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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:45 Di 29.06.2010 | | Autor: | lausch |
| Aufgabe | Es sei R der Ring [mm] \IZ [\wurzel{-5}]:= [/mm] { [mm] a+b*\wurzel{-5}| [/mm] a,b [mm] \in \IZ [/mm] }
1) Zeigen sie, dass die Abbildung N:R [mm] \to \IZ [/mm] definiert durch [mm] N(a+b*\wurzel{-5}):=a [/mm] ²+5b ² multiplikativ ist.
2)Zeigen sie, dass R* = [mm] \IZ [/mm] * ist.
3) Zeigen sie, dass
[mm] 6=2*3=(1+\wurzel{-5})(1-\wurzel{-5}) [/mm] eine Zerlegung von 6 in zwei verschiedene irreduzible Faktoren ist. Hinweis: Verwenden sie die Abbildung N. |
Hallo,
kann mir irgendjemand helfen? Ich weiß überhaupt nicht was ich zu tun habe:(
lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:19 Di 29.06.2010 | | Autor: | andreas |
hi
naja fang doch einfach mal an die notwendigen definitionen nachzuschlagen. zunächst natürlich: was heißt denn multiplikativ? wenn das klar ist probiere mal den ersten teil, dieser ist nicht schwer.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:40 Di 29.06.2010 | | Autor: | lausch |
Okay, die Defintion von multiplikativ ist doch N(xy)=N(x)N(y) oder?
Wenn das stimmt, dann müsste ich hierbei zeigen, dass [mm] N((a1+b1\wurzel{-5})(a2+b2\wurzel{-5}))= [/mm] (a1 ² +5b1²)(a2 ² +5b2²) ist. Stimmt das?
lg
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Hallo,
> Okay, die Defintion von multiplikativ ist doch
> N(xy)=N(x)N(y) oder?
>
> Wenn das stimmt, dann müsste ich hierbei zeigen, dass
> [mm]N((a1+b1\wurzel{-5})(a2+b2\wurzel{-5}))=[/mm] (a1 ² +5b1²)(a2
> ² +5b2²) ist. Stimmt das?
Ja, das ist richtig. Das musst du jetzt einfach ausrechnen.
Für b) könnte es nützlich sein, wenn du zeigen kannst: N(x) = 1 ist äquivalent zu "x ist Einheit".
Grüße,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:53 Di 29.06.2010 | | Autor: | lausch |
Okay, dann habe ich mal wieder viel zu kompliziert gedacht ;)
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(Frage) überfällig | | Datum: | 11:09 Mi 30.06.2010 | | Autor: | lausch |
Ich rechne nun schon die ganze Zeit herum, aber ich komme nicht weiter.
Vielleicht kann mal kurz jemand drüber gucken ;)
[mm]N((a1+b1\wurzel{-5})(a2+b2\wurzel{-5}))=[/mm] (a1 ² +5b1²)(a2
² +5b2²)
=>
[mm] N(a1a2+a1b2\wurzel{-5} +a2b1\wurzel{-5} [/mm] -5b1b2)
Wie kann ich nun von diesem Term nun auf (a1 ² +5b1²)(a2 ² +5b2²)=a1²a2²+5(a1²b2²+a2²b1²)+25b1²b2² kommen?
Was genau macht die Abbildung?
Bei [mm] N(a+b\wurzel{-5})= [/mm] (a ² +5b²) wird meiner Meinung nach einfach die dritte binomische Formel angewandt. Wie kann ich das umsetzen?
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Hallo lausch,
> Ich rechne nun schon die ganze Zeit herum, aber ich komme
> nicht weiter.
> Vielleicht kann mal kurz jemand drüber gucken ;)
Wenn du den Formeleditor benutzt, ist das Entziffern nicht so schwer und das Drübergucken angenehmer ...
> [mm]N((a1+b1\wurzel{-5})(a2+b2\wurzel{-5}))=[/mm] (a1 ² +5b1²)(a2
> ² +5b2²)
>
> =>
> [mm]N(a1a2+a1b2\wurzel{-5} +a2b1\wurzel{-5}[/mm] -5b1b2)
>
> Wie kann ich nun von diesem Term nun auf (a1 ² +5b1²)(a2
> ² +5b2²)=a1²a2²+5(a1²b2²+a2²b1²)+25b1²b2²
> kommen?
Mit [mm] $x=a_1+b_1\sqrt{-5}$ [/mm] und [mm] $y=a_2+b_2\sqrt{-5}$ [/mm] ist
[mm] $xy=\underbrace{\ldots}_{\text{ausmultiplizieren und zusammenfassen}}=(a_1a_2-5b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\sqrt{-5}$
[/mm]
Mithin [mm] $N(xy)=(a_1a_2-5b_1b_2)^2+5(a_1b_2+a_2b_1)^2=\underbrace{\ldots}_{\text{ausrechnen}}=a_1^2a_2^2+5(a_1^2b_2^2+a_2^2b_1^2)+25b_1^2b_2^2$
[/mm]
Und dasselbe kommt heraus, wenn du $N(x)N(y)$ ausrechnest:
[mm] $N(x)N(y)=(a_1^2+5b_1^2)(a_2^2+5b_2^2)=\ldots$
[/mm]
>
> Was genau macht die Abbildung?
> Bei [mm]N(a+b\wurzel{-5})=[/mm] (a ² +5b²) wird meiner Meinung
> nach einfach die dritte binomische Formel angewandt. Wie
> kann ich das umsetzen?
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Mi 30.06.2010 | | Autor: | lausch |
Vielen Dank. Da hätte ich ja auch mal getrost selber drauf kommen können mir das so umzuschreiben..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Fr 02.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:37 Mi 30.06.2010 | | Autor: | lausch |
> Hallo,
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> > Okay, die Defintion von multiplikativ ist doch
> > N(xy)=N(x)N(y) oder?
> >
> > Wenn das stimmt, dann müsste ich hierbei zeigen, dass
> > [mm]N((a1+b1\wurzel{-5})(a2+b2\wurzel{-5}))=[/mm] (a1 ² +5b1²)(a2
> > ² +5b2²) ist. Stimmt das?
>
> Ja, das ist richtig. Das musst du jetzt einfach
> ausrechnen.
> Für b) könnte es nützlich sein, wenn du zeigen kannst:
> N(x) = 1 ist äquivalent zu "x ist Einheit".
Was genau habe ich denn hier zu tun? Wie zeige ich das N(x)=1 äquivalent zu "x ist Einheit" ist?
> Grüße,
> Stefan
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Mi 30.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo,
> >
> > > Okay, die Defintion von multiplikativ ist doch
> > > N(xy)=N(x)N(y) oder?
> > >
> > > Wenn das stimmt, dann müsste ich hierbei zeigen, dass
> > > [mm]N((a1+b1\wurzel{-5})(a2+b2\wurzel{-5}))=[/mm] (a1 ² +5b1²)(a2
> > > ² +5b2²) ist. Stimmt das?
> >
> > Ja, das ist richtig. Das musst du jetzt einfach
> > ausrechnen.
> > Für b) könnte es nützlich sein, wenn du zeigen
> kannst:
> > N(x) = 1 ist äquivalent zu "x ist Einheit".
>
> Was genau habe ich denn hier zu tun? Wie zeige ich das
> N(x)=1 äquivalent zu "x ist Einheit" ist?
Na, wie das immer so ist: zeige:
1. N(x)=1 [mm] \Rightarrow [/mm] x ist eine Einheit
2. x ist eine Einheit [mm] \Rightarrow [/mm] N(x)=1
Kleiner Anstoß für 1. Ist [mm] $N(a+b\wurzel{5})= a^2+5b^2=1$, [/mm] so folgt: b=0 und [mm] a^2 [/mm] =1
Kommst Du jetzt alleine weiter ?
FRED
>
>
> > Grüße,
> > Stefan
>
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(Frage) überfällig | | Datum: | 15:07 Mi 30.06.2010 | | Autor: | lausch |
> Na, wie das immer so ist: zeige:
>
> 1. N(x)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] x ist eine Einheit
>
> 2. x ist eine Einheit [mm]\Rightarrow[/mm] N(x)=1
>
> Kleiner Anstoß für 1. Ist [mm]N(a+b\wurzel{5})= a^2+5b^2=1[/mm],
> so folgt: b=0 und [mm]a^2[/mm] =1
>
Vielen Dank!
Kann ich also einfach aufschreiben:
Aufgrund der Multiplikativität folgt aus xy=1
N(x)*N(y)=N(1)=1, also N(x)=1.
N(x)=1 [mm]\Rightarrow[/mm] [mm]a=\pm1, b=0[/mm]
Da [mm] \pm1 [/mm] genau die Einheit von den ganzen Zahlen bilden, ist R * [mm] =\IZ [/mm] *.
> Kommst Du jetzt alleine weiter ?
Wenn das so stimmt dann schon :)Jedoch habe ich noch eine Frage zum Vorgehen bei der 3. Aufgabe. Wie zeige ich, dass sie irreduzibel sind.
> FRED
> >
> >
> > > Grüße,
> > > Stefan
> >
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:02 Mi 30.06.2010 | | Autor: | lausch |
kann mir keiner was dazu sagen?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:20 Fr 02.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 01.07.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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