Ringhomomorphismus von Teilern < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Seien $m, n [mm] \in \mathbb{N}$, [/mm] sodass $m$ ein Teiler von $n$. Zu zeigen ist nun, dass [mm] $\alpha [/mm] : [mm] \mathbb{Z}_{m} \to \mathbb{Z}_{n}$ [/mm] definiert durch [mm] $\alpha [/mm] ( x+m [mm] \mathbb{Z} [/mm] ) = x+n [mm] \mathbb{Z}$ [/mm] ein Ringhomomorphismus ist. Außerdem gilt es $Ker( [mm] \alpha [/mm] )$ zu bestimmen.
Anmerkung: [mm] $\mathbb{Z}_{m}$ [/mm] meint die Menge aller ganzen Zahlen bis $m$. |
Guten Abend!
Ich habe Schwierigkeiten bei der obigen Aufgabenstellung. Da $m$ ein Teiler von $n$ ist, weiß ich bereits $n = z*m$ wobei $z [mm] \in \mathbb{N}$.
[/mm]
Nun muss ich doch, um zu zeigen, dass es sich bei [mm] $\alpha$ [/mm] um einen Ringhomomorphismus handelt, folgende zwei Aussagen nachweisen:
(1) [mm] $\alpha [/mm] (x+y)= [mm] \alpha [/mm] (x) [mm] \oplus \alpha [/mm] (y)$
(2) [mm] $\alpha [/mm] (x*y) = [mm] \alpha [/mm] (x) [mm] \otimes \alpha [/mm] (y)$,
wobei $+,*$ die Verknüpfungen aus [mm] $\mathbb{Z}_{m}$ [/mm] und [mm] $\oplus [/mm] , [mm] \otimes$ [/mm] die Verknüpfungen aus [mm] $\mathbb{Z}_{n}$ [/mm] sind.
Jetzt starte ich wie folgt:
(1) Seien [mm] $x+m\mathbb{Z}$ [/mm] und [mm] $y+m\mathbb{Z}$ [/mm] aus [mm] $\mathbb{Z}_{m}$. [/mm] Dann gilt: [mm] $\alpha ((x+m\mathbb{Z})+(y+m\mathbb{Z}))= \alpha ((x+y)+m\mathbb{Z})=(x+y)\oplus n\mathbb{Z}=(x+n\mathbb{Z})\oplus(y+n\mathbb{Z})=\alpha (x+m\mathbb{Z})\oplus \alpha (y+n\mathbb{Z}).
[/mm]
Analog würde ich für (2) die Multiplikation vorgehen. Ist das korrekt oder mache ich hier einen Denkfehler?
Zur Angabe des Kerns $Ker( [mm] \alpha [/mm] )$ habe ich bisher leider noch keinen Ansatz gefunden. Kann mir hier jemand helfen?
Beste Grüße und einen angenehmen Abend!
mathe_thommy
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:02 Di 29.11.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Seien [mm]m, n \in \mathbb{N}[/mm], sodass [mm]m[/mm] ein Teiler von [mm]n[/mm]. Zu
> zeigen ist nun, dass [mm]\alpha : \mathbb{Z}_{m} \to \mathbb{Z}_{n}[/mm]
> definiert durch [mm]\alpha ( x+m \mathbb{Z} ) = x+n \mathbb{Z}[/mm]
> ein Ringhomomorphismus ist. Außerdem gilt es [mm]Ker( \alpha )[/mm]
> zu bestimmen.
> Anmerkung: [mm]\mathbb{Z}_{m}[/mm] meint die Menge aller ganzen
> Zahlen bis [mm]m[/mm].
komische Anmerkung. Ich denke vielmehr, dass [mm] $\IZ_m=\IZ/m\IZ$ [/mm] ist und daher
[mm] $\{0,...,m-1\}$ [/mm] ein Repräsentantensystem (manche sagen auch "volles
Repräsentantensystem" oder "vollständiges Repräsentantensystem") von
[mm] $\IZ_m$ [/mm] ist - natürlich ist auch [mm] $\{1,\ldots,m\}$ [/mm] ein solches.
> Guten Abend!
>
> Ich habe Schwierigkeiten bei der obigen Aufgabenstellung.
> Da [mm]m[/mm] ein Teiler von [mm]n[/mm] ist, weiß ich bereits [mm]n = z*m[/mm] wobei
> [mm]z \in \mathbb{N}[/mm].
Ich würde jetzt erstmal behaupten, dass gar nicht so klar ist, dass [mm] $\alpha$
[/mm]
wohldefiniert ist. Testen wir das mal:
Seien $x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $x+m\IZ=y+m\IZ$, [/mm] d.h. $y [mm] \in (x+m\IZ)$. [/mm] Dann gilt [mm] $y=x+m\ell$, [/mm] mit einem [mm] $\ell \in \IZ$ [/mm]
[mm] $\alpha(x+m\IZ)=x+n\IZ$
[/mm]
und
[mm] $\alpha(y+m\IZ)=y+n\IZ=x+m\ell+n\IZ$.
[/mm]
Da sehe ich nun nicht, dass das funktioniert. (Damit es funktioniert, müßte
nämlich [mm] $x+m\ell-x=m\ell \in n\IZ$ [/mm] sein, was i.a. nicht sein wird!)
Machen wir ein konkreteres Beispiel zum Testen:
Es sei [mm] $m=4\,$ [/mm] und [mm] $n=12\,$ [/mm] und damit $4=m [mm] \mid [/mm] n=12$. Offenbar gilt dann
[mm] $\alpha(1+m*\IZ)=\alpha(1+4*\IZ)=1+12*\IZ=1+n*\IZ$.
[/mm]
Weiter ist aber auch [mm] $1+m*\IZ=(1+m)+m*\IZ=5+m*\IZ$ [/mm] und damit wäre
[mm] $\alpha(1+m*\IZ)=\alpha(5+m*\IZ)=5+12*\IZ=5+n*\IZ.$
[/mm]
Aber [mm] $1+n*\IZ=5+n*\IZ$ [/mm] kann nicht gelten, weil doch $5-1=4 [mm] \notin 12\IZ=n*\IZ$ [/mm] gilt.
Frage: Steht in der Aufgabe vielleicht, dass [mm] $\alpha: \IZ_n \to \IZ_m$ [/mm] mit
[mm] $\alpha(x+n*\IZ):=x+m*\IZ$ [/mm] ist?
[Beachte: Definitions- und Zielbereich sind vertauscht im Vergleich zu Deiner
Formulierung der Aufgabe und entsprechend haben sich auch das Argument
und der Funktionswert (das Funktionsargument) der Abbildung geändert.]
Wenn man diese Frage mit "Ja!" beantworten kann (ansonsten gehe man
sich beim Aufgabensteller beschweren!!), dann ist die Aufgabe auch sinnvoll;
ansonsten wäre sie auch sinnvoll, wenn da $n [mm] \mid [/mm] m$ (anstatt $m [mm] \mid [/mm] n$) stünde, also wenn
[mm] $n\,$ [/mm] ein Teiler von [mm] $m\,$ [/mm] wäre!
> Nun muss ich doch, um zu zeigen, dass es sich bei [mm]\alpha[/mm] um
> einen Ringhomomorphismus handelt, folgende zwei Aussagen
> nachweisen:
> (1) [mm]\alpha (x+y)= \alpha (x) \oplus \alpha (y)[/mm]
> (2) [mm]\alpha (x*y) = \alpha (x) \otimes \alpha (y)[/mm],
>
> wobei [mm]+,*[/mm] die Verknüpfungen aus [mm]\mathbb{Z}_{m}[/mm] und [mm]\oplus , \otimes[/mm]
> die Verknüpfungen aus [mm]\mathbb{Z}_{n}[/mm] sind.
>
> Jetzt starte ich wie folgt:
> (1) Seien [mm]$x+m\mathbb{Z}$[/mm] und [mm]$y+m\mathbb{Z}$[/mm] aus
> [mm]$\mathbb{Z}_{m}$.[/mm] Dann gilt: [mm]$\alpha ((x+m\mathbb{Z})+(y+m\mathbb{Z}))= \alpha ((x+y)+m\mathbb{Z})=(x+y)\oplus n\mathbb{Z}=(x+n\mathbb{Z})\oplus(y+n\mathbb{Z})=\alpha (x+m\mathbb{Z})\oplus \alpha (y+n\mathbb{Z}).$[/mm]
>
> Analog würde ich für (2) die Multiplikation vorgehen. Ist
> das korrekt oder mache ich hier einen Denkfehler?
Wenn ich mich hieran orientiere:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.tu-dortmund.de/~swagner/az12/algzth14.pdf
musst Du auch noch zeigen, dass das neutrale Element der Multiplikation
des Definitionsbereichs auf das neutrale Element der Multiplikation des
Zielbereichs abgebildet wird. Aber schau' doch einfach, was in Deinen
Unterlagen steht, welche Eigenschaften einen Ringhomomorphismus
charakterisieren (und mache Dir klar, dass [mm] $\IZ_n$ [/mm] bzw. [mm] $\IZ_m$ [/mm] mit
geeigneter Addition und Multiplikation auch Ringe sind).
Das wäre dann korrekt, allerdings für die Abbildung [mm] $\alpha$, [/mm] wie ich sie
angegeben habe - den das andere ist keine Abbildung. Vielleicht habt ihr
Sätze, aus denen das direkt folgt, schon bewiesen:
1. Satz: Aus $a [mm] \equiv [/mm] b [mm] \text{ mod } [/mm] r$ und $c [mm] \equiv [/mm] d [mm] \text{ mod }r$ [/mm] folgt
$a+c [mm] \equiv [/mm] b+d [mm] \text{ mod }r$.
[/mm]
2. Satz: Ist $x [mm] \equiv [/mm] a [mm] \mod [/mm] n$ und $t [mm] \mid [/mm] n$, so ist auch $x [mm] \equiv [/mm] a$ mod [mm] $t\,.$
[/mm]
Wie hilft das? Naja, wegen des 2. Satzes ist [mm] $\alpha$ [/mm] nun eine wohldefinierte
Abbildung - ist Dir das klar?
Und wegen des 1. Satzes hat man bei $x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] eine Wohldefiniertheit in der
Addition [mm] $\red{+}$ [/mm] auf [mm] $\IZ_n=\IZ/n\IZ$, [/mm] wenn man
[mm] $(x+n\IZ)\red{ + }(y+n\IZ):=(x+y)+n\IZ$
[/mm]
setzt, denn:
Seien $a,b,x,y [mm] \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $a+n\IZ=x+n\IZ$ [/mm] und [mm] $b+n\IZ=y+n\IZ$. [/mm] Dann gilt $a [mm] \equiv [/mm] x$ mod [mm] $n\,$ [/mm] und
$b [mm] \equiv [/mm] y$ mod [mm] $n\,$ [/mm] und damit auch $a+b [mm] \equiv [/mm] x+y$ mod [mm] $n\,.$ [/mm] Also gibt es
ein [mm] $\ell \in \IZ$ [/mm] mit [mm] $a+b=(x+y)+\ell*n$ [/mm] und daher gilt sowohl
[mm] $(x+n\IZ)\red{+}(y+n\IZ)=(x+y)+n\IZ$
[/mm]
als auch
[mm] $(a+n\IZ)\red{+}(b+n\IZ)=(a+b)+n\IZ=((x+y)+\ell*n)+n\IZ=(x+y)+n\IZ$.
[/mm]
Nun verwenden wir einfach, dass [mm] $\alpha$ [/mm] wohldefiniert ist und auch [mm] $\red{+}$ [/mm] wie
oben wohldefiniert ist, und damit gilt
[mm] $\alpha(x+y)=(x+y)+n\IZ=(x+n\IZ)\red{+}(y+n\IZ)=\alpha(x)\red{+}\alpha(y)$.
[/mm]
Analoges für die Multiplikation!
> Zur Angabe des Kerns [mm]Ker( \alpha )[/mm] habe ich bisher leider
> noch keinen Ansatz gefunden. Kann mir hier jemand helfen?
Wie gesagt gelte $m [mm] \mid [/mm] n$ und [mm] $\alpha(x+n*\IZ)=x+m*\IZ$. [/mm] Der Kern meines [mm] $\alpha \colon \IZ_n \to \IZ_m$ [/mm] ist
[mm] $\text{Ker}(\alpha):=\{x+n\IZ:\;\; \alpha(x+n\IZ)=0+m\IZ\}$.
[/mm]
Tipps:
1. Zeige, dass [mm] $(0+n\IZ) \in \text{Ker}(\alpha)$ [/mm] gilt.
(Eigentlich braucht man da nicht viel zeigen - es gibt einen Satz, der besagt,
dass ein Homomorphismus ein neutrales Element worauf abbildet?)
2. Überlege Dir, dass aus [mm] $x+n\IZ \in \text{Ker}(\alpha)$ [/mm] folgt, dass [mm] $\{y+n\IZ:\;\;y \in x+m\IZ\} \subseteq \text{Ker}(\alpha)$ [/mm] gilt.
3. Mache Dir klar, dass Du bei 2. auch [mm] $\supseteq$ [/mm] schreiben darfst: Ist
nämlich $x [mm] \in \text{Ker}(\alpha)$, [/mm] so gilt ja [mm] $\alpha(x+n\IZ)=0+m\IZ$ [/mm] und damit
[mm] $x+m\IZ=0+m\IZ$, [/mm] d.h. $m [mm] \mid [/mm] x-0=x$ bzw. $x [mm] \equiv [/mm] 0$ mod m.
Übrigens noch ein Hinweis:
Du könntest bspw. [mm] $[x]_n:=x+n\IZ$ [/mm] definieren, analoges für [mm] $m\,$ [/mm] statt [mm] $n\,.$ [/mm] Dann ist
[mm] $\IZ_n=\{[0]_n, \ldots, [n-1]_n\}$.
[/mm]
Bei [mm] $\text{Ker}(\alpha)$ [/mm] sollte man dann beachten, dass die Elemente
[mm] $[0+0*m]_n=[0]_n$, [/mm]
[mm] $[0+1*m]_n=[/mm] [m]_n$,
[mm] $[0+2m]_n=[2m]_n$, [/mm]
.
.
.
[mm] $\left[0+\left(\frac{n}{m}-2\right)*m\right]_n=\left[\left(\frac{n}{m}-2\right)*m\right]_n$, [/mm]
[mm] $\left[0+\left(\frac{n}{m}-1\right)*m\right]_n=\left[\left(\frac{n}{m}-1\right)*m\right]_n$
[/mm]
von [mm] $\IZ_n$ [/mm] alle paarweise verschieden sind (warum?) - der Kern ist also nicht trivial
und [mm] $\alpha$ [/mm] folglich auch nicht injektiv.
P.S. [mm] $|\text{Ker}(\alpha)|\,=\,n/m$ [/mm] (der Kern von [mm] $\alpha$ [/mm] hat also [mm] $\tfrac{n}{m}$ [/mm] Elemente) für $m [mm] \mid [/mm] n$ und "meinem" [mm] $\alpha$.
[/mm]
Gruß,
Marcel
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Guten Tag Marcel,
entschuldige bitte meine späte Rückmeldung. Es lag tatsächlich an der Aufgabenstellung, wie sich nach Rückfrage beim Aufgabensteller herausgestellt hat - Definitions- und Wartemenge gehören vertauscht, wie du bereits vorgeschlagen hast.
Ich habe mich mit deinem sehr ausführlichem Beitrag auseinandergesetzt und die Aufgabe so lösen können.
Besten Dank dafür!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:43 Mo 19.12.2016 | | Autor: | Marcel |
Hallo Thommy,
> Guten Tag Marcel,
>
> entschuldige bitte meine späte Rückmeldung. Es lag
> tatsächlich an der Aufgabenstellung, wie sich nach
> Rückfrage beim Aufgabensteller herausgestellt hat -
> Definitions- und Wartemenge gehören vertauscht, wie du
> bereits vorgeschlagen hast.
>
> Ich habe mich mit deinem sehr ausführlichem Beitrag
> auseinandergesetzt und die Aufgabe so lösen können.
>
> Besten Dank dafür!
das hört sich doch gut an. Sehr schön. Gern geschehen! :)
Gruß,
Marcel
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