Ringsysteme < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:53 Mo 14.10.2013 | | Autor: | D.Luigi |
Hallo allesamt,
Dies ist mein erstes Post, deshalb etwas ausschweifender:
Im meinem Studium (3.Semester Wirtschaftsmathematik und Aktuarwissenschaften [WMA]) wird man zum ersten mal mit Wahrscheinlichkeitstheorie [WkT] konfrontiert und wie das so ist kann man seine Denkweise nicht als richtig oder falsch einschätzen. Deshalb bin ich froh über die vielen Mathematik-Interessierten Köpfe in diesem Forum und freue mich über kommende Arbeiten die gemeinsam diskutiert werden können. :)
...soviel vorweg, jetzt zur Aufgabe:
| Aufgabe | Sei [mm] \mu:\mathcal{H} \to \overline{\IR} [/mm] ein Inhalt und
[mm] \rho (\mathcal{H}):=\begin{cases} \summe_{j=1}^{n} H_{j} : n \in \IN; H_{1},..., H_{n}\in \mathcal{H} \mbox{ paarweise disjunkt.} \end{cases} [/mm]
Zeigen Sie:
(a) [mm] \mathcal{H} \subseteq \rho(\mathcal{H}) [/mm]
(b) [mm] \rho(\mathcal{H}) [/mm] ist ein Ringsystem.
Zeigen Sie ferner, dass jedes Ringsystem ein Halbringsystem ist. |
Die mir zu Verfügung stehenden Mittel sind natürlich die Definitionen eines Halbringsystems [mm] \mathcal{H} \subseteq \mathcal{P}(\Omega) [/mm] falls:
(i) [mm] \emptyset \in \mathcal{H}
[/mm]
(ii) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathcal{H} [/mm] : [mm] \exists [/mm] n : [mm] \exists C_{1},...,C_{n} \in \mathcal{H} [/mm] paarweise disj. [mm] \wedge [/mm] A \ B = [mm] \summe_{j=1}^{n}C_{j} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{*}C_{j }
[/mm]
(iii) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathcal{H} [/mm] : A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in \mathcal{H}
[/mm]
und
die Vorraussetzungen für einen Inhalt:
beliebiges [mm] \Omega [/mm] , nicht-negativität, null-treue ( [mm] \mu(\emptyset) [/mm] = 0 ), Additivität auf [mm] \mathcal{H}: \summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H} \Rightarrow \mu(\summe_{j=1}^{n}H_{j}) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n}\mu (H_{j})
[/mm]
ABER ich habe irrsinnige Schwierigkeiten das auf die Beweise anzuwenden...sowie die Definitionen für Ringsysteme mit [mm] \rho [/mm] zu verwenden.
Könnte mir jemand der begnadet in WkT ist eine Starthilfe geben?
Gruß, LuD
.________________________________________
[mm] O_{ Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. }O
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:29 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo D.Luigi und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
> Dies ist mein erstes Post, deshalb etwas ausschweifender:
> Im meinem Studium (3.Semester Wirtschaftsmathematik und
> Aktuarwissenschaften [WMA]) wird man zum ersten mal mit
> Wahrscheinlichkeitstheorie [WkT] konfrontiert und wie das
> so ist kann man seine Denkweise nicht als richtig oder
> falsch einschätzen. Deshalb bin ich froh über die vielen
> Mathematik-Interessierten Köpfe in diesem Forum und freue
> mich über kommende Arbeiten die gemeinsam diskutiert
> werden können. :)
> ...soviel vorweg, jetzt zur Aufgabe:
Auch wenn die Aufgabe in einer Vorlesung über Wahrscheinlichkeitstheorie gestellt wurde, ist sie eigentlich eine Aufgabe aus der Maßtheorie, einer Theorie, die in der Wahrscheinlichkeitstheorie Anwendung findet.
> Sei [mm]\mu:\mathcal{H} \to \overline{\IR}[/mm] ein Inhalt und
[mm] $\mu$ [/mm] taucht in der Aufgabe gar nicht weiter auf. Vermutlich gibt es weitere Teilaufgaben, in denen dann [mm] $\mu$ [/mm] vorkommt?
[mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ist als Halbringsystem vorausgesetzt?
Poste am besten in Zukunft die gesamte Aufgabenstellung.
Die Aufgabe besteht ja offensichtlich aus zwei völlig unabhängigen Teilen.
Ich nummeriere die beiden Teile mal mit 1. und 2.
1.
> [mm]\rho (\mathcal{H}):=\begin{cases} \summe_{j=1}^{n} H_{j} : n \in \IN; H_{1},..., H_{2}\in \mathcal{H} \mbox{ paarweise disjunkt.} \end{cases}[/mm]
Vermutlich soll es
[mm] $\rho(\mathcal{H}):=\{\summe_{j=1}^nH_j\;:\;n\in\IN,\;H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}\mbox{ paarweise disjunkt}\}$
[/mm]
heißen.
>
> Zeigen Sie:
>
> (a) [mm]\mathcal{H} \subseteq \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> (b) [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] ist ein Ringsystem.
2.
> Zeigen Sie ferner, dass jedes Ringsystem ein Halbringsystem
> ist.
> Die mir zu Verfügung stehenden Mittel sind natürlich die
> Definitionen eines Halbringsystems [mm]\mathcal{H} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> falls:
> (i) [mm]\emptyset \in \mathcal{H}[/mm]
> (ii) [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in \mathcal{H}[/mm]
> : [mm]\exists[/mm] n : [mm]\exists C_{1},...,C_{n} \in \mathcal{H}[/mm]
> paarweise disj. [mm]\wedge[/mm] A \ B = [mm]\summe_{j=1}^{n}C_{j}[/mm] =
> [mm]\bigcup_{i=1}^{*}C_{j }[/mm]
> (iii) [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in \mathcal{H}[/mm]
> : A [mm]\cap[/mm] B [mm]\in \mathcal{H}[/mm]
Gut, dass du eure Definition angibst!
Gib bitte auch noch eure Definition eines Ringsystems an.
> und
> die Vorraussetzungen für einen Inhalt:
> beliebiges [mm]\Omega[/mm] , nicht-negativität, null-treue (
> [mm]\mu(\emptyset)[/mm] = 0 ), Additivität auf [mm]\mathcal{H}: \summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H} [/mm]
und [mm] $H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}$
[/mm]
> [mm]\Rightarrow \mu(\summe_{j=1}^{n}H_{j})[/mm]
> = [mm]\summe_{j=1}^{n}\mu (H_{j})[/mm]
> ABER ich habe irrsinnige Schwierigkeiten das auf die
> Beweise anzuwenden...sowie die Definitionen für
> Ringsysteme mit [mm]\rho[/mm] zu verwenden.
Zumindest bei 1. a) benötigst du ja noch gar nicht die Definition eines Ringsystems.
Auch die Tatsache, dass es sich bei dem Mengensystem [mm] $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] um ein Halbringsystem handelt, kannst du für die Aufgabe 1. a) noch ignorieren.
> Könnte mir jemand der begnadet in WkT ist eine Starthilfe
> geben?
Ich würde zwar nicht sagen, dass ich begnadet in WkT bin, aber ich versuche trotzdem gerne weiterzuhelfen.
Starten wir also mit Aufgabenteil 1.
Ist dir die Definition von [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] soweit klar?
Weißt du insbesondere, was mit dem Summenzeichen innerhalb der Definition gemeint ist?
Weißt du, was [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] paarweise disjunkt bedeutet?
Zu zeigen ist bei a) dann (also wenn dir die Definition von [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] klar ist), dass für alle [mm] $H\in\mathcal{H}$ [/mm] auch [mm] $H\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] gilt.
Betrachte also ein beliebig vorgegebenes Element [mm] $H\in\mathcal{H}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $H\in\rho(\mathcal{H})$, [/mm] d.h. es gibt ein [mm] $n\in\IN$ [/mm] und paarweise disjunkte [mm] $H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}$ [/mm] mit [mm] $H=\summe_{j=1}^nH_j$.
[/mm]
Nun musst du also so ein $n$ und solche [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] finden.
Tipp dazu: Denke mal an $n=1$.
Was bei 1. b) und bei 2. zu tun ist, hängt davon ab, wie ihr ein Ringsystem genau definiert habt.
Viele Grüße
Tobias
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:36 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hallo Tobit09,
könntest du vllt evtl angeben wo im Internet bzw. in welchem Buch Ringsysteme erstmal erklärt werden? Ich finde im Internet leider nichts.
Evtl. so eine art Einführung für Anfänger? 
Wenn ich nach Ringsysteme suche kommen immer nur Planeten und Universen usw.
Danke.
Grüße
Ali
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:04 Di 15.10.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hallo tobi,
ich hätte ja erstmal bemängelt, dass Ausdrücke der Form [mm] $\summe_{k=1}^n H_k$ [/mm] mit [mm] $H_k \in \mathcal{H}$ [/mm] eigentlich gar keinen Sinn machen.
Dich allerdings scheint das nicht zu stören.
Gibts dafür nen Grund?
Gruß,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:20 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo tobi,
>
> ich hätte ja erstmal bemängelt, dass Ausdrücke der Form
> [mm]\summe_{k=1}^n H_k[/mm] mit [mm]H_k \in \mathcal{H}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
eigentlich gar
> keinen Sinn machen.
Sind C_1,...,C_n paarweise disjunkte Mengen, so schreibt man statt
$ \bigcup_{i=1}^{n}{C_{j } $
auch (oft)
$ \summe_{j=1}^{n}C_{j} $
FRED
> Dich allerdings scheint das nicht zu stören.
> Gibts dafür nen Grund?
>
> Gruß,
> Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:49 Di 15.10.2013 | | Autor: | Gonozal_IX |
Hiho,
danke fred, kannte ich bisher nicht.
Gruß,
Gono.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:09 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Hallo tobi,
> >
> > ich hätte ja erstmal bemängelt, dass Ausdrücke der Form
> > [mm]\summe_{k=1}^n H_k[/mm] mit [mm]H_k \in \mathcal{H}[/mm] eigentlich gar
> > keinen Sinn machen.
>
> Sind [mm]C_1,...,C_n[/mm] paarweise disjunkte Mengen, so schreibt
> man statt
>
> [mm]\bigcup_{i=1}^{n}{C_{j }[/mm]
>
> auch (oft)
>
> [mm]\summe_{j=1}^{n}C_{j}[/mm]
>
> FRED
So habe ich es mir zuerst auch gedacht. Aber darf man das wirklich einfach so machen??? geht das nur bei paarweise disjunkten mengen???
> > Dich allerdings scheint das nicht zu stören.
> > Gibts dafür nen Grund?
> >
> > Gruß,
> > Gono.
>
Danke
Grüße
Ali
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:29 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Hallo tobi,
> > >
> > > ich hätte ja erstmal bemängelt, dass Ausdrücke der Form
> > > [mm]\summe_{k=1}^n H_k[/mm] mit [mm]H_k \in \mathcal{H}[/mm] eigentlich gar
> > > keinen Sinn machen.
> >
> > Sind [mm]C_1,...,C_n[/mm] paarweise disjunkte Mengen, so schreibt
> > man statt
> >
> > [mm]\bigcup_{i=1}^{n}{C_{j }[/mm]
> >
> > auch (oft)
> >
> > [mm]\summe_{j=1}^{n}C_{j}[/mm]
> >
> > FRED
>
> So habe ich es mir zuerst auch gedacht. Aber darf man das
> wirklich einfach so machen???
Das ist nur eine Schreibweise !!!
> geht das nur bei paarweise
> disjunkten mengen???
Ja, diese Schreibweise hat man nur in diesem Fall (um eben gerade auszudrücken, dass die Mengen paarweise disjunkt sind)
FRED
>
> > > Dich allerdings scheint das nicht zu stören.
> > > Gibts dafür nen Grund?
> > >
> > > Gruß,
> > > Gono.
> >
> Danke
>
> Grüße
> Ali
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:07 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hallo tobi,
>
> ich hätte ja erstmal bemängelt, dass Ausdrücke der Form
> [mm]\summe_{k=1}^n H_k[/mm] mit [mm]H_k \in \mathcal{H}[/mm] eigentlich gar
> keinen Sinn machen.
> Dich allerdings scheint das nicht zu stören.
Warum macht das keinen Sinn???
> Gibts dafür nen Grund?
>
> Gruß,
> Gono.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:31 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > Hallo tobi,
> >
> > ich hätte ja erstmal bemängelt, dass Ausdrücke der Form
> > [mm]\summe_{k=1}^n H_k[/mm] mit [mm]H_k \in \mathcal{H}[/mm] eigentlich gar
> > keinen Sinn machen.
> > Dich allerdings scheint das nicht zu stören.
> Warum macht das keinen Sinn???
Gono kannte die Schreibweise nicht !
FRED
>
> > Gibts dafür nen Grund?
> >
> > Gruß,
> > Gono.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> Hallo D.Luigi und herzlich !
>
>
> > Dies ist mein erstes Post, deshalb etwas ausschweifender:
> > Im meinem Studium (3.Semester Wirtschaftsmathematik und
> > Aktuarwissenschaften [WMA]) wird man zum ersten mal mit
> > Wahrscheinlichkeitstheorie [WkT] konfrontiert und wie das
> > so ist kann man seine Denkweise nicht als richtig oder
> > falsch einschätzen. Deshalb bin ich froh über die vielen
> > Mathematik-Interessierten Köpfe in diesem Forum und freue
> > mich über kommende Arbeiten die gemeinsam diskutiert
> > werden können. :)
> > ...soviel vorweg, jetzt zur Aufgabe:
> Auch wenn die Aufgabe in einer Vorlesung über
> Wahrscheinlichkeitstheorie gestellt wurde, ist sie
> eigentlich eine Aufgabe aus der Maßtheorie, einer Theorie,
> die in der Wahrscheinlichkeitstheorie Anwendung findet.
>
>
> > Sei [mm]\mu:\mathcal{H} \to \overline{\IR}[/mm] ein Inhalt und
> [mm]\mu[/mm] taucht in der Aufgabe gar nicht weiter auf. Vermutlich
> gibt es weitere Teilaufgaben, in denen dann [mm]\mu[/mm] vorkommt?
Es ist lediglich so, dass dieses [mm] \mu [/mm] eine Abbildung definiert. Und zwar die Abbildung [mm] \mathcal{H} \rightarrow \overline{\IR}. [/mm] Ansonsten kommt dieses [mm] \mu [/mm] nicht mehr in der Aufgabe vor.
> [mm]\mathcal{H}[/mm] ist als Halbringsystem vorausgesetzt?
Ich gehe davon aus, dass hier [mm] \mathcal{H} [/mm] als Halbringsystem vorausgesetzt ist.
1. Wegen der Benennung [mm] \mathcal{H}
[/mm]
und 2. Weil [mm] H_{1}, [/mm] ..., [mm] H_{n} \in \mathcal{H} [/mm] paarweise disjunkt sind und dies ja der Definition eines Halbringes entspricht. Also wird es A, B [mm] \in \mathcal{H} [/mm] geben und darauß wäre ja laut Definition zu folgern, dass es paarweise disjunkte [mm] H_{1}, [/mm] ..., [mm] H_{n} \in \mathcal{H} [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] mit A \ B = [mm] H_{1} \cup [/mm] ... [mm] \cup H_{n}.
[/mm]
> Poste am besten in Zukunft die gesamte Aufgabenstellung.
D.Luigi hat die gesamte Aufgabenstellung gepostet. Mehr steht nicht da.
>
> Die Aufgabe besteht ja offensichtlich aus zwei völlig
> unabhängigen Teilen.
> Ich nummeriere die beiden Teile mal mit 1. und 2.
>
> 1.
> > [mm]\rho (\mathcal{H}):=\begin{cases} \summe_{j=1}^{n} H_{j} : n \in \IN; H_{1},..., H_{2}\in \mathcal{H} \mbox{ paarweise disjunkt.} \end{cases}[/mm]
> Vermutlich soll es
>
> [mm]\rho(\mathcal{H}):=\{\summe_{j=1}^nH_j\;:\;n\in\IN,\;H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}\mbox{ paarweise disjunkt}\}[/mm]
>
> heißen.
Ja, genau.
> >
> > Zeigen Sie:
> >
> > (a) [mm]\mathcal{H} \subseteq \rho(\mathcal{H})[/mm]
> >
> > (b) [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] ist ein Ringsystem.
>
> 2.
> > Zeigen Sie ferner, dass jedes Ringsystem ein Halbringsystem
> > ist.
>
>
> > Die mir zu Verfügung stehenden Mittel sind natürlich die
> > Definitionen eines Halbringsystems [mm]\mathcal{H} \subseteq \mathcal{P}(\Omega)[/mm]
> > falls:
> > (i) [mm]\emptyset \in \mathcal{H}[/mm]
> > (ii) [mm]\forall[/mm] A,B
> [mm]\in \mathcal{H}[/mm]
> > : [mm]\exists[/mm] n : [mm]\exists C_{1},...,C_{n} \in \mathcal{H}[/mm]
> > paarweise disj. [mm]\wedge[/mm] A \ B = [mm]\summe_{j=1}^{n}C_{j}[/mm] =
> > [mm]\bigcup_{i=1}^{*}C_{j }[/mm]
> > (iii) [mm]\forall[/mm] A,B [mm]\in \mathcal{H}[/mm]
> > : A [mm]\cap[/mm] B [mm]\in \mathcal{H}[/mm]
> Gut, dass du eure Definition
> angibst!
> Gib bitte auch noch eure Definition eines Ringsystems an.
Sei [mm] \Omega [/mm] eine beliebe Menge. Ein System [mm] \mathcal{R} [/mm] von Teilmengen [mm] \Omega [/mm] heißt ein Mengenring oder Ring über [mm] \Omega, [/mm] wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
1. [mm] \mathcal{R} \not= \emptyset
[/mm]
2. A, B [mm] \in \mathcal{R} \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{R}
[/mm]
3. A, B [mm] \in \mathcal{R} \Rightarrow [/mm] A \ B [mm] \in \mathcal{R}
[/mm]
>
> > und
> > die Vorraussetzungen für einen Inhalt:
> > beliebiges [mm]\Omega[/mm] , nicht-negativität, null-treue (
> > [mm]\mu(\emptyset)[/mm] = 0 ), Additivität auf [mm]\mathcal{H}: \summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}[/mm]
>
> und [mm]H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}[/mm]
> > [mm]\Rightarrow \mu(\summe_{j=1}^{n}H_{j})[/mm]
> > = [mm]\summe_{j=1}^{n}\mu (H_{j})[/mm]
>
>
> > ABER ich habe irrsinnige Schwierigkeiten das auf die
> > Beweise anzuwenden...sowie die Definitionen für
> > Ringsysteme mit [mm]\rho[/mm] zu verwenden.
> Zumindest bei 1. a) benötigst du ja noch gar nicht die
> Definition eines Ringsystems.
> Auch die Tatsache, dass es sich bei dem Mengensystem
> [mm]\mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)[/mm] um ein
> Halbringsystem handelt, kannst du für die Aufgabe 1. a)
> noch ignorieren.
>
> > Könnte mir jemand der begnadet in WkT ist eine Starthilfe
> > geben?
> Ich würde zwar nicht sagen, dass ich begnadet in WkT bin,
> aber ich versuche trotzdem gerne weiterzuhelfen.
>
> Starten wir also mit Aufgabenteil 1.
>
> Ist dir die Definition von [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] soweit klar?
Also diese [mm] \summe_{j=1}^{n} [/mm] soll doch nur heißen, dass ich diese paarweise disjunkten [mm] H_{j} [/mm] alle summieren kann. Oder? Also vereinigen kann. Oder???
> Weißt du insbesondere, was mit dem Summenzeichen
> innerhalb der Definition gemeint ist?
> Weißt du, was [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] paarweise disjunkt
> bedeutet?
Also disjunkt bedeutet ja, dass zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben. Und paarweise disjunkt bedeutet ja, dass beliebige zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente haben. oder???
>
> Zu zeigen ist bei a) dann (also wenn dir die Definition von
> [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] klar ist), dass für alle [mm]H\in\mathcal{H}[/mm]
> auch [mm]H\in\rho(\mathcal{H})[/mm] gilt.
Also wenn ich jetzt davon ausgehe, dass irgendein [mm] H_{j} \in \mathcal{H} [/mm] ist, dann ist ja laut Definition [mm] H=\summe_{j=1}^{n} H_{j}. [/mm] Und dies ist ja die Vereinigung und dies ist ja [mm] \in \mathcal{H}.
[/mm]
Nur wie schreibe ich das richtig hin??
Stimmt das was ich sage überhaupt?
> Betrachte also ein beliebig vorgegebenes Element
> [mm]H\in\mathcal{H}[/mm]. Zu zeigen ist [mm]H\in\rho(\mathcal{H})[/mm], d.h.
> es gibt ein [mm]n\in\IN[/mm] und paarweise disjunkte
> [mm]H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}[/mm] mit [mm]H=\summe_{j=1}^nH_j[/mm].
>
> Nun musst du also so ein [mm]n[/mm] und solche [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm]
> finden.
> Tipp dazu: Denke mal an [mm]n=1[/mm].
Also sei n=1. Dann ist ja [mm] H=\summe_{j=1}^{1} H_{j} [/mm] = [mm] H_{1} [/mm] und [mm] H_{1} [/mm] ist ja [mm] \in \mathcal{H}.
[/mm]
Oder verstehe ich das ganze jetzt falsch?
>
> Was bei 1. b) und bei 2. zu tun ist, hängt davon ab, wie
> ihr ein Ringsystem genau definiert habt.
steht ja jetzt oben.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Danke Danke.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:07 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > > Sei [mm]\mu:\mathcal{H} \to \overline{\IR}[/mm] ein Inhalt und
> > [mm]\mu[/mm] taucht in der Aufgabe gar nicht weiter auf.
> Vermutlich
> > gibt es weitere Teilaufgaben, in denen dann [mm]\mu[/mm] vorkommt?
>
> Es ist lediglich so, dass dieses [mm]\mu[/mm] eine Abbildung
> definiert. Und zwar die Abbildung [mm]\mathcal{H} \rightarrow \overline{\IR}.[/mm]
> Ansonsten kommt dieses [mm]\mu[/mm] nicht mehr in der Aufgabe vor.
Kennst du den Originalübungszettel?
> > [mm]\mathcal{H}[/mm] ist als Halbringsystem vorausgesetzt?
>
> Ich gehe davon aus, dass hier [mm]\mathcal{H}[/mm] als
> Halbringsystem vorausgesetzt ist.
>
> 1. Wegen der Benennung [mm]\mathcal{H}[/mm]
> und 2. Weil [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n} \in \mathcal{H}[/mm] paarweise
> disjunkt sind und dies ja der Definition eines Halbringes
> entspricht. Also wird es A, B [mm]\in \mathcal{H}[/mm] geben und
> darauß wäre ja laut Definition zu folgern, dass es
> paarweise disjunkte [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n} \in \mathcal{H}[/mm] n [mm]\in \IN,[/mm]
> mit A \ B = [mm]H_{1} \cup[/mm] ... [mm]\cup H_{n}.[/mm]
1. sehe genauso.
2. kann ich nicht folgen. Man könnte ja [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] genauso gut auch für beliebige Mengensysteme [mm] $\mathcal{H}\subseteq\mathcal{P}(\Omega)$ [/mm] definieren.
Aber dann könnte man nicht zeigen, dass es sich bei [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] um einen Ring handelt.
Daher gehe ich auch davon aus, dass [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ein Halbring sein soll.
> > Poste am besten in Zukunft die gesamte Aufgabenstellung.
>
> D.Luigi hat die gesamte Aufgabenstellung gepostet. Mehr
> steht nicht da.
Dann hätte der Aufgabensteller die Annahme, dass [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ein Halbringsystem sein soll, vergessen zu erwähnen.
> > Die Aufgabe besteht ja offensichtlich aus zwei völlig
> > unabhängigen Teilen.
> > Ich nummeriere die beiden Teile mal mit 1. und 2.
> >
> > 1.
> > > [mm]\rho (\mathcal{H}):=\begin{cases} \summe_{j=1}^{n} H_{j} : n \in \IN; H_{1},..., H_{2}\in \mathcal{H} \mbox{ paarweise disjunkt.} \end{cases}[/mm]
> > Vermutlich soll es
> >
> >
> [mm]\rho(\mathcal{H}):=\{\summe_{j=1}^nH_j\;:\;n\in\IN,\;H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}\mbox{ paarweise disjunkt}\}[/mm]
>
> >
> > heißen.
>
> Ja, genau.
>
> > >
> > > Zeigen Sie:
> > >
> > > (a) [mm]\mathcal{H} \subseteq \rho(\mathcal{H})[/mm]
> > >
> > > (b) [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] ist ein Ringsystem.
> >
> > 2.
> > > Zeigen Sie ferner, dass jedes Ringsystem ein Halbringsystem
> > > ist.
> > Gib bitte auch noch eure Definition eines Ringsystems
> an.
>
> Sei [mm]\Omega[/mm] eine beliebe Menge. Ein System [mm]\mathcal{R}[/mm] von
> Teilmengen [mm]\Omega[/mm] heißt ein Mengenring oder Ring über
> [mm]\Omega,[/mm] wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
>
> 1. [mm]\mathcal{R} \not= \emptyset[/mm]
> 2. A, B [mm]\in \mathcal{R} \Rightarrow[/mm]
> A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \mathcal{R}[/mm]
> 3. A, B [mm]\in \mathcal{R} \Rightarrow[/mm]
> A \ B [mm]\in \mathcal{R}[/mm]
Dabei handelt es sich offenbar um die Wikipedia-Version.
@D.Luigi: Gib zum Vergleich bitte auch deine Version der Definition eines Ringsystems aus der Vorlesung an.
> > Starten wir also mit Aufgabenteil 1.
> >
> > Ist dir die Definition von [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] soweit klar?
>
> Also diese [mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] soll doch nur heißen, dass ich
> diese paarweise disjunkten [mm]H_{j}[/mm] alle summieren kann. Oder?
> Also vereinigen kann. Oder???
Mit [mm] $\summe_{j=1}^nH_j$ [/mm] ist (da [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] paarweise disjunkt sein sollen) die Vereinigung [mm] $\bigcup_{j=1}^nH_j$ [/mm] der [mm] $H_j$ [/mm] gemeint.
> > Weißt du, was [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] paarweise disjunkt
> > bedeutet?
>
> Also disjunkt bedeutet ja, dass zwei Mengen keine
> gemeinsamen Elemente haben.
Ja.
> Und paarweise disjunkt bedeutet
> ja, dass beliebige zwei Mengen keine gemeinsamen Elemente
> haben. oder???
Ja. Genauer: Wir sagen [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] seien paarweise disjunkt, falls [mm] $H_i$ [/mm] und [mm] $H_j$ [/mm] disjunkt sind für alle [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$.
[/mm]
> > Zu zeigen ist bei a) dann (also wenn dir die Definition von
> > [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] klar ist), dass für alle [mm]H\in\mathcal{H}[/mm]
> > auch [mm]H\in\rho(\mathcal{H})[/mm] gilt.
> Also wenn ich jetzt davon ausgehe, dass irgendein [mm]H_{j} \in \mathcal{H}[/mm]
> ist, dann ist ja laut Definition [mm]H=\summe_{j=1}^{n} H_{j}.[/mm]
![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") Was hat irgendein beliebiges [mm] $H_j\in\mathcal{H}$ [/mm] mit irgendeinem beliebigen [mm] $H\in\mathcal{H}$ [/mm] "laut Definition" zu tun?
> Und dies ist ja die Vereinigung und dies ist ja [mm]\in \mathcal{H}.[/mm]
>
> Nur wie schreibe ich das richtig hin??
> Stimmt das was ich sage überhaupt?
Wenn du zu einem beliebig vorgegebenen [mm] $H\in\mathcal{H}$ [/mm] gezeigt hättest, dass [mm] $H=\summe_{j=1}^nH_j$ [/mm] für gewisse paarweise disjunkte [mm] $H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}$ [/mm] gilt, wäre [mm] $H\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] nach Definition von [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] erfüllt und du wärst fertig.
Dies hast du aber noch nicht getan.
> > Betrachte also ein beliebig vorgegebenes Element
> > [mm]H\in\mathcal{H}[/mm]. Zu zeigen ist [mm]H\in\rho(\mathcal{H})[/mm], d.h.
> > es gibt ein [mm]n\in\IN[/mm] und paarweise disjunkte
> > [mm]H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}[/mm] mit [mm]H=\summe_{j=1}^nH_j[/mm].
> >
> > Nun musst du also so ein [mm]n[/mm] und solche [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm]
> > finden.
> > Tipp dazu: Denke mal an [mm]n=1[/mm].
> Also sei n=1. Dann ist ja [mm]H=\summe_{j=1}^{1} H_{j}[/mm] = [mm]H_{1}[/mm]
> und [mm]H_{1}[/mm] ist ja [mm]\in \mathcal{H}.[/mm]
Für welches [mm] $H_1\in\mathcal{H}$ [/mm] gilt [mm] $H=\summe_{j=1}^1H_j$?
[/mm]
Ich verrate es dir: Wir wählen $n:=1$ und [mm] $H_1:=H$.
[/mm]
Da [mm] $H\in\mathcal{H}$ [/mm] war, gilt somit [mm] $H_1\in\mathcal{H}$.
[/mm]
Das System [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] (also das System nur aus [mm] $H_1$ [/mm] bestehend) ist paarweise disjunkt, da es gar kein [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}=\{1\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$ [/mm] gibt.
Es gilt somit [mm] $H=\summe_{j=1}^nH_j\in\mathcal{H}$.
[/mm]
> > Was bei 1. b) und bei 2. zu tun ist, hängt davon ab, wie
> > ihr ein Ringsystem genau definiert habt.
>
> steht ja jetzt oben.
Dafür beginne ich aus Gründen der Übersichtlichkeit gleich eine neue Antwort.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:33 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
D.Luigi ist ein Kommilitone von mir. [mm] \Rightarrow [/mm] Ich kenne das Blatt.
Die Definition von paarweise disjunkt hab ich jetzt verstanden.
Wie kann ich zu einem beliebig vorgegebenen H [mm] \in \mathcal{H} [/mm] zeigen, dass [mm] H=\summe_{j=1}^{n} H_{j} [/mm] für gewisse paarweise disjunkte [mm] H_{1}, [/mm] ..., [mm] H_{n} \in \mathcal{H} [/mm] gilt???
Danke schonmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:37 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> D.Luigi ist ein Kommilitone von mir. [mm]\Rightarrow[/mm] Ich kenne
> das Blatt.
>
> Die Definition von paarweise disjunkt hab ich jetzt
> verstanden.
>
> Wie kann ich zu einem beliebig vorgegebenen H [mm]\in \mathcal{H}[/mm]
> zeigen, dass [mm]H=\summe_{j=1}^{n} H_{j}[/mm] für gewisse
> paarweise disjunkte [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n} \in \mathcal{H}[/mm]
> gilt???
Das wurde Dir doch schon gesagt !
n=1 und [mm] H_1=H
[/mm]
Wenn Dir das nicht gefällt, nimm n=2, [mm] H_1=H [/mm] und [mm] H_2= \emptyset.
[/mm]
FRED
>
> Danke schonmal.
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:42 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ist der beweis zu (i) damit schon fertig oder wie????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:49 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ist der beweis zu (i) damit schon fertig oder wie????
Ja
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:07 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. danke.
Ich probiere es jetzt mal mit n=2:
Wir wählen n:=2 [mm] \wedge H_{1} [/mm] := H [mm] \wedge H_{2}:= \emptyset
[/mm]
Da H [mm] \in \mathcal{H} [/mm] war, gilt somit [mm] H_{1} \in \mathcal{H}.
[/mm]
Da H [mm] \in \mathcal{H} [/mm] war, gilt somit [mm] H_{2} \in \mathcal{H}.
[/mm]
Das System [mm] H_{1}, [/mm] ..., [mm] H_{n} [/mm] (also das System nur aus [mm] H_{1} \wedge H_{2} [/mm] bestehend) ist paarweise disjunkt. Da für i, j [mm] \in [/mm] { 1, ..., n } = { 1; 2 } gilt i [mm] \not= [/mm] j. Es gilt somit [mm] H=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}.
[/mm]
richtig???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:31 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich probiere es jetzt mal mit n=2:
>
> Wir wählen n:=2 [mm]\wedge H_{1}[/mm] := H [mm]\wedge H_{2}:= \emptyset[/mm]
>
> Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
Ja, wegen [mm] $H_1=H$.
[/mm]
> Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{2} \in \mathcal{H}.[/mm]
Das ist Quatsch. Was hat [mm] $H\in\mathcal{H}$ [/mm] mit [mm] $H_2=\emptyset\in\mathcal{H}$ [/mm] zu tun?
Vielmehr gilt [mm] $H_2=\emptyset\in\mathcal{H}$, [/mm] da [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] die Eigenschaft 1. aus der Definition eines Halbringes erfüllt.
> Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] also das System nur aus [mm]H_{1} \wedge H_{2}[/mm]
> bestehend) ist paarweise disjunkt.
Ja.
> Da für i, j [mm]\in[/mm] { 1,
> ..., n } = { 1; 2 } gilt i [mm]\not=[/mm] j.
Das ist Quatsch. Für [mm] $i,j\in\{1,2\}$ [/mm] könnte sehr wohl $i=j$ gelten.
Zu zeigen für die paarweise Disjunktheit von [mm] $H_1,H_2$ [/mm] ist aber, dass [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $H_2$ [/mm] disjunkt sind. (Denn die einzigen [mm] $i,j\in\{1,2\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$ [/mm] sind $i=1$ und $j=2$ sowie $i=2$ und $j=1$.)
Sind [mm] $H_1=H$ [/mm] und [mm] $H_2=\emptyset$ [/mm] tatsächlich disjunkt?
> Es gilt somit
> [mm]H=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}.[/mm]
Richtig.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Ich probiere es jetzt mal mit n=2:
> >
> > Wir wählen n:=2 [mm]\wedge H_{1}[/mm] := H [mm]\wedge H_{2}:= \emptyset[/mm]
>
> >
> > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> Ja, wegen [mm]H_1=H[/mm].
>
> > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{2} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> Das ist Quatsch. Was hat [mm]H\in\mathcal{H}[/mm] mit
> [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm] zu tun?
>
> Vielmehr gilt [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm]
> die Eigenschaft 1. aus der Definition eines Halbringes
> erfüllt.
>
> > Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] also das System nur aus [mm]H_{1} \wedge H_{2}[/mm]
> > bestehend) ist paarweise disjunkt.
> Ja.
>
> > Da für i, j [mm]\in[/mm] { 1,
> > ..., n } = { 1; 2 } gilt i [mm]\not=[/mm] j.
> Das ist Quatsch. Für [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] könnte sehr wohl [mm]i=j[/mm]
> gelten.
>
> Zu zeigen für die paarweise Disjunktheit von [mm]H_1,H_2[/mm] ist
> aber, dass [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt sind. (Denn die einzigen
> [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] mit [mm]i\not=j[/mm] sind [mm]i=1[/mm] und [mm]j=2[/mm] sowie [mm]i=2[/mm] und
> [mm]j=1[/mm].)
>
> Sind [mm]H_1=H[/mm] und [mm]H_2=\emptyset[/mm] tatsächlich disjunkt?
Nein, da [mm] H_{2} \subset H_{1}. [/mm] Richtig???
>
> > Es gilt somit
> > [mm]H=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}.[/mm]
> Richtig.
und jetzt???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:20 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Ich probiere es jetzt mal mit n=2:
> > >
> > > Wir wählen n:=2 [mm]\wedge H_{1}[/mm] := H [mm]\wedge H_{2}:= \emptyset[/mm]
>
> >
> > >
> > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > Ja, wegen [mm]H_1=H[/mm].
> >
> > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{2} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > Das ist Quatsch. Was hat [mm]H\in\mathcal{H}[/mm] mit
> > [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm] zu tun?
> >
> > Vielmehr gilt [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm]
> > die Eigenschaft 1. aus der Definition eines Halbringes
> > erfüllt.
> >
> > > Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] also das System nur aus [mm]H_{1} \wedge H_{2}[/mm]
> > > bestehend) ist paarweise disjunkt.
> > Ja.
> >
> > > Da für i, j [mm]\in[/mm] { 1,
> > > ..., n } = { 1; 2 } gilt i [mm]\not=[/mm] j.
> > Das ist Quatsch. Für [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] könnte sehr wohl
> [mm]i=j[/mm]
> > gelten.
> >
> > Zu zeigen für die paarweise Disjunktheit von [mm]H_1,H_2[/mm] ist
> > aber, dass [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt sind. (Denn die einzigen
> > [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] mit [mm]i\not=j[/mm] sind [mm]i=1[/mm] und [mm]j=2[/mm] sowie [mm]i=2[/mm] und
> > [mm]j=1[/mm].)
> >
> > Sind [mm]H_1=H[/mm] und [mm]H_2=\emptyset[/mm] tatsächlich disjunkt?
>
> Nein,
Ich bitte Dich !!!!
> da [mm]H_{2} \subset H_{1}.[/mm] Richtig???
Pass mal Obacht: es ist [mm] $H_1 \cap H_2 [/mm] = H [mm] \cap \emptyset=?$
[/mm]
Nun gehen wir zu Günther Jauch:
1 Cent-Frage: ? steht für
A: grün B: [mm] \{0\}
[/mm]
C: [mm] \emptyset [/mm] D: gestern.
2 Cent - Frage: sind [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] disjunkt ?
A: nur an Weihnachten B: ja
C: nein D manchmal ja, manchmal nein.
FRED
>
> >
> > > Es gilt somit
> > > [mm]H=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}.[/mm]
> > Richtig.
>
> und jetzt???
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:16 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
@ Ali:
Ausnahmsweise hast du noch einen Zusatzjoker, der dir ermöglicht, die 1-Cent-Frage wahlweise gegen folgende Frage auszutauschen:
Wie lauten die gemeinsamen Elemente von [mm] $H_1=H$ [/mm] und [mm] $H_2=\emptyset$?
[/mm]
a) 1 und 2 b) die User des Matheraumes
c) alle Halbringsysteme d) Es gibt keine gemeinsamen Elemente von $H$ und [mm] $\emptyset$.
[/mm]
Die 2-Cent-Frage bleibt auch bei Anwendung dieses Zusatzjokers unverändert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:27 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> @ Ali:
>
> Ausnahmsweise hast du noch einen Zusatzjoker, der dir
> ermöglicht, die 1-Cent-Frage wahlweise gegen folgende
> Frage auszutauschen:
>
> Wie lauten die gemeinsamen Elemente von [mm]H_1=H[/mm] und
> [mm]H_2=\emptyset[/mm]?
> a) 1 und 2 b) die User des
> Matheraumes
> c) alle Halbringsysteme d) es gibt keine
Hallo Tobias,
in einer solchen Quizshow geht man doch gewöhnlich davon aus, dass genau eine der Antwortmöglichkeiten zutrifft. Wenn das so ist, so sind [mm] H_1 [/mm] und [mm] H_2 [/mm] doch nicht disjunkt ! Denn:
ist a) richtig so ist [mm] H_1 \cap H_2 [/mm] = [mm] \{1,2\};
[/mm]
ist b) richtig so ist [mm] H_1 \cap H_2 [/mm] = [mm] \{x: x \quad ist \quad User \quad des \quad MR \};
[/mm]
ist c) richtig so ist [mm] H_1 \cap H_2 [/mm] = [mm] \{x: x \quad ist \quad ein \quad Halbringsystem \};
[/mm]
ist d) richtig so ist [mm] H_1 \cap H_2 [/mm] = [mm] \{ es \quad gibt \quad keine \}.
[/mm]
Denn die Frage war ja: " Wie lauten die gemeinsamen Elemente von $ [mm] H_1=H [/mm] $ und $ [mm] H_2=\emptyset [/mm] $? "
Gruß
ein gänzlich verwirrter FRED
>
> Die 2-Cent-Frage bleibt auch bei Anwendung dieses
> Zusatzjokers unverändert.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Fred,
> > @ Ali:
> >
> > Ausnahmsweise hast du noch einen Zusatzjoker, der dir
> > ermöglicht, die 1-Cent-Frage wahlweise gegen folgende
> > Frage auszutauschen:
> >
> > Wie lauten die gemeinsamen Elemente von [mm]H_1=H[/mm] und
> > [mm]H_2=\emptyset[/mm]?
> > a) 1 und 2 b) die User des
> > Matheraumes
> > c) alle Halbringsysteme d) es gibt keine
>
> Hallo Tobias,
>
> in einer solchen Quizshow geht man doch gewöhnlich davon
> aus, dass genau eine der Antwortmöglichkeiten zutrifft.
> Wenn das so ist, so sind [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] doch nicht disjunkt !
> Denn:
>
> ist a) richtig so ist [mm]H_1 \cap H_2[/mm] = [mm]\{1,2\};[/mm]
>
> ist b) richtig so ist [mm]H_1 \cap H_2[/mm] = [mm]\{x: x \quad ist \quad User \quad des \quad MR \};[/mm]
>
> ist c) richtig so ist [mm]H_1 \cap H_2[/mm] = [mm]\{x: x \quad ist \quad ein \quad Halbringsystem \};[/mm]
>
> ist d) richtig so ist [mm]H_1 \cap H_2[/mm] = [mm]\{ es \quad gibt \quad keine \}.[/mm]
>
> Denn die Frage war ja: " Wie lauten die gemeinsamen
> Elemente von [mm]H_1=H[/mm] und [mm]H_2=\emptyset [/mm]? "
>
> Gruß
>
> ein gänzlich verwirrter FRED
Danke für den Hinweis! Es soll ja (gerade im mathematischen Bereich) schon zu Fehlern bei Günther Jauchs Fragestellungen gekommen sein...
Hier hoffe ich, dass meine Formulierung nur von dir zu wörtlich genommen und damit missverstanden wurde und nicht als fehlerhaft zu gelten hat.
Ich hoffe in der nun korrigierten Fassung entsteht dieses Missverständnis nicht mehr: Ich habe d) abgeändert in
"Es gibt keine gemeinsamen Elemente von $H$ und [mm] $\emptyset$."
[/mm]
d) ist natürlich so gemeint, dass es im Falle d) richtig keine gemeinsamen Elemente von $H$ und [mm] $\emptyset$ [/mm] gibt.
(Nicht etwa gemeint ist, dass es im Falle d) richtig genau ein gemeinsames Element von $H$ und [mm] $\emptyset$ [/mm] namens
"Es gibt keine gemeinsamen Elemente von $H$ und [mm] $\emptyset$."
[/mm]
gibt, auch wenn das die wörtliche Interpretation von Antwort d) auf meine Frage wäre.)
(Ähnliches Beispiel: Angenommen die Frage lautet:
Welche Personalausweisnummer hat der Weihnachtsmann?
a) 12345678 b) Es gibt gar keinen Weihnachtsmann.
Dann muss der Kandidat natürlich b) antworten, um eine Runde weiterzukommen, auch wenn b) wörtlich genommen keine korrekte Antwort auf die Frage nach einer Nummer ist.)
Viele Grüße
Tobias
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:04 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> @ Ali:
>
> Ausnahmsweise hast du noch einen Zusatzjoker, der dir
> ermöglicht, die 1-Cent-Frage wahlweise gegen folgende
> Frage auszutauschen:
>
> Wie lauten die gemeinsamen Elemente von [mm]H_1=H[/mm] und
> [mm]H_2=\emptyset[/mm]?
> a) 1 und 2 b) die User des
> Matheraumes
> c) alle Halbringsysteme d) Es gibt keine
> gemeinsamen Elemente von [mm]H[/mm] und [mm]\emptyset[/mm].
>
> Die 2-Cent-Frage bleibt auch bei Anwendung dieses
> Zusatzjokers unverändert.
Hier wähle ich D.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:07 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > @ Ali:
> >
> > Ausnahmsweise hast du noch einen Zusatzjoker, der dir
> > ermöglicht, die 1-Cent-Frage wahlweise gegen folgende
> > Frage auszutauschen:
> >
> > Wie lauten die gemeinsamen Elemente von [mm]H_1=H[/mm] und
> > [mm]H_2=\emptyset[/mm]?
> > a) 1 und 2 b) die User des
> > Matheraumes
> > c) alle Halbringsysteme d) Es gibt keine
> > gemeinsamen Elemente von [mm]H[/mm] und [mm]\emptyset[/mm].
> >
> > Die 2-Cent-Frage bleibt auch bei Anwendung dieses
> > Zusatzjokers unverändert.
>
> Hier wähle ich D.
Wenn Du mit D die Antwortmöglichkeit d) meinst, so bist Du eine Runde weiter.
FRED
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:02 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > > > Ich probiere es jetzt mal mit n=2:
> > > >
> > > > Wir wählen n:=2 [mm]\wedge H_{1}[/mm] := H [mm]\wedge H_{2}:= \emptyset[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Ja, wegen [mm]H_1=H[/mm].
> > >
> > > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{2} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Das ist Quatsch. Was hat [mm]H\in\mathcal{H}[/mm] mit
> > > [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm] zu tun?
> > >
> > > Vielmehr gilt [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm]
> > > die Eigenschaft 1. aus der Definition eines Halbringes
> > > erfüllt.
> > >
> > > > Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] also das System nur aus [mm]H_{1} \wedge H_{2}[/mm]
> > > > bestehend) ist paarweise disjunkt.
> > > Ja.
> > >
> > > > Da für i, j [mm]\in[/mm] { 1,
> > > > ..., n } = { 1; 2 } gilt i [mm]\not=[/mm] j.
> > > Das ist Quatsch. Für [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] könnte sehr
> wohl
> > [mm]i=j[/mm]
> > > gelten.
> > >
> > > Zu zeigen für die paarweise Disjunktheit von [mm]H_1,H_2[/mm] ist
> > > aber, dass [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt sind. (Denn die einzigen
> > > [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] mit [mm]i\not=j[/mm] sind [mm]i=1[/mm] und [mm]j=2[/mm] sowie [mm]i=2[/mm] und
> > > [mm]j=1[/mm].)
> > >
> > > Sind [mm]H_1=H[/mm] und [mm]H_2=\emptyset[/mm] tatsächlich disjunkt?
> >
> > Nein,
>
> Ich bitte Dich !!!!
>
> > da [mm]H_{2} \subset H_{1}.[/mm] Richtig???
>
> Pass mal Obacht: es ist [mm]H_1 \cap H_2 = H \cap \emptyset=?[/mm]
>
> Nun gehen wir zu Günther Jauch:
>
> 1 Cent-Frage: ? steht für
>
> A: grün B: [mm]\{0\}[/mm]
>
> C: [mm]\emptyset[/mm] D: gestern.
Ich wähle C! :-D
>
> 2 Cent - Frage: sind [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt ?
>
> A: nur an Weihnachten B: ja
>
> C: nein D manchmal ja, manchmal
> nein.
Ich wähle wieder C! 
>
> FRED
>
>
> >
> > >
> > > > Es gilt somit
> > > > [mm]H=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}.[/mm]
> > >
> Richtig.
> >
> > und jetzt???
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > > Ich probiere es jetzt mal mit n=2:
> > > > >
> > > > > Wir wählen n:=2 [mm]\wedge H_{1}[/mm] := H [mm]\wedge H_{2}:= \emptyset[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Ja, wegen [mm]H_1=H[/mm].
> > > >
> > > > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{2} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > Das ist Quatsch. Was hat [mm]H\in\mathcal{H}[/mm] mit
> > > > [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm] zu tun?
> > > >
> > > > Vielmehr gilt [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm]
> > > > die Eigenschaft 1. aus der Definition eines Halbringes
> > > > erfüllt.
> > > >
> > > > > Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] also das System nur aus [mm]H_{1} \wedge H_{2}[/mm]
> > > > > bestehend) ist paarweise disjunkt.
> > > > Ja.
> > > >
> > > > > Da für i, j [mm]\in[/mm] { 1,
> > > > > ..., n } = { 1; 2 } gilt i [mm]\not=[/mm] j.
> > > > Das ist Quatsch. Für [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] könnte sehr
> > wohl
> > > [mm]i=j[/mm]
> > > > gelten.
> > > >
> > > > Zu zeigen für die paarweise Disjunktheit von [mm]H_1,H_2[/mm] ist
> > > > aber, dass [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt sind. (Denn die einzigen
> > > > [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] mit [mm]i\not=j[/mm] sind [mm]i=1[/mm] und [mm]j=2[/mm] sowie [mm]i=2[/mm] und
> > > > [mm]j=1[/mm].)
> > > >
> > > > Sind [mm]H_1=H[/mm] und [mm]H_2=\emptyset[/mm] tatsächlich disjunkt?
> > >
> > > Nein,
> >
> > Ich bitte Dich !!!!
> >
> > > da [mm]H_{2} \subset H_{1}.[/mm] Richtig???
> >
> > Pass mal Obacht: es ist [mm]H_1 \cap H_2 = H \cap \emptyset=?[/mm]
>
> >
> > Nun gehen wir zu Günther Jauch:
> >
> > 1 Cent-Frage: ? steht für
> >
> > A: grün B: [mm]\{0\}[/mm]
> >
> > C: [mm]\emptyset[/mm] D: gestern.
>
> Ich wähle C!
Gute Wahl !
> :-D
>
> >
> > 2 Cent - Frage: sind [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt ?
> >
> > A: nur an Weihnachten B: ja
> >
> > C: nein D manchmal ja, manchmal
> > nein.
>
> Ich wähle wieder C!
Du gehst leider mit 0 Cent nach Hause !!!!!!
FRED
P.S.: ist Dir eigentlich klar, was "disjunkt bedeutet ?
Gehen wir nochmal zu G. Jauch.
Seien [mm] H_1, [/mm] ..., [mm] H_n [/mm] Mengen. Diese Mengen nennt man paarweise disjunkt, wenn
A: [mm] H_1= [/mm] ....= [mm] H_n. [/mm] B: [mm] H_i \subseteq H_j [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
C: [mm] \bigcap_{i=1}^{n}H_i=\emptyset [/mm] D: [mm] H_i \cap H_j=\emptyset [/mm] für i [mm] \ne [/mm] j.
G. FRED
>
> >
> > FRED
> >
> >
> > >
> > > >
> > > > > Es gilt somit
> > > > > [mm]H=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}.[/mm]
> > > >
> > Richtig.
> > >
> > > und jetzt???
> >
>
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > > > > > Ich probiere es jetzt mal mit n=2:
> > > > > >
> > > > > > Wir wählen n:=2 [mm]\wedge H_{1}[/mm] := H [mm]\wedge H_{2}:= \emptyset[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >
> > > > > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Ja, wegen [mm]H_1=H[/mm].
> > > > >
> > > > > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{2} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > Das ist Quatsch. Was hat [mm]H\in\mathcal{H}[/mm] mit
> > > > > [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm] zu tun?
> > > > >
> > > > > Vielmehr gilt [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm]
> > > > > die Eigenschaft 1. aus der Definition eines Halbringes
> > > > > erfüllt.
> > > > >
> > > > > > Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] also das System nur aus [mm]H_{1} \wedge H_{2}[/mm]
> > > > > > bestehend) ist paarweise disjunkt.
> > > > > Ja.
> > > > >
> > > > > > Da für i, j [mm]\in[/mm] { 1,
> > > > > > ..., n } = { 1; 2 } gilt i [mm]\not=[/mm] j.
> > > > > Das ist Quatsch. Für [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] könnte
> sehr
> > > wohl
> > > > [mm]i=j[/mm]
> > > > > gelten.
> > > > >
> > > > > Zu zeigen für die paarweise Disjunktheit von [mm]H_1,H_2[/mm] ist
> > > > > aber, dass [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt sind. (Denn die einzigen
> > > > > [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] mit [mm]i\not=j[/mm] sind [mm]i=1[/mm] und [mm]j=2[/mm] sowie [mm]i=2[/mm] und
> > > > > [mm]j=1[/mm].)
> > > > >
> > > > > Sind [mm]H_1=H[/mm] und [mm]H_2=\emptyset[/mm] tatsächlich disjunkt?
> > > >
> > > > Nein,
> > >
> > > Ich bitte Dich !!!!
> > >
> > > > da [mm]H_{2} \subset H_{1}.[/mm] Richtig???
> > >
> > > Pass mal Obacht: es ist [mm]H_1 \cap H_2 = H \cap \emptyset=?[/mm]
>
> >
> > >
> > > Nun gehen wir zu Günther Jauch:
> > >
> > > 1 Cent-Frage: ? steht für
> > >
> > > A: grün B: [mm]\{0\}[/mm]
> > >
> > > C: [mm]\emptyset[/mm] D: gestern.
> >
> > Ich wähle C!
>
> Gute Wahl !
>
> > :-D
> >
> > >
> > > 2 Cent - Frage: sind [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt ?
> > >
> > > A: nur an Weihnachten B: ja
> > >
> > > C: nein D manchmal ja, manchmal
> > > nein.
> >
> > Ich wähle wieder C!
>
> Du gehst leider mit 0 Cent nach Hause !!!!!!
>
> FRED
>
> P.S.: ist Dir eigentlich klar, was "disjunkt bedeutet ?
>
> Gehen wir nochmal zu G. Jauch.
>
> Seien [mm]H_1,[/mm] ..., [mm]H_n[/mm] Mengen. Diese Mengen nennt man
> paarweise disjunkt, wenn
>
> A: [mm]H_1=[/mm] ....= [mm]H_n.[/mm] B: [mm]H_i \subseteq H_j[/mm] für i [mm]\ne[/mm]
> j.
>
> C: [mm]\bigcap_{i=1}^{n}H_i=\emptyset[/mm] D:
> [mm]H_i \cap H_j=\emptyset[/mm] für i [mm]\ne[/mm] j.
Ich nehme D
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> G. FRED
> >
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> > > FRED
> > >
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> > > > > > Es gilt somit
> > > > > > [mm]H=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}.[/mm]
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> > > Richtig.
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> > > > und jetzt???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Di 15.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > > > > > Ich probiere es jetzt mal mit n=2:
> > > > > > >
> > > > > > > Wir wählen n:=2 [mm]\wedge H_{1}[/mm] := H [mm]\wedge H_{2}:= \emptyset[/mm]
>
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> > > > > > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
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> > > > > > Ja, wegen [mm]H_1=H[/mm].
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> > > > > > > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{2} \in \mathcal{H}.[/mm]
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> > > > > > Das ist Quatsch. Was hat [mm]H\in\mathcal{H}[/mm] mit
> > > > > > [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm] zu tun?
> > > > > >
> > > > > > Vielmehr gilt [mm]H_2=\emptyset\in\mathcal{H}[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm]
> > > > > > die Eigenschaft 1. aus der Definition eines Halbringes
> > > > > > erfüllt.
> > > > > >
> > > > > > > Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] also das System nur aus [mm]H_{1} \wedge H_{2}[/mm]
> > > > > > > bestehend) ist paarweise disjunkt.
> > > > > > Ja.
> > > > > >
> > > > > > > Da für i, j [mm]\in[/mm] { 1,
> > > > > > > ..., n } = { 1; 2 } gilt i [mm]\not=[/mm] j.
> > > > > > Das ist Quatsch. Für [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] könnte
> > sehr
> > > > wohl
> > > > > [mm]i=j[/mm]
> > > > > > gelten.
> > > > > >
> > > > > > Zu zeigen für die paarweise Disjunktheit von [mm]H_1,H_2[/mm] ist
> > > > > > aber, dass [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt sind. (Denn die einzigen
> > > > > > [mm]i,j\in\{1,2\}[/mm] mit [mm]i\not=j[/mm] sind [mm]i=1[/mm] und [mm]j=2[/mm] sowie [mm]i=2[/mm] und
> > > > > > [mm]j=1[/mm].)
> > > > > >
> > > > > > Sind [mm]H_1=H[/mm] und [mm]H_2=\emptyset[/mm] tatsächlich disjunkt?
> > > > >
> > > > > Nein,
> > > >
> > > > Ich bitte Dich !!!!
> > > >
> > > > > da [mm]H_{2} \subset H_{1}.[/mm] Richtig???
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> > > > Pass mal Obacht: es ist [mm]H_1 \cap H_2 = H \cap \emptyset=?[/mm]
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> > > > Nun gehen wir zu Günther Jauch:
> > > >
> > > > 1 Cent-Frage: ? steht für
> > > >
> > > > A: grün B: [mm]\{0\}[/mm]
> > > >
> > > > C: [mm]\emptyset[/mm] D: gestern.
> > >
> > > Ich wähle C!
> >
> > Gute Wahl !
> >
> > > :-D
> > >
> > > >
> > > > 2 Cent - Frage: sind [mm]H_1[/mm] und [mm]H_2[/mm] disjunkt ?
> > > >
> > > > A: nur an Weihnachten B: ja
> > > >
> > > > C: nein D manchmal ja, manchmal
> > > > nein.
> > >
> > > Ich wähle wieder C!
> >
> > Du gehst leider mit 0 Cent nach Hause !!!!!!
> >
> > FRED
> >
> > P.S.: ist Dir eigentlich klar, was "disjunkt bedeutet ?
> >
> > Gehen wir nochmal zu G. Jauch.
> >
> > Seien [mm]H_1,[/mm] ..., [mm]H_n[/mm] Mengen. Diese Mengen nennt man
> > paarweise disjunkt, wenn
> >
> > A: [mm]H_1=[/mm] ....= [mm]H_n.[/mm] B: [mm]H_i \subseteq H_j[/mm] für i [mm]\ne[/mm]
> > j.
> >
> > C: [mm]\bigcap_{i=1}^{n}H_i=\emptyset[/mm] D:
> > [mm]H_i \cap H_j=\emptyset[/mm] für i [mm]\ne[/mm] j.
>
> Ich nehme D
Bingo !
FRED
>
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> > G. FRED
> > >
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> > > > FRED
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> > > > > > > Es gilt somit
> > > > > > > [mm]H=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \in \mathcal{H}.[/mm]
> > >
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> > > > Richtig.
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> > > > > und jetzt???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Seien [mm]H_1,[/mm] ..., [mm]H_n[/mm] Mengen. Diese Mengen nennt man
> > paarweise disjunkt, wenn
> >
> > A: [mm]H_1=[/mm] ....= [mm]H_n.[/mm] B: [mm]H_i \subseteq H_j[/mm] für i [mm]\ne[/mm]
> > j.
> >
> > C: [mm]\bigcap_{i=1}^{n}H_i=\emptyset[/mm] D:
> > [mm]H_i \cap H_j=\emptyset[/mm] für i [mm]\ne[/mm] j.
>
> Ich nehme D
Du hast als Antwort auf die 1-Cent-Frage korrekt festgestellt, dass für unsere spezielle gewählten [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $H_2$ [/mm] gilt:
[mm] $H_1\cap H_2=\emptyset$.
[/mm]
Nun stellst du (mit $n=2$) richtigerweise fest, dass [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $H_2$ [/mm] paarweise disjunkt sind, wenn
[mm] $H_i\cap H_j=\emptyset$ [/mm] für alle [mm] $i\not=j$
[/mm]
gilt.
Sind [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $H_2$ [/mm] also paarweise disjunkt?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ja, sie sind paarweise disjunkt.
Richtig??
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:27 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ja, sie sind paarweise disjunkt.
>
> Richtig??
Ja.
Und genau das benötigten wir ja.
Also sind wir mit 1. a) fertig.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:06 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Also hier nochmal zusammengefasst zur 1 a):
Wir wählen n:=2 [mm] \wedge H_{1}:=H \wedge H_{2}:= \emptyset.
[/mm]
Da H [mm] \in \mathcal{H} [/mm] war, gilt somit [mm] H_{1} \in \mathcal{H}.
[/mm]
Es gilt außerdem [mm] H_{2}=\emptyset \in \mathcal{H}, [/mm] da [mm] \mathcal{H} [/mm] die Eigenschaften 1. aus der Definition eines Halbrings erfüllt.
Das System [mm] H_{1}, [/mm] ..., [mm] H_{n} [/mm] (also das System nur aus [mm] H_{1} \wedge H_{2} [/mm] bestehend) ist paarweise disjunkt, da [mm] H_{i} \cap H_{j} [/mm] = [mm] \emptyset \forall [/mm] i [mm] \not= [/mm] j.
richtig????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:50 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Also hier nochmal zusammengefasst zur 1 a):
>
Sei [mm] $H\in\mathcal{H}$.
[/mm]
> Wir wählen n:=2 [mm]\wedge H_{1}:=H \wedge H_{2}:= \emptyset.[/mm]
>
> Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> Es gilt außerdem [mm]H_{2}=\emptyset \in \mathcal{H},[/mm] da
> [mm]\mathcal{H}[/mm] die Eigenschaften 1. aus der Definition eines
> Halbrings erfüllt.
> Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] (also das System nur aus
> [mm]H_{1} \wedge H_{2}[/mm] bestehend) ist paarweise disjunkt, da
> [mm]H_{i} \cap H_{j}[/mm] = [mm]\emptyset \forall[/mm] i [mm]\not=[/mm] j.
Also gilt [mm] $H=\summe_{j=1}^nH_j\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
> richtig????
Mit meinen Ergänzungen: Ja.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:07 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Zu zeigen ist bei 1. b), dass [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] ein Ringsystem ist.
Nachzuweisen ist also:
1. [mm] \rho(\mathcal{H}) \not= \emptyset [/mm]
2. A, B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) [/mm]
3. A, B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow [/mm] A \ B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
Zu 1.:
Wir müssen also ein Element [mm] $R\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] finden.
Dazu genügt es, irgendein [mm] $n\in\IN$ [/mm] und irgendwelche paarweise disjunkten [mm] $H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}$ [/mm] zu finden, denn dann leistet [mm] $R:=\summe_{j=1}^nH_j$ [/mm] das Gewünschte (nämlich [mm] $R\in\rho(\mathcal{H})$).
[/mm]
Am einfachsten wäre hier (falls man die 0 als natürliche Zahl ansieht) wohl $n:=0$ zu nehmen. [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] bilden also das leere System.
Dieses System ist paarweise disjunkt, denn es gibt keine [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}=\emptyset$ [/mm] (mit [mm] $i\not=j$).
[/mm]
Für 2. und 3. schlage ich folgende Reihenfolge vor:
Zunächst zeigen wir die Hilfsbehauptungen
i) [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] disjunkt [mm] $\Rightarrow\;A\cup B\in\rho(\mathcal{H})$
[/mm]
und
ii) [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})\;\Rightarrow\;A\cap B\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
Daraus folgern wir dann 3. und daraus wiederum 2.
Zu Hilfsbehauptung i):
Seien [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] disjunkt. Zu zeigen ist [mm] $A\cup B\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
Wegen [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] existieren [mm] $n,m\in\IN$ [/mm] und paarweise disjunkte Systeme [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] sowie [mm] $G_1,\ldots,G_m$ [/mm] von Elementen von [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] mit
[mm] $A=\summe_{j=1}^nH_j$
[/mm]
und
[mm] $B=\summe_{i=1}^mG_i$.
[/mm]
Es gilt somit
[mm] $A\cup B=(\summe_{j=1}^nH_j)\cup(\summe_{i=1}^mG_i)$.
[/mm]
Ziel ist, [mm] $A\cup [/mm] B$ als disjunkte Vereinigung von Mengen aus [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] darzustellen, denn dann folgt wie gewünscht [mm] $A\cup B\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
Soweit der "Rahmen" des Beweises von i).
Versuche du nun, einen geeigneten Rahmen für die Beweise von ii), 3. und 2. zu finden!
Zurück zu i):
[mm] $A\cup B=(\summe_{j=1}^nH_j)\cup(\summe_{i=1}^mG_i)$ [/mm] könnte schon eine solche Darstellung als Vereinigung paarweise disjunkter Elemente von [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] sein, wenn denn das System [mm] $H_1,\ldots,H_n,G_1,\ldots,G_m$ [/mm] paarweise disjunkt ist.
Zeigen wir Letzteres: Da die Systeme [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] und [mm] $G_1,\ldots,G_m$ [/mm] jeweils paarweise disjunkt sind, ist nur noch für alle [mm] $j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und [mm] $i\in\{1,\ldots,m\}$ [/mm] zu zeigen, dass [mm] $H_j$ [/mm] und [mm] $G_i$ [/mm] disjunkt sind.
Seien also [mm] $j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und [mm] $i\in\{1,\ldots,m\}$.
[/mm]
Nun angenommen [mm] $H_j$ [/mm] und [mm] $G_i$ [/mm] wären nicht disjunkt.
Dann hätten sie ein gemeinsames Element [mm] $\omega$. [/mm] Also [mm] $\omega\in H_j$ [/mm] und gleichzeitig [mm] $\omega\in G_i$.
[/mm]
Überlege dir, dass dann [mm] $\omega\in [/mm] A$ und [mm] $\omega\in [/mm] B$ folgt.
Das widerspricht aber der Disjunktheit von $A$ und $B$.
Also war unsere Annahme, [mm] $H_j$ [/mm] und [mm] $G_i$ [/mm] wären nicht disjunkt, falsch und somit sind [mm] $H_j$ [/mm] und [mm] $G_i$ [/mm] disjunkt.
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:28 Mi 16.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Kann ich das zu 1. so schreiben:
Wir wählen n:=0 [mm] \wedge R:=\summe_{j=1}^{n} H_{j}
[/mm]
Das System [mm] H_{1}, [/mm] ..., [mm] H_{n} [/mm] bilden das leere System. Dieses System ist paarweise disjunkt, denn es gibt keine i, j [mm] \in [/mm] { 1, ..., n } = [mm] \emptyset [/mm] mit i [mm] \not= [/mm] j. Also gilt R = [mm] \summe_{j=1}^{0} H_{j} [/mm] = [mm] \emptyset \in \rho(\matcal{H}).
[/mm]
richtig????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Mi 16.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Kann ich das zu 1. so schreiben:
>
> Wir wählen n:=0 [mm]\wedge R:=\summe_{j=1}^{n} H_{j}[/mm]
>
> Das System [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] bilden das leere System.
> Dieses System ist paarweise disjunkt, denn es gibt keine i,
> j [mm]\in[/mm] { 1, ..., n } = [mm]\emptyset[/mm] mit i [mm]\not=[/mm] j. Also gilt R
> = [mm]\summe_{j=1}^{0} H_{j}[/mm] = [mm]\emptyset \in \rho(\mathcal{H}).[/mm]
Also gilt [mm] $\rho(\mathcal{H})\not=\emptyset$.
[/mm]
>
> richtig????
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Ja!
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:59 Do 17.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hallo,
sorry wenn ich jetzt erst wieder das Thema aufgreifen kann aber habe mich die letzten Tage in Latex eingearbeitet.
Nun zurück zur Aufgabe 1 b)
> Zu zeigen ist bei 1. b), dass [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] ein
> Ringsystem ist.
>
> Nachzuweisen ist also:
>
> 1. [mm]\rho(\mathcal{H}) \not= \emptyset[/mm]
> 2. A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
> 3. A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A \ B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
>
> Zu 1.:
>
> Wir müssen also ein Element [mm]R\in\rho(\mathcal{H})[/mm] finden.
> Dazu genügt es, irgendein [mm]n\in\IN[/mm] und irgendwelche
> paarweise disjunkten [mm]H_1,\ldots,H_n\in\mathcal{H}[/mm] zu
> finden, denn dann leistet [mm]R:=\summe_{j=1}^nH_j[/mm] das
> Gewünschte (nämlich [mm]R\in\rho(\mathcal{H})[/mm]).
>
> Am einfachsten wäre hier (falls man die 0 als natürliche
> Zahl ansieht) wohl [mm]n:=0[/mm] zu nehmen. [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] bilden
> also das leere System.
> Dieses System ist paarweise disjunkt, denn es gibt keine
> [mm]i,j\in\{1,\ldots,n\}=\emptyset[/mm] (mit [mm]i\not=j[/mm]).
>
>
> Für 2. und 3. schlage ich folgende Reihenfolge vor:
>
> Zunächst zeigen wir die Hilfsbehauptungen
>
> i) [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] disjunkt [mm]\Rightarrow\;A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> und
>
> ii) [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})\;\Rightarrow\;A\cap B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
> Daraus folgern wir dann 3. und daraus wiederum 2.
>
>
> Zu Hilfsbehauptung i):
>
> Seien [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] disjunkt. Zu zeigen ist [mm]A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
> Wegen [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] existieren [mm]n,m\in\IN[/mm] und
> paarweise disjunkte Systeme [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] sowie
> [mm]G_1,\ldots,G_m[/mm] von Elementen von [mm]\mathcal{H}[/mm] mit
>
> [mm]A=\summe_{j=1}^nH_j[/mm]
>
> und
>
> [mm]B=\summe_{i=1}^mG_i[/mm].
>
> Es gilt somit
>
> [mm]A\cup B=(\summe_{j=1}^nH_j)\cup(\summe_{i=1}^mG_i)[/mm].
>
> Ziel ist, [mm]A\cup B[/mm] als disjunkte Vereinigung von Mengen aus
> [mm]\mathcal{H}[/mm] darzustellen, denn dann folgt wie gewünscht
> [mm]A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
Ich versuchs mal so:
Sei H [mm] \in \mathcal{H} \wedge [/mm] G [mm] \in \mathcal{H}.
[/mm]
Wir wählen n:=1 [mm] \wedge [/mm] m:=1 [mm] \wedge H_{1}:=H \wedge G_{1}:=G
[/mm]
Da H [mm] \in \mathcal{H} [/mm] war, gilt somit [mm] H_{1} \in \mathcal{H}.
[/mm]
Da G [mm] \in \mathcal{H} [/mm] war, gilt somit [mm] G_{1} \in \mathcal{H}.
[/mm]
Die Systeme [mm] H_{1}, [/mm] ..., [mm] H_{n} [/mm] und [mm] G_{1}, [/mm] ..., [mm] G_{n} [/mm] (also die Systeme nur aus [mm] H_{1} [/mm] und [mm] G_{1}) [/mm] bestehend sind paarweise disjunkt, da für i, j [mm] \in [/mm] { 1, ..., n }={ 1 } gilt A [mm] \cap [/mm] B = [mm] (\summe_{j=1}^{1}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{1} G_{i}) [/mm] = [mm] H_{1} \cap G_{1} [/mm] = [mm] \emptyset.
[/mm]
richtig????
>
> Soweit der "Rahmen" des Beweises von i).
> Versuche du nun, einen geeigneten Rahmen für die Beweise
> von ii), 3. und 2. zu finden!
>
> Zurück zu i):
>
> [mm]A\cup B=(\summe_{j=1}^nH_j)\cup(\summe_{i=1}^mG_i)[/mm] könnte
> schon eine solche Darstellung als Vereinigung paarweise
> disjunkter Elemente von [mm]\mathcal{H}[/mm] sein, wenn denn das
> System [mm]H_1,\ldots,H_n,G_1,\ldots,G_m[/mm] paarweise disjunkt
> ist.
>
> Zeigen wir Letzteres: Da die Systeme [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] und
> [mm]G_1,\ldots,G_m[/mm] jeweils paarweise disjunkt sind, ist nur
> noch für alle [mm]j\in\{1,\ldots,n\}[/mm] und [mm]i\in\{1,\ldots,m\}[/mm] zu
> zeigen, dass [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] disjunkt sind.
> Seien also [mm]j\in\{1,\ldots,n\}[/mm] und [mm]i\in\{1,\ldots,m\}[/mm].
>
> Nun angenommen [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] wären nicht disjunkt.
> Dann hätten sie ein gemeinsames Element [mm]\omega[/mm]. Also
> [mm]\omega\in H_j[/mm] und gleichzeitig [mm]\omega\in G_i[/mm].
> Überlege
> dir, dass dann [mm]\omega\in A[/mm] und [mm]\omega\in B[/mm] folgt.
> Das widerspricht aber der Disjunktheit von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> Also war unsere Annahme, [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] wären nicht
> disjunkt, falsch und somit sind [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] disjunkt.
Grüße
Ali
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:04 Do 17.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Zu zeigen ist bei 1. b), dass [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] ein
> > Ringsystem ist.
> >
> > Nachzuweisen ist also:
> >
> > 1. [mm]\rho(\mathcal{H}) \not= \emptyset[/mm]
> > 2. A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
> > 3. A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A \ B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
> > Für 2. und 3. schlage ich folgende Reihenfolge vor:
> >
> > Zunächst zeigen wir die Hilfsbehauptungen
> >
> > i) [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] disjunkt [mm]\Rightarrow\;A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> >
> > und
> >
> > ii) [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})\;\Rightarrow\;A\cap B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
> >
> > Daraus folgern wir dann 3. und daraus wiederum 2.
> > Zu Hilfsbehauptung i):
> >
> > Seien [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] disjunkt. Zu zeigen ist [mm]A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
> >
> > Wegen [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] existieren [mm]n,m\in\IN[/mm] und
> > paarweise disjunkte Systeme [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] sowie
> > [mm]G_1,\ldots,G_m[/mm] von Elementen von [mm]\mathcal{H}[/mm] mit
> >
> > [mm]A=\summe_{j=1}^nH_j[/mm]
> >
> > und
> >
> > [mm]B=\summe_{i=1}^mG_i[/mm].
> >
> > Es gilt somit
> >
> > [mm]A\cup B=(\summe_{j=1}^nH_j)\cup(\summe_{i=1}^mG_i)[/mm].
> >
> > Ziel ist, [mm]A\cup B[/mm] als disjunkte Vereinigung von Mengen aus
> > [mm]\mathcal{H}[/mm] darzustellen, denn dann folgt wie gewünscht
> > [mm]A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
> Ich versuchs mal so:
>
> Sei H [mm]\in \mathcal{H} \wedge[/mm] G [mm]\in \mathcal{H}.[/mm]
Du betrachtest also offenbar beliebig vorgegebene [mm] $H,G\in\mathcal{H}$.
[/mm]
Das wäre dann ein sinnvoller Start, wenn du eine Aussage über alle [mm] $H,G\in\mathcal{H}$ [/mm] beweisen wollen würdest.
> Wir
> wählen n:=1 [mm]\wedge[/mm] m:=1 [mm]\wedge H_{1}:=H \wedge G_{1}:=G[/mm]
Die Bezeichnungen $n$, [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $G_1$ [/mm] sind für diesen Beweis von mir eigentlich schon vergeben.
Du verwendest sie jetzt in einer anderen Bedeutung.
Jedenfalls haben deine [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $G_1$ [/mm] nichts mit meinen $A$ und $B$ zu tun.
> Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> Da G [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]G_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
Ja.
> Die Systeme [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] und [mm]G_{1},[/mm] ..., [mm]G_{n}[/mm] (also
> die Systeme nur aus [mm]H_{1}[/mm] und [mm]G_{1})[/mm] bestehend sind
> paarweise disjunkt, da für i, j [mm]\in[/mm] { 1, ..., n }={ 1 }
> gilt
Zu betrachten sind nur [mm] $i,j\in\{1,\ldots,n\}=\{1\}$ [/mm] mit [mm] $i\not=j$.
[/mm]
Und solche gibt es gar nicht, so dass die paarweise Disjunktheit der einzelnen Systeme schon klar ist.
Hingegen muss das System bestehend aus [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $G_1$ [/mm] nicht paarweise disjunkt sein.
> A [mm]\cap[/mm] B = [mm](\summe_{j=1}^{1}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{1} G_{i})[/mm]
Jetzt stellst du doch eine Verbindung zwischen meinen (?) $A$ und $B$ und deinen $H$ und $G$ her, die es nicht gibt.
Oder meinst du mit $A$ und $B$ hier etwas anderes als meine beliebig vorgegebenen disjunkten [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})$?
[/mm]
> = [mm]H_{1} \cap G_{1}[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
Warum sollten [mm] $H_1$ [/mm] und [mm] $G_1$ [/mm] disjunkt sein?
Ziel meines Beweises von Hilfsbehauptung i) war, für beliebig vorgegebene disjunkte [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] zu zeigen, dass auch [mm] $A\cup B\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] gilt.
Nicht etwa zu zeigen war, dass $A$ und $B$ disjunkt sind; die Disjunktheit von $A$ und $B$ war bereits eine Annahme, mit der wir gestartet sind.
Ich habe eigentlich so gut wie den gesamten Beweis von Hilfsbehauptung i) schon ausgeführt, s.u.
> > Soweit der "Rahmen" des Beweises von i).
> > Versuche du nun, einen geeigneten Rahmen für die
> Beweise
> > von ii), 3. und 2. zu finden!
> > Zurück zu i):
> >
> > [mm]A\cup B=(\summe_{j=1}^nH_j)\cup(\summe_{i=1}^mG_i)[/mm] könnte
> > schon eine solche Darstellung als Vereinigung paarweise
> > disjunkter Elemente von [mm]\mathcal{H}[/mm] sein, wenn denn das
> > System [mm]H_1,\ldots,H_n,G_1,\ldots,G_m[/mm] paarweise disjunkt
> > ist.
> >
> > Zeigen wir Letzteres: Da die Systeme [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] und
> > [mm]G_1,\ldots,G_m[/mm] jeweils paarweise disjunkt sind, ist nur
> > noch für alle [mm]j\in\{1,\ldots,n\}[/mm] und [mm]i\in\{1,\ldots,m\}[/mm] zu
> > zeigen, dass [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] disjunkt sind.
> > Seien also [mm]j\in\{1,\ldots,n\}[/mm] und [mm]i\in\{1,\ldots,m\}[/mm].
> >
> > Nun angenommen [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] wären nicht disjunkt.
> > Dann hätten sie ein gemeinsames Element [mm]\omega[/mm]. Also
> > [mm]\omega\in H_j[/mm] und gleichzeitig [mm]\omega\in G_i[/mm].
> >
> Überlege
> > dir, dass dann [mm]\omega\in A[/mm] und [mm]\omega\in B[/mm] folgt.
> > Das widerspricht aber der Disjunktheit von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> > Also war unsere Annahme, [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] wären nicht
> > disjunkt, falsch und somit sind [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] disjunkt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:19 Fr 18.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > > Zu zeigen ist bei 1. b), dass [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] ein
> > > Ringsystem ist.
> > >
> > > Nachzuweisen ist also:
> > >
> > > 1. [mm]\rho(\mathcal{H}) \not= \emptyset[/mm]
> > > 2. A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
> > > 3. A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A \ B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> > > Für 2. und 3. schlage ich folgende Reihenfolge vor:
> > >
> > > Zunächst zeigen wir die Hilfsbehauptungen
> > >
> > > i) [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] disjunkt [mm]\Rightarrow\;A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> >
> > >
> > > und
> > >
> > > ii) [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})\;\Rightarrow\;A\cap B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
> >
> > >
> > > Daraus folgern wir dann 3. und daraus wiederum 2.
>
> > > Zu Hilfsbehauptung i):
> > >
> > > Seien [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] disjunkt. Zu zeigen ist [mm]A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
> >
> > >
> > > Wegen [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] existieren [mm]n,m\in\IN[/mm] und
> > > paarweise disjunkte Systeme [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] sowie
> > > [mm]G_1,\ldots,G_m[/mm] von Elementen von [mm]\mathcal{H}[/mm] mit
> > >
> > > [mm]A=\summe_{j=1}^nH_j[/mm]
> > >
> > > und
> > >
> > > [mm]B=\summe_{i=1}^mG_i[/mm].
> > >
> > > Es gilt somit
> > >
> > > [mm]A\cup B=(\summe_{j=1}^nH_j)\cup(\summe_{i=1}^mG_i)[/mm].
> >
> >
> > > Ziel ist, [mm]A\cup B[/mm] als disjunkte Vereinigung von Mengen aus
> > > [mm]\mathcal{H}[/mm] darzustellen, denn dann folgt wie gewünscht
> > > [mm]A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
> >
> > Ich versuchs mal so:
> >
> > Sei H [mm]\in \mathcal{H} \wedge[/mm] G [mm]\in \mathcal{H}.[/mm]
> Du
> betrachtest also offenbar beliebig vorgegebene
> [mm]H,G\in\mathcal{H}[/mm].
> Das wäre dann ein sinnvoller Start, wenn du eine Aussage
> über alle [mm]H,G\in\mathcal{H}[/mm] beweisen wollen würdest.
>
> > Wir
> > wählen n:=1 [mm]\wedge[/mm] m:=1 [mm]\wedge H_{1}:=H \wedge G_{1}:=G[/mm]
>
> Die Bezeichnungen [mm]n[/mm], [mm]H_1[/mm] und [mm]G_1[/mm] sind für diesen Beweis
> von mir eigentlich schon vergeben.
> Du verwendest sie jetzt in einer anderen Bedeutung.
> Jedenfalls haben deine [mm]H_1[/mm] und [mm]G_1[/mm] nichts mit meinen [mm]A[/mm] und
> [mm]B[/mm] zu tun.
>
> > Da H [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]H_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> >
> > Da G [mm]\in \mathcal{H}[/mm] war, gilt somit [mm]G_{1} \in \mathcal{H}.[/mm]
>
> Ja.
>
> > Die Systeme [mm]H_{1},[/mm] ..., [mm]H_{n}[/mm] und [mm]G_{1},[/mm] ..., [mm]G_{n}[/mm] (also
> > die Systeme nur aus [mm]H_{1}[/mm] und [mm]G_{1})[/mm] bestehend sind
> > paarweise disjunkt, da für i, j [mm]\in[/mm] { 1, ..., n }={ 1 }
> > gilt
> Zu betrachten sind nur [mm]i,j\in\{1,\ldots,n\}=\{1\}[/mm] mit
> [mm]i\not=j[/mm].
> Und solche gibt es gar nicht, so dass die paarweise
> Disjunktheit der einzelnen Systeme schon klar ist.
> Hingegen muss das System bestehend aus [mm]H_1[/mm] und [mm]G_1[/mm] nicht
> paarweise disjunkt sein.
>
> > A [mm]\cap[/mm] B = [mm](\summe_{j=1}^{1}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{1} G_{i})[/mm]
>
> Jetzt stellst du doch eine Verbindung zwischen meinen (?) [mm]A[/mm]
> und [mm]B[/mm] und deinen [mm]H[/mm] und [mm]G[/mm] her, die es nicht gibt.
> Oder meinst du mit [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] hier etwas anderes als meine
> beliebig vorgegebenen disjunkten [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm]?
>
> > = [mm]H_{1} \cap G_{1}[/mm] = [mm]\emptyset.[/mm]
> Warum sollten [mm]H_1[/mm] und [mm]G_1[/mm] disjunkt sein?
>
> Ziel meines Beweises von Hilfsbehauptung i) war, für
> beliebig vorgegebene disjunkte [mm]A,B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] zu
> zeigen, dass auch [mm]A\cup B\in\rho(\mathcal{H})[/mm] gilt.
> Nicht etwa zu zeigen war, dass [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] disjunkt sind; die
> Disjunktheit von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] war bereits eine Annahme, mit der
> wir gestartet sind.
>
> Ich habe eigentlich so gut wie den gesamten Beweis von
> Hilfsbehauptung i) schon ausgeführt, s.u.
>
> > > Soweit der "Rahmen" des Beweises von i).
> > > Versuche du nun, einen geeigneten Rahmen für die
> > Beweise
> > > von ii), 3. und 2. zu finden!
>
> > > Zurück zu i):
> > >
> > > [mm]A\cup B=(\summe_{j=1}^nH_j)\cup(\summe_{i=1}^mG_i)[/mm] könnte
> > > schon eine solche Darstellung als Vereinigung paarweise
> > > disjunkter Elemente von [mm]\mathcal{H}[/mm] sein, wenn denn das
> > > System [mm]H_1,\ldots,H_n,G_1,\ldots,G_m[/mm] paarweise disjunkt
> > > ist.
> > >
> > > Zeigen wir Letzteres: Da die Systeme [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] und
> > > [mm]G_1,\ldots,G_m[/mm] jeweils paarweise disjunkt sind, ist nur
> > > noch für alle [mm]j\in\{1,\ldots,n\}[/mm] und [mm]i\in\{1,\ldots,m\}[/mm] zu
> > > zeigen, dass [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] disjunkt sind.
> > > Seien also [mm]j\in\{1,\ldots,n\}[/mm] und
> [mm]i\in\{1,\ldots,m\}[/mm].
> > >
> > > Nun angenommen [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] wären nicht disjunkt.
> > > Dann hätten sie ein gemeinsames Element [mm]\omega[/mm].
> Also
> > > [mm]\omega\in H_j[/mm] und gleichzeitig [mm]\omega\in G_i[/mm].
> > >
> > Überlege
> > > dir, dass dann [mm]\omega\in A[/mm] und [mm]\omega\in B[/mm] folgt.
> > > Das widerspricht aber der Disjunktheit von [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm].
> > > Also war unsere Annahme, [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] wären nicht
> > > disjunkt, falsch und somit sind [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] disjunkt.
Kapiert :-D
DANKE!!! :-D
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:46 Fr 18.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
So Tobi,
jetzt glaub ich hab ich den Beweis zu (ii):
A, B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
Sei [mm] \omega_{1} \in [/mm] A [mm] \wedge \omega_{2} \in [/mm] B.
Da A [mm] \in \rho(\mathcal{H}) [/mm] war, gilt [mm] \omega_{1} \in \rho(\mathcal{H}).
[/mm]
Da B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) [/mm] war, gilt [mm] \omega_{2} \in \rho(\mathcal{H}).
[/mm]
Nun gilt weiterhin A [mm] \cap [/mm] B = [mm] (\summe_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{m}G_{i}) [/mm] = [mm] \omega_{1} \cap \omega_{2} [/mm] = [mm] \emptyset \in \rho(\mathcal{H}).
[/mm]
richtig???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 10:59 Fr 18.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> jetzt glaub ich hab ich den Beweis zu (ii):
>
> A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> Sei [mm]\omega_{1} \in[/mm] A [mm]\wedge \omega_{2} \in[/mm] B.
Das wäre ein sinnvoller Start, wenn du eine Aussage über alle [mm] $\omega_1\in [/mm] A$ und alle [mm] $\omega_2\in [/mm] B$ beweisen wollen würdest.
> Da A [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm] war, gilt [mm]\omega_{1} \in \rho(\mathcal{H}).[/mm]
> Da B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm] war, gilt [mm]\omega_{2} \in \rho(\mathcal{H}).[/mm]
Nein. [mm] $\omega_1$ [/mm] und [mm] $\omega_2$ [/mm] müssen nicht einmal Mengen sein.
> Nun gilt weiterhin A [mm]\cap[/mm] B = [mm](\summe_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{m}G_{i})[/mm]
Wo kommen die [mm] $H_j$ [/mm] und [mm] $G_i$ [/mm] auf einmal her?
Vermutlich verwendest du die Tatsache [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})$, [/mm] derzufolge [mm] $n,m\in\IN$, $H_1,\ldots,H_n,G_1,\ldots,G_m\in\mathcal{H}$ [/mm] mit [mm] $A=\summe_{j=1}^nH_j$ [/mm] und [mm] $B=\summe_{i=1}^mG_i$ [/mm] existieren.
Das musst du unbedingt hinschreiben, sonst kann der Leser nicht wissen, was die [mm] $H_j$ [/mm] und die [mm] $G_i$ [/mm] sein sollen.
> = [mm]\omega_{1} \cap \omega_{2}[/mm]
Nein. [mm] $\omega_1$ [/mm] und [mm] $\omega_2$ [/mm] sind im Allgemeinen nicht einmal Mengen.
> = [mm]\emptyset \in \rho(\mathcal{H}).[/mm]
[mm] $A\cap [/mm] B$ wird im Allgemeinen nicht die leere Menge sein.
Seien die [mm] $H_j$ [/mm] und die [mm] $G_i$ [/mm] wie oben eingeführt.
Versuche, dir klarzumachen, dass
[mm] $A\cap B=(\summe_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{m}G_{i})=\bigcup_{\substack{j\in\{1,\ldots,n\}\\i\in\{1,\ldots,m\}}}(H_j\cap G_i)$
[/mm]
gilt.
Begründe:
a) Für alle [mm] $j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und [mm] $i\in\{1,\ldots,m\}$ [/mm] gilt [mm] $H_j\cap G_i\in\mathcal{H}$.
[/mm]
b) Die Vereinigung [mm] $\bigcup_{\substack{j\in\{1,\ldots,n\}\\i\in\{1,\ldots,m\}}}(H_j\cap G_i)$ [/mm] ist eine Vereinigung (endlich vieler) paarweise disjunkter Mengen.
Also gilt
[mm] $A\cap B=\summe_{\substack{j\in\{1,\ldots,n\}\\i\in\{1,\ldots,m\}}}(H_j\cap G_i)\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Fr 18.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. Danke.
Hier ein weiterer Lösungsvorschlag:
(ii) A, B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow [/mm] A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
Es gilt:
[mm] A=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \wedge B=\summe_{i=1}^{n}G_{i}
[/mm]
Also gilt weiterhin:
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] (\summe_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{m}G_{i})=(\bigcup_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\bigcup_{i=1}^{m}G_{i}) [/mm] = [mm] \bigcup_{j\in { 1,...,n }; i \in { 1,...,m } } [/mm] ( [mm] H_{j} \cap G_{i} [/mm] ) = [mm] \summe_{i \in{ 1,...,n }; j \in { 1,...,m } } [/mm] ( [mm] H_{j} \cap G_{i} [/mm] ) [mm] \in \rho(\mathcal{H}).
[/mm]
richtig???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:06 Fr 18.10.2013 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Danke.
>
> Hier ein weiterer Lösungsvorschlag:
>
> (ii) A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A [mm]\cap[/mm] B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> Es gilt:
>
> [mm]A=\summe_{j=1}^{n}H_{j} \wedge B=\summe_{i=1}^{n}G_{i}[/mm]
>
> Also gilt weiterhin:
>
> A [mm]\cap[/mm] B = [mm](\summe_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{m}G_{i})=(\bigcup_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\bigcup_{i=1}^{m}G_{i})[/mm]
> = [mm]\bigcup_{j\in { 1,...,n }; i \in { 1,...,m } }[/mm] ( [mm]H_{j} \cap G_{i}[/mm]
> ) = [mm]\summe_{i \in{ 1,...,n }; j \in { 1,...,m } }[/mm] ( [mm]H_{j} \cap G_{i}[/mm]
> ) [mm]\in \rho(\mathcal{H}).[/mm]
>
> richtig???
Ja, das stimmt. Aber Du hast nur von Tobias abgeschrieben !
Die verschiedenen Begründungen, die Tobias Dir ans Herz gelegt hat, hast Du nicht gebracht !
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:31 Sa 19.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Danke FRED.
Ich hatte die Lösung zur Hilfsbehauptung (ii) bereits vor Tobi seiner Antwort auf Papier stehen aber war mir nicht sicher. Nachdem Tobi seite letzte Antwort gepostet hat, war ich mir dann ziemlich sicher und habe gleich den Beweis zu (ii) gepostet.
Nun zu 3.:
A, B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow [/mm] A \ B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
Da ich in der Hilfsbehauptung (i) gezeigt habe, dass [mm] H_{j} \wedge G_{i} [/mm] paarweise disjunkt sind, gilt für:
A= [mm] \summe_{j=1}^{n}H_{j} \wedge [/mm] B= [mm] \summe_{i=1}^{m} G_{i}
[/mm]
A [mm] \cap [/mm] B = [mm] (\summe_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{m} G_{i}) [/mm] = [mm] \emptyset \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
Also gilt desweiteren: A \ B = A [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
richtig???
Grüße
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:01 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Ich hatte die Lösung zur Hilfsbehauptung (ii) bereits vor
> Tobi seiner Antwort auf Papier stehen aber war mir nicht
> sicher. Nachdem Tobi seite letzte Antwort gepostet hat, war
> ich mir dann ziemlich sicher und habe gleich den Beweis zu
> (ii) gepostet.
Das Problem war auch weniger das vermeintliche Abschreiben an sich, als die Tatsache, dass die Begründungen fehlten, nach denen ich gefragt hatte.
> Nun zu 3.:
>
> A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A \ B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
Seien [mm] $H_1,\ldots,H_n$ [/mm] und [mm] $G_1,\ldots,G_m$ [/mm] wie in den Teilen zuvor gewählt.
> Da ich in der Hilfsbehauptung (i) gezeigt habe, dass [mm]H_{j} \wedge G_{i}[/mm]
> paarweise disjunkt sind,
(Was meinst du damit, dass [mm] $H_j\wedge G_i$ [/mm] paarweise disjunkt sei? Das System aus welchen Mengen soll aus paarweise disjunkten Mengen bestehen?)
In 1. hatten wir die Zusatzvoraussetzung, dass $A$ und $B$ disjunkt waren. Das haben wir hier nicht vorliegen. Jetzt wissen wir nicht, ob das System [mm] $H_1,\ldots,H_n,G_1,\ldots,G_m$ [/mm] aus paarweise disjunkten Mengen besteht.
> gilt für:
>
> A= [mm]\summe_{j=1}^{n}H_{j} \wedge[/mm] B= [mm]\summe_{i=1}^{m} G_{i}[/mm]
>
> A [mm]\cap[/mm] B = [mm](\summe_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{m} G_{i})[/mm]
> = [mm]\emptyset \in \rho(\mathcal{H})[/mm]
Folgerichtig. Tatsächlich müssen $A$ und $B$ bei 3. aber nicht disjunkt sein.
>
> Also gilt desweiteren: A \ B = A [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
Folgerichtig wegen [mm] $\mathcal{H}\subseteq\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
Vorbemerkung:
Aus Hilfsbehauptung i) kann man induktiv schließen, dass [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] abgeschlossen unter der Vereinigung endlich vieler paarweise disjunkter Mengen ist.
Aus Hilfsbehauptung ii) kann man induktiv schließen, dass [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] abgeschlossen unter dem Schnitt endlich vieler Mengen ist.
Mache dir klar:
[mm] $A\setminus B=(\summe_{j=1}^nH_j)\setminus(\summe_{i=1}^mG_i)=\summe_{j=1}^n(H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))=\summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))$.
[/mm]
Nach den Vorbemerkungen (und unter Beachtung von [mm] $H_j\in\mathcal{H}\subseteq\rho(\mathcal{H})$) [/mm] genügt es also, [mm] $H_j\setminus G_i\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] für alle [mm] $i=1,\ldots,n$ [/mm] und [mm] $j=1,\ldots,m$ [/mm] zu zeigen, um [mm] $A\setminus B\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] nachzuweisen.
Was weißt du über [mm] $H_j\setminus G_i$, [/mm] da [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ein Halbring ist?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:59 Mo 21.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Vielen Dank Tobi .
Ich hoffe du hattest ein angenehmes WE .
> > Ich hatte die Lösung zur Hilfsbehauptung (ii) bereits vor
> > Tobi seiner Antwort auf Papier stehen aber war mir nicht
> > sicher. Nachdem Tobi seite letzte Antwort gepostet hat, war
> > ich mir dann ziemlich sicher und habe gleich den Beweis zu
> > (ii) gepostet.
> Das Problem war auch weniger das vermeintliche Abschreiben
> an sich, als die Tatsache, dass die Begründungen fehlten,
> nach denen ich gefragt hatte.
>
>
> > Nun zu 3.:
> >
> > A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A \ B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> >
> Seien [mm]H_1,\ldots,H_n[/mm] und [mm]G_1,\ldots,G_m[/mm] wie in den Teilen
> zuvor gewählt.
> > Da ich in der Hilfsbehauptung (i) gezeigt habe, dass
> [mm]H_{j} \wedge G_{i}[/mm]
> > paarweise disjunkt sind,
> (Was meinst du damit, dass [mm]H_j\wedge G_i[/mm] paarweise
> disjunkt sei? Das System aus welchen Mengen soll aus
> paarweise disjunkten Mengen bestehen?)
>
> In 1. hatten wir die Zusatzvoraussetzung, dass [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm]
> disjunkt waren. Das haben wir hier nicht vorliegen. Jetzt
> wissen wir nicht, ob das System
> [mm]H_1,\ldots,H_n,G_1,\ldots,G_m[/mm] aus paarweise disjunkten
> Mengen besteht.
>
> > gilt für:
> >
> > A= [mm]\summe_{j=1}^{n}H_{j} \wedge[/mm] B= [mm]\summe_{i=1}^{m} G_{i}[/mm]
>
> >
> > A [mm]\cap[/mm] B = [mm](\summe_{j=1}^{n}H_{j}) \cap (\summe_{i=1}^{m} G_{i})[/mm]
> > = [mm]\emptyset \in \rho(\mathcal{H})[/mm]
> Folgerichtig.
> Tatsächlich müssen [mm]A[/mm] und [mm]B[/mm] bei 3. aber nicht disjunkt
> sein.
> >
> > Also gilt desweiteren: A \ B = A [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
>
> Folgerichtig wegen [mm]\mathcal{H}\subseteq\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
>
> Vorbemerkung:
>
> Aus Hilfsbehauptung i) kann man induktiv schließen, dass
> [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] abgeschlossen unter der Vereinigung
> endlich vieler paarweise disjunkter Mengen ist.
>
> Aus Hilfsbehauptung ii) kann man induktiv schließen, dass
> [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] abgeschlossen unter dem Schnitt endlich
> vieler Mengen ist.
>
>
> Mache dir klar:
>
> [mm]A\setminus B=(\summe_{j=1}^nH_j)\setminus(\summe_{i=1}^mG_i)=\summe_{j=1}^n(H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))=\summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))[/mm].
Ich verstehe den letzten schritt nicht:
...= [mm] \summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))
[/mm]
warum kommt da aufeinmal die schnittmenge hin?
>
> Nach den Vorbemerkungen (und unter Beachtung von
> [mm]H_j\in\mathcal{H}\subseteq\rho(\mathcal{H})[/mm]) genügt es
> also, [mm]H_j\setminus G_i\in\rho(\mathcal{H})[/mm] für alle
> [mm]i=1,\ldots,n[/mm] und [mm]j=1,\ldots,m[/mm] zu zeigen, um [mm]A\setminus B\in\rho(\mathcal{H})[/mm]
> nachzuweisen.
Ok. aber wie??? :-(
>
> Was weißt du über [mm]H_j\setminus G_i[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm] ein
> Halbring ist?
ich weiß, dass [mm] \emptyset \in \mathcal{H}
[/mm]
Ich weiß, dass ich die Vereinigung paarweise disjunkter [mm] H_{j} [/mm] auch als summe schreiben kann.
Ich weiß, dass die Schnittmenge von A, B - falls A, B in [mm] \mathcal{H} [/mm] - auch in [mm] \mathcal{H} [/mm] ist.
Ich könnte es doch auch irgendwie so machen, dass ich mir C:= [mm] \bigcap_{i=1}^{m}(H_{j} [/mm] \ [mm] G_{i} [/mm] ) wähle und dann nach dem einen Schritt wo ich nicht verstehe folgenderweise weitermache:
... = [mm] \summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i)) [/mm] = [mm] \summe_{j=1}^{n} H_{j} \cap [/mm] C [mm] \in \rho(\mathcal{H}).
[/mm]
oder? vllt ist das auch ganz falsch... keine ahnung... :-(
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:33 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Vielen Dank Tobi .
> Ich hoffe du hattest ein angenehmes WE .
Danke! War wirklich schön!
> > Vorbemerkung:
> >
> > Aus Hilfsbehauptung i) kann man induktiv schließen, dass
> > [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] abgeschlossen unter der Vereinigung
> > endlich vieler paarweise disjunkter Mengen ist.
> >
> > Aus Hilfsbehauptung ii) kann man induktiv schließen, dass
> > [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] abgeschlossen unter dem Schnitt endlich
> > vieler Mengen ist.
> >
> >
> > Mache dir klar:
> >
> > [mm]A\setminus B=(\summe_{j=1}^nH_j)\setminus(\summe_{i=1}^mG_i)=\summe_{j=1}^n(H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))=\summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))[/mm].
>
> Ich verstehe den letzten schritt nicht:
>
> ...= [mm]\summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))[/mm]
>
> warum kommt da aufeinmal die schnittmenge hin?
Zeige
[mm] $H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))=H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i)$
[/mm]
für alle [mm] $j=1,\ldots,n$, [/mm] indem du beide Teilmengenbeziehungen zeigst.
> > Nach den Vorbemerkungen (und unter Beachtung von
> > [mm]H_j\in\mathcal{H}\subseteq\rho(\mathcal{H})[/mm]) genügt es
> > also, [mm]H_j\setminus G_i\in\rho(\mathcal{H})[/mm] für alle
> > [mm]i=1,\ldots,n[/mm] und [mm]j=1,\ldots,m[/mm] zu zeigen, um [mm]A\setminus B\in\rho(\mathcal{H})[/mm]
> > nachzuweisen.
>
> Ok. aber wie??? :-(
Siehe unten.
> > Was weißt du über [mm]H_j\setminus G_i[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm] ein
> > Halbring ist?
> ich weiß, dass [mm]\emptyset \in \mathcal{H}[/mm]
> Ich weiß, dass
> ich die Vereinigung paarweise disjunkter [mm]H_{j}[/mm] auch als
> summe schreiben kann.
Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen kann man immer als Summe schreiben. Das hat nichts damit zu tun, dass [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ein Halbring ist.
> Ich weiß, dass die Schnittmenge von A, B - falls A, B in
> [mm]\mathcal{H}[/mm] - auch in [mm]\mathcal{H}[/mm] ist.
Die dritte Halbringeigenschaft fehlt noch. Und genau die kannst du auf [mm] $H_j$ [/mm] und [mm] $G_i$ [/mm] anwenden, um eine Aussage über [mm] $H_j\setminus G_i$ [/mm] zu bekommen.
> Ich könnte es doch auch irgendwie so machen, dass ich mir
> C:= [mm]\bigcap_{i=1}^{m}(H_{j}[/mm] \ [mm]G_{i}[/mm] ) wähle
Beachte: Dein $C$ hängt von $j$ ab. Ich würde daher [mm] $C_j$ [/mm] statt $C$ schreiben.
> und dann nach
> dem einen Schritt wo ich nicht verstehe folgenderweise
> weitermache:
>
> ... = [mm]\summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))[/mm]
> = [mm]\summe_{j=1}^{n} H_{j} \cap[/mm] C [mm]\in \rho(\mathcal{H}).[/mm]
>
> oder? vllt ist das auch ganz falsch... keine ahnung... :-(
Warum gilt [mm]\summe_{j=1}^{n} (H_{j} \cap[/mm] [mm] C_j)[/mm] [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]?
Für alle [mm] $j=1,\ldots,n$ [/mm] und alle [mm] $i=1,\ldots,m$ [/mm] gilt:
Da [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ein Halbring ist und [mm] $H_j,G_i\in\mathcal{H}$ [/mm] gilt, existieren ein [mm] $l\in\IN$ [/mm] und paarweise disjunkte Mengen [mm] $F_1,\ldots,F_l\in\mathcal{H}$ [/mm] mit [mm] $H_j\setminus G_i=\summe_{k=1}^lF_k$.
[/mm]
Also gilt wie gewünscht [mm] $H_j\setminus G_i=\summe_{k=1}^lF_k\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:41 Mo 21.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
> > Vielen Dank Tobi .
> > Ich hoffe du hattest ein angenehmes WE .
> Danke! War wirklich schön!
>
>
> > > Vorbemerkung:
> > >
> > > Aus Hilfsbehauptung i) kann man induktiv schließen, dass
> > > [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] abgeschlossen unter der Vereinigung
> > > endlich vieler paarweise disjunkter Mengen ist.
> > >
> > > Aus Hilfsbehauptung ii) kann man induktiv schließen, dass
> > > [mm]\rho(\mathcal{H})[/mm] abgeschlossen unter dem Schnitt endlich
> > > vieler Mengen ist.
> > >
> > >
> > > Mache dir klar:
> > >
> > > [mm]A\setminus B=(\summe_{j=1}^nH_j)\setminus(\summe_{i=1}^mG_i)=\summe_{j=1}^n(H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))=\summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))[/mm].
>
> >
> > Ich verstehe den letzten schritt nicht:
> >
> > ...= [mm]\summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))[/mm]
>
> >
> > warum kommt da aufeinmal die schnittmenge hin?
> Zeige
>
> [mm]H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))=H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i)[/mm]
ich habe garkeine idee wie ich da drauf kommen soll?! den schritt verstehe ich ja leider nicht :-(
>
> für alle [mm]j=1,\ldots,n[/mm], indem du beide
> Teilmengenbeziehungen zeigst.
>
>
> > > Nach den Vorbemerkungen (und unter Beachtung von
> > > [mm]H_j\in\mathcal{H}\subseteq\rho(\mathcal{H})[/mm]) genügt es
> > > also, [mm]H_j\setminus G_i\in\rho(\mathcal{H})[/mm] für alle
> > > [mm]i=1,\ldots,n[/mm] und [mm]j=1,\ldots,m[/mm] zu zeigen, um [mm]A\setminus B\in\rho(\mathcal{H})[/mm]
> > > nachzuweisen.
> >
> > Ok. aber wie??? :-(
> Siehe unten.
>
> > > Was weißt du über [mm]H_j\setminus G_i[/mm], da [mm]\mathcal{H}[/mm] ein
> > > Halbring ist?
> > ich weiß, dass [mm]\emptyset \in \mathcal{H}[/mm]
> > Ich weiß,
> dass
> > ich die Vereinigung paarweise disjunkter [mm]H_{j}[/mm] auch als
> > summe schreiben kann.
> Vereinigungen paarweise disjunkter Mengen kann man immer
> als Summe schreiben. Das hat nichts damit zu tun, dass
> [mm]\mathcal{H}[/mm] ein Halbring ist.
>
> > Ich weiß, dass die Schnittmenge von A, B - falls A, B in
> > [mm]\mathcal{H}[/mm] - auch in [mm]\mathcal{H}[/mm] ist.
> Die dritte Halbringeigenschaft fehlt noch. Und genau die
> kannst du auf [mm]H_j[/mm] und [mm]G_i[/mm] anwenden, um eine Aussage über
> [mm]H_j\setminus G_i[/mm] zu bekommen.
>
> > Ich könnte es doch auch irgendwie so machen, dass ich mir
> > C:= [mm]\bigcap_{i=1}^{m}(H_{j}[/mm] \ [mm]G_{i}[/mm] ) wähle
> Beachte: Dein [mm]C[/mm] hängt von [mm]j[/mm] ab. Ich würde daher [mm]C_j[/mm]
> statt [mm]C[/mm] schreiben.
>
> > und dann nach
> > dem einen Schritt wo ich nicht verstehe folgenderweise
> > weitermache:
> >
> > ... = [mm]\summe_{j=1}^n(H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i))[/mm]
> > = [mm]\summe_{j=1}^{n} H_{j} \cap[/mm] C [mm]\in \rho(\mathcal{H}).[/mm]
> >
>
> > oder? vllt ist das auch ganz falsch... keine ahnung... :-(
> Warum gilt [mm]\summe_{j=1}^{n} (H_{j} \cap[/mm] [mm]C_j)[/mm] [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]?
>
>
> Für alle [mm]j=1,\ldots,n[/mm] und alle [mm]i=1,\ldots,m[/mm] gilt:
> Da [mm]\mathcal{H}[/mm] ein Halbring ist und [mm]H_j,G_i\in\mathcal{H}[/mm]
> gilt, existieren ein [mm]l\in\IN[/mm] und paarweise disjunkte Mengen
> [mm]F_1,\ldots,F_l\in\mathcal{H}[/mm] mit [mm]H_j\setminus G_i=\summe_{k=1}^lF_k[/mm].
>
> Also gilt wie gewünscht [mm]H_j\setminus G_i=\summe_{k=1}^lF_k\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
Das ist ja jetzt schon der Beweis zu 2.....
oder???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:01 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> > Zeige
> > [mm]H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))=H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i)[/mm]
>
> ich habe garkeine idee wie ich da drauf kommen soll?! den
> schritt verstehe ich ja leider nicht :-(
> >
> > für alle [mm]j=1,\ldots,n[/mm], indem du beide
> > Teilmengenbeziehungen zeigst.
Beweisen kannst du beide Teilmengenbeziehungen ohne selbst auf die behauptete Gleichheit gekommen zu sein.
Zu meiner Idee dahinter:
Ziel war, [mm] $H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))$ [/mm] in einen Ausdruck aus gewissen [mm] $H_j\setminus G_i$ [/mm] umzuformen, um die passende Halbringeigenschaft von [mm] $\mathcal{H}$ [/mm] ins Spiel bringen zu können.
[mm] $\omega\in H_j\setminus(\summe_{i=1}^mG_i))$ [/mm] bedeutet [mm] $\omega\in H_j$ [/mm] und [mm] $\omega\notin G_i$ [/mm] für alle [mm] $i=1,\ldots,m$.
[/mm]
Das wiederum kann man komplizierter ausdrücken durch [mm] $\omega\in H_j$ [/mm] und [ [mm] $\omega\in H_j$ [/mm] und [mm] $\omega\notin G_i$ [/mm] ] für alle [mm] $i=1,\ldots,m$.
[/mm]
Dies ist wiederum gleichbedeutend mit [mm] $\omega\in H_j\cap\bigcap_{i=1}^m(H_j\setminus G_i)$.
[/mm]
> > Für alle [mm]j=1,\ldots,n[/mm] und alle [mm]i=1,\ldots,m[/mm] gilt:
> > Da [mm]\mathcal{H}[/mm] ein Halbring ist und
> [mm]H_j,G_i\in\mathcal{H}[/mm]
> > gilt, existieren ein [mm]l\in\IN[/mm] und paarweise disjunkte Mengen
> > [mm]F_1,\ldots,F_l\in\mathcal{H}[/mm] mit [mm]H_j\setminus G_i=\summe_{k=1}^lF_k[/mm].
>
> >
> > Also gilt wie gewünscht [mm]H_j\setminus G_i=\summe_{k=1}^lF_k\in\rho(\mathcal{H})[/mm].
>
> Das ist ja jetzt schon der Beweis zu 2.....
> oder???
Damit habe ich alles zum Beweis von [mm] $A\setminus B\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] für alle [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})$ [/mm] nötige einmal geschrieben.
(Wenn ich mich nicht vertue, war das Eigenschaft 3. eines Ringes.)
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 So 20.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Habe jetzt 2. versucht zu beweisen. Hier mein Lösungsvorschlag:
Zu 2.:
A, B [mm] \in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
Da ich in der Hilfsbehauptung (i) gezeigt habe, dass [mm] H_{j} \wedge G_{i} [/mm] paarweise disjunkt sind, gilt:
A [mm] \cup [/mm] B = [mm] (\summe_{j=1}^{n} H_{j}) \cup (\summe_{i=1}^{m} G_{i}) [/mm] = [mm] (\bigcup_{j \in \{ 1, ...., n \}} H_{j}) \cup (\bigcup_{i \in \{ 1, ...., m \}} G_{i}) [/mm] = [mm] \bigcup_{j \in \{ 1, ...., n \}; i \in \{1, ..., m\}} (H_{j} \cup G_{i}) [/mm] = [mm] \summe_{j \in \{ 1, ...., n \}; i \in \{1, ..., m\}} (H_{j} \cup G_{i}) \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
richtig????
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:09 Mo 21.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Habe jetzt 2. versucht zu beweisen. Hier mein
> Lösungsvorschlag:
>
> Zu 2.:
>
> A, B [mm]\in \rho(\mathcal{H}) \Rightarrow[/mm] A [mm]\cup[/mm] B [mm]\in \rho(\mathcal{H})[/mm]
Seien [mm] $H_1,\ldots,H_n,G_1,\ldots,G_m$ [/mm] wie zuvor gewählt.
> Da ich in der Hilfsbehauptung (i) gezeigt habe, dass [mm]H_{j} \wedge G_{i}[/mm]
> paarweise disjunkt sind, gilt:
In (i) waren auch $A$ und $B$ disjunkt. Das sind sie in 2. nicht notwendigerweise. Im Allgemeinen sind für [mm] $j\in\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und [mm] $i\in\{1,\ldots,m\}$ [/mm] die beiden Mengen [mm] $H_j$ [/mm] und [mm] $G_i$ [/mm] nicht disjunkt.
> A [mm]\cup[/mm] B = [mm](\summe_{j=1}^{n} H_{j}) \cup (\summe_{i=1}^{m} G_{i})[/mm]
> = [mm](\bigcup_{j \in \{ 1, ...., n \}} H_{j}) \cup (\bigcup_{i \in \{ 1, ...., m \}} G_{i})[/mm]
> = [mm]\bigcup_{j \in \{ 1, ...., n \}; i \in \{1, ..., m\}} (H_{j} \cup G_{i})[/mm]
Bis hierhin stimmt es zumindest im Falle $j>0$ und $i>0$.
> = [mm]\summe_{j \in \{ 1, ...., n \}; i \in \{1, ..., m\}} (H_{j} \cup G_{i}) \in \rho(\mathcal{H})[/mm]
Selbst wenn $A$ und $B$ disjunkt WÄREN, läge hier im Allgemeinen keine disjunkte Vereinigung vor.
Nutze [mm] $A\cup B=A+(B\setminus [/mm] A)$, 3. und Hilfsbehauptung i).
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:19 Di 22.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
So, ich möchte nun dieses Forum abschließen.
Dazu möchte ich den Punkt 2. noch versuchen zu beweisen.
Also:
Du hast ja gesagt, dass folgendes gilt:
A [mm] \cup [/mm] B = A+(B \ A)
gut.
Dann versuche ich es mal so:
Sei A [mm] \wedge [/mm] B wie zuvor gewählt.
Sei des weiteren A \ B = [mm] \summe_{i=1}^{m} G_{i} [/mm] \ [mm] \summe_{j=1}^{n} H_{j} [/mm] := [mm] \summe_{k=1}^{l} M_{k}
[/mm]
Dann gilt: A [mm] \cup [/mm] B = [mm] (\summe_{j=1}^{n} H_{j}) [/mm] + [mm] (\summe_{k=1}^{l} M_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{j \in \{1, ..., n\}; k \in \{1, ..., l\}} (H_{j} [/mm] + [mm] M_{k}) \in \rho(\mathcal{H})
[/mm]
richtig??? Oder wieder totaler schmarn???
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:49 Di 22.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Dazu möchte ich den Punkt 2. noch versuchen zu beweisen.
>
> Also:
>
> Du hast ja gesagt, dass folgendes gilt:
>
> A [mm]\cup[/mm] B = A+(B \ A)
>
> gut.
>
> Dann versuche ich es mal so:
>
> Sei A [mm]\wedge[/mm] B wie zuvor gewählt.
>
> Sei des weiteren A \ B = [mm]\summe_{i=1}^{m} G_{i}[/mm] \
> [mm]\summe_{j=1}^{n} H_{j}[/mm] := [mm]\summe_{k=1}^{l} M_{k}[/mm]
>
> Dann gilt: A [mm]\cup[/mm] B = [mm](\summe_{j=1}^{n} H_{j})[/mm] +
> [mm](\summe_{k=1}^{l} M_{k})[/mm] = [mm]\summe_{j \in \{1, ..., n\}; k \in \{1, ..., l\}} (H_{j}[/mm]
> + [mm]M_{k}) \in \rho(\mathcal{H})[/mm]
Deine letzte Vereinigung ist im Allgemeinen nicht disjunkt.
Diesen Teil kann man unter Benutzung der vorherigen Teile ohne Rückgriff auf irgendwelche [mm] $H_j$ [/mm] und [mm] $G_i$ [/mm] beweisen:
Seien [mm] $A,B\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
Dann gilt nach 3. auch [mm] $B\setminus A\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
Nach Hilfsbehauptung i) folgt wie gewünscht [mm] $A\cup B=A+(B\setminus A)\in\rho(\mathcal{H})$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:16 Mi 23.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Ok. DANKE DANKE DANKE DANKE DANKE!!!!!
Hiermit ist glaub ich dieses Forum abgeschlossen und somit auch sämtliche beweise.
Ein GROßES DANKESCHÖN an alle die geholfen haben!!!!
LG
Ali
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:24 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
Zu zeigen ist bei 2., dass jedes Ringsystem ein Halbringsystem ist.
Sei also [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] ein Ringsystem.
Wir wissen also, dass
1. [mm] \mathcal{R} \not= \emptyset [/mm]
2. A, B [mm] \in \mathcal{R} \Rightarrow [/mm] A [mm] \cup [/mm] B [mm] \in \mathcal{R} [/mm]
3. A, B [mm] \in \mathcal{R} \Rightarrow [/mm] A \ B [mm] \in \mathcal{R}
[/mm]
gilt.
Zeigen müssen wir, dass [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] ein Ringsystem ist, also dass
(i) [mm] \emptyset \in \mathcal{R} [/mm]
(ii) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathcal{R} [/mm] : [mm] \exists [/mm] n : [mm] \exists C_{1},...,C_{n} \in \mathcal{R} [/mm] paarweise disj. [mm] \wedge [/mm] A \ B = [mm] \summe_{j=1}^{n}C_{j} [/mm] = [mm] \bigcup_{i=1}^{*}C_{j } [/mm]
(iii) [mm] \forall [/mm] A,B [mm] \in \mathcal{R} [/mm] : A [mm] \cap [/mm] B [mm] \in \mathcal{R}
[/mm]
gilt.
Zu (i):
Nach 1. existiert ein [mm] $R\in\mathcal{R}$. [/mm] Nach 3. gilt somit [mm] $\emptyset=R\setminus R\in\mathcal{R}$.
[/mm]
Zu (ii):
Seien [mm] $A,B\in\mathcal{R}$. [/mm] Zu zeigen ist, dass eine natürliche Zahl $n$ und paarweise disjunkte $ [mm] C_{1},...,C_{n} \in \mathcal{R}$ [/mm] existieren mit $A [mm] \setminus [/mm] B = [mm] \bigcup_{i=1}^{n}C_{j }$.
[/mm]
Finde also eine solche natürliche Zahl $n$ und solche [mm] $C_1,\ldots,C_n$!
[/mm]
Verwende dazu 3. und denke mal wieder an $n=1$ oder $n=2$.
Zu (iii):
Seien [mm] $A,B\in\mathcal{R}$. [/mm] Zu zeigen ist [mm] $A\cap B\in\mathcal{R}$.
[/mm]
Es gilt
[mm] $A\cap B=A\setminus(A\setminus [/mm] B)$.
Was folgt also aus 3.?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Zu (ii):
n:=1 [mm] \wedge C_{1}:=C
[/mm]
Da C [mm] \in \mathcal{R} [/mm] war, gilt somit [mm] C_{1} \in \mathcal{R}.
[/mm]
Das System [mm] C_{1}, [/mm] ..., [mm] C_{n} [/mm] (also das System nur aus [mm] C_{1} [/mm] bestehend) ist paarweise disjunkt, da es gar kein i, j [mm] \in [/mm] { 1, ..., n } = { 1 } mit i [mm] \not= [/mm] j gibt.
Es gilt somit [mm] C=\bigcup_{i=1}^{n}C_{j} \in \mathcal{R}.
[/mm]
richtig????
Zu (iii):
Da A, B [mm] \in \mathcal{R} [/mm] folgt aus 3., dass A \ B auch in [mm] \mathcal{R} [/mm] ist.
Sei nun C:= A \ B dann ist C [mm] \in \mathcal{R}. [/mm] Und da somit A, C [mm] \in \mathcal{R}, [/mm] folgt daraus, dass A \ C auch in [mm] \mathcal{R} [/mm] ist. Also wie gewünscht A \ ( A \ B ) [mm] \in \mathcal{R}.
[/mm]
richtig???
Danke schonmal.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Zu (ii):
>
> n:=1 [mm]\wedge C_{1}:=C[/mm]
Wo kommt $C$ auf einmal her? Was soll $C$ sein?
> Da C [mm]\in \mathcal{R}[/mm] war, gilt somit [mm]C_{1} \in \mathcal{R}.[/mm]
Für den Fall, dass das ominöse unbekannte $C$ tatsächlich ein Element von [mm] $\mathcal{R}$ [/mm] sein soll, ist das folgerichtig.
> Das System [mm]C_{1},[/mm] ..., [mm]C_{n}[/mm] (also das System nur aus [mm]C_{1}[/mm]
> bestehend) ist paarweise disjunkt, da es gar kein i, j [mm]\in[/mm]
> { 1, ..., n } = { 1 } mit i [mm]\not=[/mm] j gibt.
Ebenfalls folgerichtig.
> Es gilt somit [mm]C=\bigcup_{i=1}^{n}C_{j} \in \mathcal{R}.[/mm]
[mm] $C\in\mathcal{R}$ [/mm] hattest du doch schon oben behauptet?!
Was hat das ganze mit einem Nachweis der Existenz von [mm] $n\in\IN$ [/mm] und paarweise disjunkten [mm] $C_1,\ldots,C_n\in\mathcal{R}$ [/mm] mit [mm] $A\setminus B=\bigcup_{i=1}^nC_i$ [/mm] zu tun?
Vielleicht meintest du [mm] $C:=A\setminus [/mm] B$?
Dann gilt [mm] $C\in\mathcal{R}$ [/mm] nach Ringeigenschaft 3. und du kannst mit $n:=1$ und [mm] $C_1:=C$ [/mm] wie oben argumentieren.
> Zu (iii):
>
> Da A, B [mm]\in \mathcal{R}[/mm] folgt aus 3., dass A \ B auch in
> [mm]\mathcal{R}[/mm] ist.
> Sei nun C:= A \ B dann ist C [mm]\in \mathcal{R}.[/mm] Und da somit
> A, C [mm]\in \mathcal{R},[/mm] folgt daraus, dass A \ C auch in
> [mm]\mathcal{R}[/mm] ist. Also wie gewünscht A \ ( A \ B ) [mm]\in \mathcal{R}.[/mm]
Sehr schön!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Hier eine verbesserung:
Zu (ii): n:=1 [mm] \wedge [/mm] C:=A \ B [mm] \wedge C_{1}:= [/mm] C
Da C [mm] \in \mathcal{R} [/mm] war (3. der Definition), gilt somit [mm] C_{1} \in \mathcal{R}. [/mm]
Das System [mm] C_{1}, [/mm] ..., [mm] C_{n} [/mm] (also das System nur aus [mm] C_{1} [/mm] bestehend) ist paarweise disjunkt, da es gar kein i, j [mm] \in [/mm] { 1, ..., n } = { 1 } mit i [mm] \not= [/mm] j gibt. Es gilt somit [mm] C_{1}=C=A [/mm] \ B = [mm] \summe_{j=1}^{n}C_{j}=\bigcup_{i=1}C_{j}.
[/mm]
Richtig???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Hier eine verbesserung:
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> Zu (ii): n:=1 [mm]\wedge[/mm] C:=A \ B [mm]\wedge C_{1}:=[/mm] C
> Da C [mm]\in \mathcal{R}[/mm] war (3. der Definition), gilt somit
> [mm]C_{1} \in \mathcal{R}.[/mm]
> Das System [mm]C_{1},[/mm] ..., [mm]C_{n}[/mm] (also das System nur aus [mm]C_{1}[/mm]
> bestehend) ist paarweise disjunkt, da es gar kein i, j [mm]\in[/mm]
> { 1, ..., n } = { 1 } mit i [mm]\not=[/mm] j gibt. Es gilt somit
> [mm]C_{1}=C=A[/mm] \ B = [mm]\summe_{j=1}^{n}C_{j}=\bigcup_{i=1}C_{j}.[/mm]
>
>
> Richtig???
Ja! (Kleiner Tippfehler: Am Ende muss es natürlich [mm] $\bigcup_{j=1}^n$ [/mm] statt [mm] $\bigcup_{i=1}$ [/mm] heißen.)
Anstelle der letzten Gleichungskette würde ich
[mm] $A\setminus B=C=C_1=\summe_{j=1}^nC_j=\bigcup_{j=1}^nC_j$
[/mm]
schreiben.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:08 Di 15.10.2013 | | Autor: | piriyaie |
Wie gehe ich nun die 1 b) an? Da ist ja die frage ob [mm] \rho (\mathcal{H}) [/mm] ein Ringsystem ist.
Da muss ich ja dann wieder die Definitionen durchgehen. Oder? Irgendwelche Tipps?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:37 Di 15.10.2013 | | Autor: | tobit09 |
> Wie gehe ich nun die 1 b) an? Da ist ja die frage ob [mm]\rho (\mathcal{H})[/mm]
> ein Ringsystem ist.
Bzw. es ist die Behauptung zu beweisen, dass [mm] $\rho(\mathcal{H})$ [/mm] ein Ringsystem ist.
> Da muss ich ja dann wieder die Definitionen durchgehen.
Ja.
> Oder? Irgendwelche Tipps?
Siehe meine Antwort hier (klick).
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