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Der Graph der Funktion f., die Tangente an den Graphen im Punkt P und die beiden Koordinatenachsen begrenzen eine Fläche. Diese rotiert um die 1. Achse bzw. um die 2. Achse. Berechne die Volumina der entstehenden Drehkörper.
a) [mm] f(x)=\bruch{1}{2}*x^2+1, [/mm] P(4/f(4))
Mein Versuch:
a) P=(4/9)
f'(x)=x =>4
y=k*x+d
Einsetzen: 9=4*4+d
d=-7
Die Tangentengleichung lautet: y=4*x-7
Volumen zwischen 0;4
[mm] V=\pi*\int(0,5*x^2+1)^2
[/mm]
[mm] =\pi*\int 0,25*x^4+x^2+1
[/mm]
[mm] V=\pi*(\bruch{0,25*x^5}{5}+\bruch{x^3}{3}+x
[/mm]
Einsetzen: [mm] V=\pi*76,53 E^3
[/mm]
Stimmt das bzw. wie berechne ich mir das richtig?
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Hallo,
> Der Graph der Funktion f., die Tangente an den Graphen im
> Punkt P und die beiden Koordinatenachsen begrenzen eine
> Fläche. Diese rotiert um die 1. Achse bzw. um die 2.
> Achse. Berechne die Volumina der entstehenden Drehkörper.
> a) [mm]f(x)=\bruch{1}{2}*x^2+1,[/mm] P(4/f(4))
>
> Mein Versuch:
> a) P=(4/9)
> f'(x)=x =>4
> y=k*x+d
> Einsetzen: 9=4*4+d
> d=-7
> Die Tangentengleichung lautet: y=4*x-7
> Volumen zwischen 0;4
> [mm]V=\pi*\int(0,5*x^2+1)^2[/mm]
> [mm]=\pi*\int 0,25*x^4+x^2+1[/mm]
>
> [mm]V=\pi*(\bruch{0,25*x^5}{5}+\bruch{x^3}{3}+x[/mm]
> Einsetzen: [mm]V=\pi*76,53 E^3[/mm]
> Stimmt das bzw. wie berechne
> ich mir das richtig?
Zunächst mal ist das Rechnen mit Dezimalzahlen in diesem Zusammenhang äußerst unklug und für uns erhlich gesagt beim Nachkontrolieren eher nervig. Was du da versucht hast zu rechnen ist allein das Volumen, welches die Funktion f bei Rotation um die x-Achse im Intervall von 0 bis 4 einschließt. Wo sind da eigentlich BTW die Integrationsgrenzen und das Differenzial??? Dein Ansatz scheint (bis auf die fehlenden Grenzen) richtig zu sein, das Resultat ist jedoch falsch. Zur Kontrolle: für dieses Volumen erhalte ich
[mm] V=\bruch{1148}{15}\pi\approx{240.44}VE
[/mm]
Jedoch bist du damit noch nicht sehr weit gediehen. Die fragliche Tangente bildet ab ihrer Nullstelle bis x=4 bei der Rotation einen Kegel, dessen Volumen hier noch zu subtrahieren ist. Auch dann kommt aber dein Ergebnis nicht heraus.
Die Teilaufgabe b) hast du ja dann sinvollerweise erst einmal außen vorgelassen, ich denke a) ist ersteinmal eine ausreichend große Baustelle. 
Rechne nochmal sauberer als oben, gib deine Rechnung nachvollziehbar an und vergiss nicht, den Kegel abzuziehen.
Gruß, Diophant
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Ich habe mich zunächst beim Integrieren geirrt:
[mm] V=\pi* \int \bruch{1}{4}*x^4+x^2+1
[/mm]
[mm] =\pi* \bruch{x^5}{5}+\bruch{x^3}{3}+x
[/mm]
(4 [mm] Einsetzen)=\bruch{3*4^5}{15}+\bruch{5*4^3}{15}+\bruch{15*4}{15}=\bruch{3452}{15}*\pi= [/mm] 722,9851893
[mm] V=\pi*(204,8+21,33333+4)=722,9851789
[/mm]
Stimmt? Bzw. was ist nun mein Fehler?
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Hallo,
du machst es einem nicht gerade einfach.
> Ich habe mich zunächst beim Integrieren geirrt:
>
> [mm]V=\pi* \int \bruch{1}{4}*x^4+x^2+1[/mm]
> [mm]=\pi* \bruch{x^5}{5}+\bruch{x^3}{3}+x[/mm]
>
> (4
> [mm]Einsetzen)=\bruch{3*4^5}{15}+\bruch{5*4^3}{15}+\bruch{15*4}{15}=\bruch{3452}{15}*\pi=[/mm]
> 722,9851893
> [mm]V=\pi*(204,8+21,33333+4)=722,9851789[/mm]
>
> Stimmt? Bzw. was ist nun mein Fehler?
WO SIND DIE GRENZEN DES INTEGRALS UND WO IST DAS DIFFERENZIAL???
Falsch ist es auch, da der Vorfaktor vor dem [mm] x^5 [/mm] natürlich 1/20 sein muss. Und wie gesagt: das was du da rechnest ist in deiner Aufgabe nicht gesucht...
Gruß, Diophant
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Ich habe mir nun das Beispiel nocheinmal angeschaut und glaube es folgend zu lösen:
Die Tangente war ja y=4*x-7
dann ist deren Nullstelle 1,75
somit ist V= [mm] \pi* \int [/mm] f(x)² (=Kurve zwischen [mm] 0;4)-\pi*\int [/mm] g(x)² (=Gerade zwischen 1,75 und 4)
Kurve:
[mm] =\pi*\integral_{0}^{4}{ \bruch{1}{4}\cdot{}x^4+x^2+1 dx}
[/mm]
Integrieren und einsetzen:
[mm] V=\pi* (\bruch{4^5}{20}+\bruch{4^3}{3}+4)=\pi*76,5333 [/mm] E³
Nun die Gerade integrieren:
[mm] V=\pi*\integral_{1,75}^{4}{16x^2-56x+49 dx}
[/mm]
[mm] V=\pi*(16x^3/3-56x^2/2+49x)
[/mm]
1,75 [mm] Einsetzen=\bruch{85,75}{3}-\bruch{171,5}{2}+85,75=28,583*\pi
[/mm]
4 Einsetzen: [mm] \pi* (\bruch{1024}{3}-\bruch{896}{2}+196)=89,3333*\pi
[/mm]
[mm] =89,333-28,583=60,74999~60,75*\pi
[/mm]
Nun subtrahieren: [mm] V)=\pi*(76,53-60,75)=15,777*pi=49,5649073 [/mm] E³
Stimmt meine Rechnung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:34 Fr 17.01.2014 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Ich habe mir nun das Beispiel nocheinmal angeschaut und
> glaube es folgend zu lösen:
> Die Tangente war ja y=4*x-7
> dann ist deren Nullstelle 1,75
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> somit ist V= [mm]\pi* \int[/mm] f(x)² (=Kurve zwischen
> [mm]0;4)-\pi*\int[/mm] g(x)² (=Gerade zwischen 1,75 und 4)
Aber
V = [mm] $\pi *\integral_{0}^{4}{f(x)^2 dx} [/mm] - [mm] \pi*\integral_{1,75}^{4}{g(x)^2 dx}$
[/mm]
sieht einfach besser aus und ist formal richtig.
> Kurve:
> [mm]=\pi*\integral_{0}^{4}{ \bruch{1}{4}\cdot{}x^4+x^2+1 dx}[/mm]
>
> Integrieren und einsetzen:
> [mm]V=\pi* (\bruch{4^5}{20}+\bruch{4^3}{3}+4)=\pi*76,5333[/mm] E³
> Nun die Gerade integrieren:
> [mm]V=\pi*\integral_{1,75}^{4}{16x^2-56x+49 dx}[/mm]
>
> [mm]V=\pi*(16x^3/3-56x^2/2+49x)[/mm]
> 1,75
> [mm]Einsetzen=\bruch{85,75}{3}-\bruch{171,5}{2}+85,75=28,583*\pi[/mm]
> 4 Einsetzen: [mm]\pi* (\bruch{1024}{3}-\bruch{896}{2}+196)=89,3333*\pi[/mm]
>
> [mm]=89,333-28,583=60,74999~60,75*\pi[/mm]
> Nun subtrahieren:
> [mm]V)=\pi*(76,53-60,75)=15,777*pi=49,5649073[/mm] E³
>
> Stimmt meine Rechnung?
(in Genauigkeit bis eine Nachkommastelle)
Gruß
meili
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Vielen Dank!
Ich weiß eure Hilfe sehr zu schätzen, doch ich muss euch "warnen", da ich bald eine Schularbeit habe werde ich euch noch ein paar mal mit Fragen zu meinen Rechenversuchen "belästigen" müssen ;)
Lg!
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