x>0
> 0 , x=0 Zeigen Sie, dass f auf [0,1] integriebar
> ist.
Das heißt, auf dem offenen Intervall (0,1) ist [mm]f(x)=\frac{1}{x}[/mm]
> Ist folgende Lösung eigentlich richtig?:
>
> Wegen der Definition der Gaussklammer gilt dass:
>
> 0 [mm]\le[/mm] f(x) < 1
>
> und für eine beliebige Zerlegung von [0,1] mit
> [mm]Z:={z_{1},..., z_{n}}[/mm]
>
> [mm]z_{k}-z_{k-1}[/mm] < 1
Korrekt.
> Jetzt soll max ([mm]z_{k}-z_{k-1}[/mm]):=p
>
> und max ([mm]f(k_{i})[/mm]):=q
>
> mit [mm]k_{j}[/mm] als zur jeweiligen Partition zugehörigen
> Zwischenvektoren.
Achtung! p und q sind abhängig von der jeweiligen Partition. Hast du eine Nullfolge von Zerlegungen [mm](\mathcal{Z}_n)_{n\in\mathbb{N}}[/mm], dann solltest du die Zugehörigen p's und q's in Abhängigkeit von n besser [mm]p_n[/mm] und [mm]q_n[/mm] nennen.
> Dann folgt für beliebige Riemannsumme mit obiger Partition
> und dem zugehörigem Zwischenvektor k
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} f(k_{i})*(z_{k}-z_{k-1})[/mm]
>
> dass sie konvergiert denn schließlich gilt doch
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} f(k_{i})*(z_{k}-z_{k-1}) \le \summe_{i=1}^{n}[/mm] p*q
>
> und die letzte summe ist ja eine geometrische Reihe weil
> p,q<1 und somit konvergiert ja auch die Riemannsumme
>
> oder?
Das wär schön, ist aber leider falsch. Es gilt ja
[mm]\summe_{i=1}^{n} f(k_{i})*(z_{i}-z_{i-1}) \le \summe_{i=1}^{n}p_n*q_n[/mm], wobei [mm]q_n\rightarrow 0[/mm] und [mm]p_n\rightarrow +\infty[/mm]. (Ich hab hier auch die Indizies verbessert, das stimmte nicht so ganz. Dabei nehme ich [mm]z_0=0[/mm] und [mm]z_n=1[/mm] an.)
>
> Und noch eine Frage, müssen alle Riemannsumen für jeden nur
> möglichen Zwischenvektor konvergieren oder reichtb es
> enfachn zu zeigen, dass die Riemannsummen für alle
> Zerlegungen und den zugehörigen beliebigen
> Zweischenvektoren konvergieren?
Was ist nochmal genau der Unterschied zwischen den beiden Alternativen, die du hier zur Disposition stellst?
Besten Gruß,
Martzo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Sir_E |
Danke, jetz hab ich endlich verstanden warum mein Beweis nicht funktioniert (und nebenbei die Riemannsummen noch besser verstanden
 .
Zu meiner zweiten Frage noch mal.
Wenn man jetzt z.B. zwei Funktionen f und g hat die im Inneren des Intervalls [a,b] gleich sind, d.h. f(x)=g(x) für x [mm] \in [/mm] (a,b)
Wenn jetzt f auf [a,b] integrierbar ist kann man dann sagen, dass das Integral von f gleich dem von g ist, weil man ja die jeweiligen Zwischenvektoren so auswählen kann, dass sie gerade nicht auf die Eckpunkte a und b fallen, sondern Punkte im Inneren von (a,b) sind, oder ist das nicht zulässig?
Danke schon mal im voraus.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Fr 12.05.2006 | | Autor: | martzo |
Hallo [mm] Sir_E,
[/mm]
>
> Wenn man jetzt z.B. zwei Funktionen f und g hat die im
> Inneren des Intervalls [a,b] gleich sind, d.h. f(x)=g(x)
> für x [mm]\in[/mm] (a,b)
> Wenn jetzt f auf [a,b] integrierbar ist kann man dann
> sagen, dass das Integral von f gleich dem von g ist, weil
> man ja die jeweiligen Zwischenvektoren so auswählen kann,
> dass sie gerade nicht auf die Eckpunkte a und b fallen,
> sondern Punkte im Inneren von (a,b) sind, oder ist das
> nicht zulässig?
>
Diese Überlegung ist völlig korrekt. Grundsätzlich kannst du dir merken, dass man in Bezug auf den Wert des Riemann-Integrals immer endlich viele Argumente (in diesem Fall genau zwei, nämlich 0 und 1) vernachlässigen darf.
Wenn du - wahrscheinlich erst demnächst - Maßtheorie hörst, wirst du erfahren, dass man bei der Integration grundsätzlich Mengen vom so genannten "Maß Null" vernachlässigen darf. (Endliche Mengen sind einfache Beispiele für Mengen, deren Maß gleich Null ist. Anschaulich, aber nicht ganz korrekt, gesprochen, ist ihr Maß gleich Null, weil sie keine räumliche Ausdehnung haben.)
Man kann dann sagen: Der Wert des Integrals zweier Funktionen, die sich nur auf einer Menge vom Maß Null (oder "Nullmenge") unterscheiden, ist gleich.
Beste Grüße,
Martzo
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