Ringe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:14 Mi 10.11.2004 | | Autor: | bauta |
Aufgabenstellung:
Auf einem Ring R definieren wir ein neue Verknüpfung durch a-b:=a+(-b)
Zeigen sie dass für alle a,b,c [mm] \in [/mm] R (R für den Ring) gilt:
R ist ein Ring mit der Eins 1!!
Der Ring muss nicht kommutativ sein!!
a) a*(-1) = -a
b) a*(-b) = -(a*b) bzw. (-a)*(b) = -(a*b)
c) (-a)*(-b) = a*b
d) a*(b-c) = a*b-a*c
Die d) ist eigentlich nicht schwer, weil wir die vorhergehenden Beweise ja verwenden dürfen, aber mein a),b) c) hab ich momentan keine Ahnung!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:12 Mi 10.11.2004 | | Autor: | zwerg |
moin bauta!
Guck dir doch einfach mal die Körperaxiome an.
Damit R ein Ring mit 1 ist, muß er die Körperaxiome A(1)-A(4) und
M(1)-M(2) und D erfüllen.
A(1)
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] R (a+b)+c=a+(b+c)
A(2)
[mm] \exists [/mm] 0* [mm] \in [/mm] R so das [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R a+0*=0*+a=a
A(3)
[mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R [mm] \exists [/mm] a' [mm] \in [/mm] R a+a'=a'+a=0*
A(4)
[mm] \forall [/mm] a,b [mm] \in [/mm] R a+b=b+a
M(1)
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] R (a [mm] \odot [/mm] b) [mm] \odot [/mm] c
M(2)
[mm] \exists [/mm] 1 [mm] \in [/mm] R [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] R a [mm] \odot [/mm] 1=1 [mm] \odot [/mm] a=a
D
[mm] \forall [/mm] a,b,c [mm] \in [/mm] R a(b+c)=ab+ ac und (b+c)a=ba+ca
somit könnte a) so aussehen:
wegen ab+(-a)b=(a+(-a))b=0b=0 folgt
(-a)b=-ab also
a*(-1)=a*(0-1)=(0-1)*a=(0+(-1))*a=0a+(-1)a=-a
b) war wohl auch schon gelöst ups
(-a)*(-b)=(-1)a(-b)=(-1)(-ab)=-(-ab)
wegen a+(-a)=0 a=-(-a) also -(-ab)=ab
und d) kannste ja selber
zwerg
|
|
|
|
