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| Aufgabe | 1)
a) Stellen Sie die Riemannsumme Rn von [mm] e^{x} [/mm] zur Zerlegung [mm] x_{0}=0, x_{1}=(1/n), x_{2}=(2/n),..., x_{n}=(n/n)=1 [/mm] mit den linken Intervallenden [mm] x_{k-1} \in (x_{k}, x_{k-1} [/mm] als Zwischenstellen auf.
b) Fassen Sie diese Summe mit Hilfe der Formel für die endliche geometrische Summe "kompakt" zusammen.
c) Berechnen Sie jetzt das Integral [mm] \integral_{0}^{1}{e^{x} dx} [/mm] als Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} [/mm] Rn dieser Riemannsummen. |
Hallo,
ich komme mit dieser Aufgabe nicht so recht weiter. Also, zuerst brauch ich die Riemannsumme.
Wenn ich das richtig sehe, ist [mm] \Deltax [/mm] hier 1/n und man soll die linken Intervallenden nehmen.
Dann müsste die Riemannsumme doch folgendermaßen aussehen:
Rn:= [mm] f(x_{0})*(1/n)+f(x_{1})*(1/n)+...+f(x_{n-1})*(1/n)
[/mm]
Aber dies muss man doch jetzt irgendwie so bekommen, dass man es zusammenfassen kann? Man kann noch den Y-Wert einsetzen:
Rn:= [mm] e^{x_{0}}*(1/n)+e^{x_{1}}*(1/n)+...+e^{x_{n-1}}*(1/n)
[/mm]
So, aber das kann doch so noch nicht fertig sein. Achso, jetzt vielleicht (1/n) ausklammern: [mm] (1/n)*(e^{x_{0}}+e^{x_{1}}+e^{x_{n-1}}))
[/mm]
Aber das sieht irgendwie noch nicht so aus, wie die endliche geometrische Reihe, oder weiß ich, dass [mm] e^{x_{0}}=1 [/mm] ist? Aber warum denn? Dann könnte man es ja so zusammenfassen:
[mm] Sn=(1-e^{n+1})/(1-e) [/mm] Ist das wohl so richtig?
Bei c) verstehe ich eigentlich überhaupt nicht, was ich machen soll. Kann mir das jemand erklären??
Wäre super, wenn mir da jemand helfen könnte.
Viele Grüße,
Anna
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:41 So 21.09.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Du hast ja die x>i noch gar nicht eingesetzt!
die sind doch in der Aufgabe schon explizit angegeben!
also einsetzen und dran denken [mm] e^{2a}=(e^a)^2
[/mm]
Gruss leduart
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Hallo! Danke schonmal. Also ok. Ich weiß noch, dass 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1.
Also kann ich für die X-Werte eigentlich (1/n), (2/n) usw. einsetzen, nicht? Und bei dem ersten y-Wert ist das, weil ich ja die linke Intervallhälfte nehme, dann 0, nicht wahr? Ok, das würde dann bedeuten, wenn ich (1/n) bei der Riemannsumme schon ausgeklammert habe:
Rn:= [mm] (1/n)*(e^{0}+e^{(1/n)}+e^{(2/n)}+...+e^{((n-1)/n)})
[/mm]
Das müsste dann doch eigentlich stimmen.
Und meine endlich geometrische Summe mit Zusammenfassung ist dann:
[mm] Sn=(1-e^{(2n-1)/n}/(1-e))
[/mm]
Ist das jetzt richtig?
Kann mir dann vielleicht auch noch jemand erklären, was man bei c) machen soll????? Wäre super.
Viele Grüße,
Anna
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Hallo crazyhuts1,
> Hallo! Danke schonmal. Also ok. Ich weiß noch, dass 0 [mm]\le[/mm] x
> [mm]\le[/mm] 1.
> Also kann ich für die X-Werte eigentlich (1/n), (2/n) usw.
> einsetzen, nicht? Und bei dem ersten y-Wert ist das, weil
> ich ja die linke Intervallhälfte nehme, dann 0, nicht wahr?
> Ok, das würde dann bedeuten, wenn ich (1/n) bei der
> Riemannsumme schon ausgeklammert habe:
> Rn:= [mm](1/n)*(e^{0}+e^{(1/n)}+e^{(2/n)}+...+e^{((n-1)/n)})[/mm]
> Das müsste dann doch eigentlich stimmen.
> Und meine endlich geometrische Summe mit Zusammenfassung
> ist dann:
> [mm]Sn=(1-e^{(2n-1)/n}/(1-e))[/mm]
> Ist das jetzt richtig?
Das musst nochmal nachrechnen:
[mm]
S_{n}=e^{\bruch{0}{n}}+ \ \dots \ + e^{\bruch{n-1}{n}}=\left(e^{\bruch{1}{n}}\right)^{0}+\ \dots \ +\left(e^{\bruch{1}{n}}\right)^{n-1}=\summe_{k=0}^{n-1}\left(e^{\bruch{1}{n}}\right)^{k}[/mm]
> Kann mir dann vielleicht auch noch jemand erklären, was
> man bei c) machen soll????? Wäre super.
Hier ist der Grenzwert
[mm]\limes_{n\rightarrow\infty}{\bruch{1}{n}S_{n}}[/mm]
zu bilden.
> Viele Grüße,
> Anna
Gruß
MathePower
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Hallo.
Ah ja. Ich habe dann die Riemannsumme:
Rn:= [mm] (1/n)*(e^{(1/n)0}+e^{(1/n)1}+e^{(1/n)2}+...+e^{(1/n)n-1})
[/mm]
Dann fasse ich es zusammen und es ergibt sich:
Sn:= [mm] (1-e^{(1/n)n})/(1-e^{(1/n)})
[/mm]
Das muss aber irgendwie noch falsch sein, denn der Grenzwert wäre dann ja, wenn n gegen unendlich geht, dann geht [mm] e^{(1/n)} [/mm] gegen 1 und [mm] e^{(1/n)n}=e^{1}. [/mm] Dann würde der Nenner gegen 0 gehen und der Zähler gegen [mm] (1-e^{1}) [/mm] und es wäre nicht mehr definiert.
Kann mir jemand sagen, wo hier der Fehler ist? Ich find ihn nicht.
Viele Grüße,
Anna
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> Hallo.
> Ah ja. Ich habe dann die Riemannsumme:
> Rn:=
> [mm](1/n)*(e^{(1/n)0}+e^{(1/n)1}+e^{(1/n)2}+...+e^{(1/n)n-1})[/mm]
>
> Dann fasse ich es zusammen und es ergibt sich:
>
> Sn:= [mm](1-e^{(1/n)n})/(1-e^{(1/n)})[/mm]
>
> Das muss aber irgendwie noch falsch sein, denn der
> Grenzwert wäre dann ja, wenn n gegen unendlich geht, dann
> geht [mm]e^{(1/n)}[/mm] gegen 1 und [mm]e^{(1/n)n}=e^{1}.[/mm] Dann würde der
> Nenner gegen 0 gehen und der Zähler gegen [mm](1-e^{1})[/mm] und es
> wäre nicht mehr definiert.
> Kann mir jemand sagen, wo hier der Fehler ist? Ich find
> ihn nicht.
Hallo,
die Dinge stehen und fallen manchmal damit, daß man's vernünftig aufschreibt.
Berechnen willst Du doch nun
[mm] \lim_{n\to \infty}\bruch{S_n}{n} =\lim_{n\to \infty}\bruch{1-e^{\bruch{1}{n}*n}}{n*(1-e^{\bruch{1}{n}})}
[/mm]
= [mm] \lim_{n\to \infty}\bruch{1-e}{n*(1-e^{\bruch{1}{n}})}
[/mm]
= [mm] (1-e)*\lim_{n\to \infty}\bruch{1}{n*(1-e^{\bruch{1}{n}})}
[/mm]
Im Nenner hast Du hier " [mm] \infty [/mm] *0", Du weißt also erstmal gar nichts.
Mach Dir jetzt Gedanken über die Berechnung von [mm] \lim_{n\to \infty}\bruch{1}{n*(1-e^{\bruch{1}{n}})}. [/mm] (Tip: l'Hospital.)
Gruß v. Angela
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Hallo.
Ok, wenn ich davon jetzt aber mit l'Hospital den Grenzwert bilden will und dafür den Zähler (also 1) ableite, habe ich da doch 0 stehen.
Kann ich nicht einfach so sehen, dass [mm] (1-e^{(1/n)}) [/mm] gegen 0 geht und dann also (1/n) insgesamt übrig bleibt. Dies geht mit wachsendem n gegen 0, also ist der Grenzwert insgesamt 0? Wenn ich l'Hospital anwende, indem ich von [mm] (1-e)/(n*(1-e^{(1/n)})) [/mm] jeweils die Ableitungen und davon den Grenzwert bilde, komme ich auch darauf.
Ist das wohl richtig so??
Viele Grüße,
Anna
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo crazyhuts!
Auf den Ausdruck $ \lim_{n\to \infty}\bruch{1}{n\cdot{}(1-e^{\bruch{1}{n}})} $ kannst Du zunächst de l'Hospital nicht anwenden, da keiner der beiden Fälle $\bruch{0}{0}$ bzw. $\pm\bruch{\infty}{\infty}$ auftritt.
Aber diese Form können wir durch Umformung erhalten:
$$\bruch{1}{n\cdot{}\left(1-e^{\bruch{1}{n}}\right)} \ = \ \bruch{\bruch{1}{n}}{1-e^{\bruch{1}{n}}$$
Nun kann man Herrn de 'Hospital bemühen.
Deine Lösungsvariante ist nicht möglich, da im Nenner ein unbestimmter Ausdruck der Form $\infty*0$ entsteht (siehe auch Angela's Antwort).
Gruß vom
Roadrunner
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Ok, danke für die vielen Tips. Aber irgendwie bekomme ich das mit l'Hospital nicht so richtig hin. Ich habe:
[mm] (1/n)/(1-e^{(1/n)}). [/mm] Dann bilde ich davon die Ableitungen: [mm] f'(x)/g'(x)=(-1/n^{2})/(-e^{(1/n)}). [/mm] Oder ist das gar schon falsch?
Denn sonst geht jetzt der Wert im Zähler doch schon wieder gegen 0 und der Nenner gegen -1. Und jetzt?? Ich verstehe nicht, wie das gehen soll.
Vielleicht kann mir jemand noch einen Wink geben??
Viele grüße,
Anna
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> Ok, danke für die vielen Tips. Aber irgendwie bekomme ich
> das mit l'Hospital nicht so richtig hin. Ich habe:
> [mm](1/n)/(1-e^{(1/n)}).[/mm] Dann bilde ich davon die Ableitungen:
> [mm]f'(x)/g'(x)=(-1/n^{2})/(-e^{(1/n)}).[/mm] Oder ist das gar schon
> falsch?
Hallo,
wo hast Du im Nenner denn die innere Ableitung gelassen?
Gruß v. Angela
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Ah ok. Man muss die Kettenregel anwenden. Also hat man dann [mm] (-1/n^{2})/((-1/n^{2})*(-e^{(1/n)})). [/mm] Dann kann man [mm] (-1/n^{2}) [/mm] kürzen und hat dann: [mm] (1/(-e^{(1/n)})). [/mm] Dann ist der Grenzwert also -1.
Das müsste jetzt aber eigentlich stimmen, oder???
Viele Grüße und danke,
Anna
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Hallo,
ja, so stimmt es.
Nun darfst Du fürs ergebnis nur nicht das Multiplizieren mit (1-e) vergessen.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:10 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Ok, danke für die vielen Tips. Aber irgendwie bekomme ich
> das mit l'Hospital nicht so richtig hin. Ich habe:
> [mm](1/n)/(1-e^{(1/n)}).[/mm] Dann bilde ich davon die Ableitungen:
> [mm]f'(x)/g'(x)=(-1/n^{2})/(-e^{(1/n)}).[/mm] Oder ist das gar schon
> falsch?
Angela hat Dir ja schon einen Hinweis gegeben. Eine andere Sache:
Wenn Du schon formal vorgehst, dann bitte auch drauf achten, dass bei $f'(x)$ rechterhand auch [mm] $\black{x}$ [/mm] und nicht [mm] $\black{n}$ [/mm] auftaucht. Denn mit [mm] $\black{f}(x)=1/x$ [/mm] ist [mm] $f'(x)=-\frac{1}{x^2}$ [/mm] und [mm] $f'(n)=-\frac{1}{n^2}$, [/mm] aber [mm] $f'(x)=-\frac{1}{n^2}$ [/mm] für alle [mm] $\black{x}$ [/mm] bedeutete, dass [mm] $\black{f'}$ [/mm] konstant [mm] $=-\frac{1}{n^2}$ [/mm] wäre...
Also vielleicht mal ganz formal:
Setze $f,g: [mm] \IR \setminus \{0\} \to \IR$, $f(x):=\frac{1}{x}$ [/mm] und [mm] $g(x):=\frac{1}{1-e^{\frac{1}{x}}}$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}=\lim_{n \to \infty}\frac{f'(n)}{g'(n)}.$
[/mm]
Dabei gilt die erste Gleichheit [mm] $\lim_{x \to \infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \to \infty}\frac{f'(x)}{g'(x)}$ [/mm] hier nach dem Herrn Hospital (Fall "0/0"). Die zweite, weil:
Wenn ich z.B. eine Funktion $h: [mm] \IR_{>0} \to \IR$ [/mm] habe, so dass [mm] $G:=\lim_{\stackrel{x \to \infty}{x \in \IR_{>0}}}h(x)$ [/mm] (in [mm] $\IR$) [/mm] existiert, so erfüllt diese auch [mm] $\lim_{\stackrel{n \to \infty}{n \in \IN}}h(n)=G$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:12 Mo 22.09.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Anna,
wie man den Grenzwert mit L'Hospital einsieht, ist Dir ja nun erläutert worden. Ich möchte noch eine Alternative anbieten:
Bekannt sein sollte [mm] $$e^{z}=\sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!}\,.$$
[/mm]
Damit gilt hier:
$$
[mm] \frac{1}{n\left(1-e^{\frac{1}{n}}\right)}=\frac{1}{n*\left(-\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k!\;n^k}\right)}=\;\blue{-}\;\frac{1}{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)!\;n^k}}\,.
[/mm]
$$
Für die im Nenner auftauchende Reihe kann man sich nun folgendes überlegen:
[mm] $$\left|\left(\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)!\;n^k} \right)-1\right|=\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+1)!\;n^k} \le \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k!\;n^k}=e^{\frac{1}{n}}-1\,.$$
[/mm]
(Wichtig: Es $0 [mm] \le e^{\frac{1}{n}}-1 \to [/mm] 0$. Warum?)
Welche Konsequenz hat das für [mm] $\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)!\;n^k}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Wenn Du das weißt:
Wogegen strebt also [mm] $\frac{1}{n\left(1-e^{\frac{1}{n}}\right)}=\;\blue{-}\;\frac{1}{\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(k+1)!\;n^k}}$ [/mm] bei $n [mm] \to \infty$?
[/mm]
Gruß,
Marcel
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