Rieszscher Darstellungssatz < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:43 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Lati |
Hallo zusammen,
ich bereite mich gerade auf meine Prüfung in Funktionalanalysis vor und merke gerade, dass ich größere Verständnisprobleme bei der Anwendung und genauen Aussage des Darstellungssatzes von Riesz habe.
Erstmal würde mich interessieren wie denn ein Elemente im [mm] L^2 [/mm] aussieht und im [mm] l^2, [/mm] weil ich kann mir das immer noch nicht so richtig vorstellen und ein anschauliches Beispiel würde mir sehr helfen.
Dann macht Riesz ja Aussagen über die Beziehung zwischen Raum und Dualraum. Und in diesem Fall weiß ich aber schon gar nicht wie der Dualraum genau aussehen soll.Ich mein ich kann in die Definition einsetzen aber dann weiß ich wieder nicht wie man dann ein Element aus dem Dualraum von [mm] L^2 [/mm] genau benennen kann oder was einem Riesz dabei hilft.
Wär echt super wenn jemand mir den Zusammenhang zwischen all dem mal etwas besser erklären könnte
Über Hilfe freue ich mich sehr!
Viele Grüße
Lati
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:04 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
Hallo,
[mm] L^2(\IR^n) [/mm] ist der Raum der quadratintegrierbaren Funktionen, d.h. der Raum aller Funktionen [mm] f:\IR^n\to\IR [/mm] mit [mm]\int_{\IR^n} f(x)^2 \ dx < \infty[/mm]. Wo genau liegt da jetzt das Verständnisproblem? Ein Beispiel für so eine Funktion wäre [mm]f(x) := e^{-|x|^2}[/mm].
Und [mm] l^2 [/mm] ist der Raum aller quadratsummierbaren Folgen, d.h. der Raum aller Folgen [mm] x_n [/mm] mit [mm]\sum_{i=0}^\infty x_n^2 < \infty[/mm]. Ein Beispiel für so eine Folge wäre [mm]x_n := \frac{1}{n}[/mm].
Der Dualraum von [mm] L^2(\IR^n) [/mm] ist der Raum aller beschränkten, linearen Abbildungen [mm] L^2(\IR^n)\to\IR, [/mm] d.h. Elemente des Dualraumes kriegen als "Eingabe" Funktionen und geben dann eine reelle Zahl aus. Ein Beispiel wäre [mm]F_K(f) := \int_K f(x) \ dx[/mm], wobei [mm] K\subset\IR^n [/mm] kompakt sei.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mo 22.03.2010 | | Autor: | Lati |
Hi Alex,
vielen Dank für deine Antwort.Das hat mir jetzt schon sehr geholfen. Ist das mit der Anwendung von Riesz jetzt so zu verstehen, dass wenn [mm] X=L^2 [/mm] dann gilt:
[mm] J:L^2 ->L^2' [/mm] und J(x)=(*,x), dass ich dann für [mm] x\in L^2 [/mm] eben einfach eine Funktion aus [mm] L^2 [/mm] nehmen kann und dann im Skalarprodukt also (*,f) erhalte für f [mm] \in L^2 [/mm] und *=y für alle [mm] y\in L^2. [/mm] Und damit wäre das Skalarprodukt dann das aus [mm] L^2 [/mm] oder?
Und das ist doch über das Integral definiert oder?
Vielen Dank und viele Grüße
Lati
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:35 Di 23.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
> Hi Alex,
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> vielen Dank für deine Antwort.Das hat mir jetzt schon sehr
> geholfen. Ist das mit der Anwendung von Riesz jetzt so zu
> verstehen, dass wenn [mm]X=L^2[/mm] dann gilt:
> [mm]J:L^2 ->L^2'[/mm] und J(x)=(*,x), dass ich dann für [mm]x\in L^2[/mm]
> eben einfach eine Funktion aus [mm]L^2[/mm] nehmen kann und dann im
> Skalarprodukt also (*,f) erhalte für f [mm]\in L^2[/mm] und *=y
> für alle [mm]y\in L^2.[/mm] Und damit wäre das Skalarprodukt dann
> das aus [mm]L^2[/mm] oder?
>
> Und das ist doch über das Integral definiert oder?
>
> Vielen Dank und viele Grüße
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> Lati
Drücke dich bitte klar und deutlich aus! Ich verstehe kein Wort von dem was du geschrieben hast. Gib dir wenigstens ein klein wenig Mühe beim Aufschreiben.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:41 Mi 24.03.2010 | | Autor: | Lati |
> > Hi Alex,
> >
> > vielen Dank für deine Antwort.Das hat mir jetzt schon sehr
> > geholfen. Ist das mit der Anwendung von Riesz jetzt so zu
> > verstehen, dass wenn [mm]X=L^2[/mm] dann gilt:
> > [mm]J:L^2 ->L^2'[/mm] und J(x)=(*,x), dass ich dann für [mm]x\in L^2[/mm]
> > eben einfach eine Funktion aus [mm]L^2[/mm] nehmen kann und dann im
> > Skalarprodukt also (*,f) erhalte für f [mm]\in L^2[/mm] und *=y
> > für alle [mm]y\in L^2.[/mm] Und damit wäre das Skalarprodukt dann
> > das aus [mm]L^2[/mm] oder?
> >
> > Und das ist doch über das Integral definiert oder?
> >
> > Vielen Dank und viele Grüße
> >
> > Lati
>
> Drücke dich bitte klar und deutlich aus! Ich verstehe kein
> Wort von dem was du geschrieben hast. Gib dir wenigstens
> ein klein wenig Mühe beim Aufschreiben.
>
Hi,
also ehrlich gesagt habe ich mir nicht wenig Mühe gegeben, sondern das ist doch eher auf mein Unverständnis zurückzuführen.
Ich weiß auch immer noch nicht wie ich mich anders ausdrücken könnte, aber vielleicht kannst du mir ja einfach kurz die Anwendung von Riesz mit dem [mm] L^2 [/mm] vorführen, also was Riesz dann genau mit einem Element aus dem [mm] L^2 [/mm] macht.
Das wäre sehr nett,weil ich bin echt leicht verzweifelt und so langsam läuft mir die Zeit davon.
Danke...
LG Lati
> LG, Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:56 Mi 24.03.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich weiß auch immer noch nicht wie ich mich anders
> ausdrücken könnte, aber vielleicht kannst du mir ja
> einfach kurz die Anwendung von Riesz mit dem [mm]L^2[/mm]
> vorführen, also was Riesz dann genau mit einem Element aus
> dem [mm]L^2[/mm] macht.
Das hat fred in seiner Antwort getan, wie es für den [m]L^2[/m] ist.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:06 Do 25.03.2010 | | Autor: | Merle23 |
> > Ist das mit der Anwendung von Riesz jetzt so zu
> > verstehen, dass wenn [mm]X=L^2[/mm] dann gilt:
> > [mm]J:L^2 ->L^2'[/mm] und J(x)=(*,x), dass ich dann für [mm]x\in L^2[/mm]
> > eben einfach eine Funktion aus [mm]L^2[/mm] nehmen kann und dann im
> > Skalarprodukt also (*,f) erhalte für f [mm]\in L^2[/mm] und *=y
> > für alle [mm]y\in L^2.[/mm] Und damit wäre das Skalarprodukt dann
> > das aus [mm]L^2[/mm] oder?
> also ehrlich gesagt habe ich mir nicht wenig Mühe gegeben,
> sondern das ist doch eher auf mein Unverständnis
> zurückzuführen.
> Ich weiß auch immer noch nicht wie ich mich anders
> ausdrücken könnte
Mir ging auch weniger um das Mathematische als das Sprachliche. Schau dir doch einfach mal dein Satzkonstrukt oben an - das ist allein vom Deutschen her einfach schwer zu verstehen.
LG, Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:07 Di 23.03.2010 | | Autor: | fred97 |
Ganz allgemein in Hilberträumen besagt der Darstellungssatz folgendes:
Sei H ein Hilbertraum mit dem Innenprodukt $<*|*>$.
1. Ist z [mm] \in [/mm] H und f definiert durch $f(x):=<x|z>$ für x [mm] \in [/mm] H, so ist f eine stetige Linearform auf H, also ein Element des Dualraumes von H.
2. Ist f eine stetige Linearform auf H , so gibt es genau ein z [mm] \in [/mm] H mit $f(x)=<x|z>$ für x [mm] \in [/mm] H. Weiter gilt: $||f||=||z||$
FRED
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