Rund um eine Pyramide < Abivorbereitung < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide. Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide! |
V= [mm] \bruch{1}{3}G*h
[/mm]
G= Grundfläche
h= Höhe
E: 4x+4y+3z=24
[mm] \bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0
[/mm]
Ursprung P(0,0,0)
d(P,E)= 3,748
Schnittwinkel:
[mm] \vec{a}=\overrightarrow{BC}
[/mm]
[mm] \vec{b}=\overrightarrow{AC}
[/mm]
[mm] cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}
[/mm]
[mm] =\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}
[/mm]
[mm] =\bruch{64}{100}
[/mm]
[mm] cos\alpha= [/mm] 0,65
[mm] \alpha=50,2°
[/mm]
Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen könnte!
Kann mir jemand behilflich sein?
Gruß Steffie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
>
> Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> V= [mm]\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>
> G= Grundfläche
> h= Höhe
>
> E: 4x+4y+3z=24
>
> [mm]\bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0[/mm]
>
> Ursprung P(0,0,0)
>
> d(P,E)= 3,748
>
> Schnittwinkel:
>
> [mm]\vec{a}=\overrightarrow{BC}[/mm]
> [mm]\vec{b}=\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> [mm]cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{64}{100}[/mm]
>
> [mm]cos\alpha=[/mm] 0,65
> [mm]\alpha=50,2°[/mm]
>
> Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen
> könnte!
Du benötigst - wie du selbst schon angedeutet hast- eine Dreiecksfläche als Grundfläche und den Abstand des vierten Punktes zu dieser Grundfläche als Höhe.
In einer dreiseitigen Pyramide kann JEDE der begrenzenden Seitenflächen als Grundfläche herhalten: Suche dir eine aus (drei Punkte) und berechne deren Inhalt.
Gruß Abakus
> Kann mir jemand behilflich sein?
> Gruß Steffie
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Hallo!
Dein Abstand der Ebene zum Ursprung ist richtig.
Dein Gedanke, die Grundfläche in der von Dir aufgestellten Ebene festzulegen ist eher hinderlich - wie abakus es schon geschrieben hat.
[mm] $V=\bruch{1}{3} \cdot [/mm] G [mm] \cdot [/mm] h$.
Such' Dir eine Grundfläche, deren Inhalt Du leicht berechnen kannst.
Ansonsten hast Du einen Winkel berechnet. Dann kannst Du über
[mm] $A_\triangle [/mm] = 1/2 [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot \sin(\gamma)$ [/mm] die Fläche ausrechnen.
Gruß
mathemak
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Ich habe versucht
[mm] \overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}= \vektor{-6 \\ 6\\0}*\vektor{-6 \\ 0\\8}
[/mm]
dann bekomme ich 36 raus aber das Problem ist, ich weiß nicht weiter! Wie soll ich das einsetzen und so?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:35 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> Ich habe versucht
> [mm]\overrightarrow{AB}*\overrightarrow{AC}= \vektor{-6 \\ 6\\0}*\vektor{-6 \\ 0\\8}[/mm]
>
> dann bekomme ich 36 raus aber das Problem ist, ich weiß
> nicht weiter! Wie soll ich das einsetzen und so?
Bevor du mit Vektoren um dich wirfst: wiederhole (Stoff Klasse 7), wie man den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnet.
Gruß Abakus
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Hallo Steffie90,
auf ein Neues!
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
>
> Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> V= [mm]\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>
> G= Grundfläche
> h= Höhe
>
> E: 4x+4y+3z=24
>
> [mm]\bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0[/mm]
>
> Ursprung P(0,0,0)
>
> d(P,E)= 3,748
und damit hast du die Höhe h der Pyramide berechnet! 
>
> Schnittwinkel:
>
> [mm]\vec{a}=\overrightarrow{BC}[/mm]
> [mm]\vec{b}=\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> [mm]cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}[/mm]
>
> [mm]=\bruch{64}{100}[/mm]
>
> [mm]\cos\alpha=[/mm] 0,65![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
du berechnest den Winkel bei C, und der heißt nun mal [mm] \gamma.
[/mm]
[mm] \bruch{64}{100}\ne0,65
[/mm]
> [mm]\alpha=50,2°[/mm]
also: [mm] \gamma=50,2° [/mm] ist richtig, weil du es von früher übernommen hast.
>
> Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen
> könnte!
Berechne doch, wie die anderen dir schon mehrfach geraten haben, zunächst die Grundfläche G des Dreiecks:
mathemak schrieb:
$ [mm] A_\triangle [/mm] = 1/2 [mm] \cdot [/mm] a [mm] \cdot [/mm] c [mm] \cdot \sin(\gamma) [/mm] $
angewandt auf unsere Gegebenheiten:
[mm] a=|\vec{a}| [/mm] und [mm] b=|\vec{b}| [/mm] -> bitte ausrechnen!
Der Winkel, den du oben ausgerechnet hast, ist nicht [mm] \alpha, [/mm] sondern [mm] \gamma [/mm] !!
Damit kannst du die Dreiecksfläche berechnen - zeige uns deinen Rechenweg hier!
wenn du antwortest, kannst du mit einem Klick auf "Zitieren" (ganz unten!) alle Formeln etc. in das neue Fenster holen und dann gleich zwischen meinen Anmerkungen losrechnen.
Gruß informix
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| Aufgabe | In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide. Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide! |
> Hallo Steffie90,
> auf ein Neues!
>
> > In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> > A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
> >
> > Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> > Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> > V= [mm]\bruch{1}{3}G*h[/mm]
> >
> > G= Grundfläche
> > h= Höhe
> >
> > E: 4x+4y+3z=24
> >
> > [mm]\bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0[/mm]
> >
> > Ursprung P(0,0,0)
> >
> > d(P,E)= 3,748
> und damit hast du die Höhe h der Pyramide berechnet!
> >
> > Schnittwinkel:
> >
> > [mm]\vec{a}=\overrightarrow{BC}[/mm]
> > [mm]\vec{b}=\overrightarrow{AC}[/mm]
> >
> > [mm]cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}[/mm]
>
> >
> > [mm]=\bruch{64}{100}[/mm]
> >
> > [mm]\cos\alpha=[/mm] 0,65
> du berechnest den Winkel bei C, und der heißt nun mal
> [mm]\gamma.[/mm]
> [mm]\bruch{64}{100}\ne0,65[/mm]
> > [mm]\alpha=50,2°[/mm]
> also: [mm]\gamma=50,2°[/mm] ist richtig, weil du es von früher
> übernommen hast.
> >
> > Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen
> > könnte!
> Berechne doch, wie die anderen dir schon mehrfach geraten
> haben, zunächst die Grundfläche G des Dreiecks:
> mathemak schrieb:
> [mm]A_\triangle = 1/2 \cdot a \cdot c \cdot \sin(\gamma)[/mm]
>
> angewandt auf unsere Gegebenheiten:
> [mm]a=|\vec{a}|[/mm] und [mm]b=|\vec{b}|[/mm] -> bitte ausrechnen!
>
> Der Winkel, den du oben ausgerechnet hast, ist nicht
> [mm]\alpha,[/mm] sondern [mm]\gamma[/mm] !!
> Damit kannst du die Dreiecksfläche berechnen - zeige uns
> deinen Rechenweg hier!
>
> wenn du antwortest, kannst du mit einem Klick auf
> "Zitieren" (ganz unten!) alle Formeln etc. in das neue
> Fenster holen und dann gleich zwischen meinen Anmerkungen
> losrechnen.
>
>
> Gruß informix
4x+4y+3z=24
Ursprung P(0,0,0 )
Ich habe jetzt die Formel:
[mm] G=\bruch{1}{2}a*b*sin\gamma [/mm]
[mm] a=\overrightarrow{BC} [/mm]
[mm] b=\overrightarrow{AC} [/mm]
[mm] a=\vektor{0 \\ -6\\8} [/mm]
[mm] b=\vektor{-6 \\ 0\\8} [/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*a=\vektor{0 \\ -6\\8}*b=\vektor{-6 \\ 0\\8}*sin\gamma [/mm]
[mm] \gamma [/mm] war 50,2°
also G= 24,589
dann [mm] V=\bruch{1}{3}G*h [/mm]
h war der Abstand d(P,E)= 3,748
V= 30,715
Stimmt das?
Gruß Steffie
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:40 Mi 22.10.2008 | | Autor: | abakus |
> In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
>
> Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> > Hallo Steffie90,
> > auf ein Neues!
> >
> > > In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte
> > > A(6,0,0), B(0,6,0), C(0,0,8) und D(3,-3,8) gegeben.
> > >
> > > Die Punkte A, B, C und der Ursprung 0 bilden eine Pyramide.
> > > Berechen Sie das Volumen dieser Pyramide!
> > > V= [mm]\bruch{1}{3}G*h[/mm]
> > >
> > > G= Grundfläche
> > > h= Höhe
> > >
> > > E: 4x+4y+3z=24
> > >
> > > [mm]\bruch{4x+4y+3z-24}{\wurzel{41}}=0[/mm]
> > >
> > > Ursprung P(0,0,0)
> > >
> > > d(P,E)= 3,748
> > und damit hast du die Höhe h der Pyramide berechnet!
>
> > >
> > > Schnittwinkel:
> > >
> > > [mm]\vec{a}=\overrightarrow{BC}[/mm]
> > > [mm]\vec{b}=\overrightarrow{AC}[/mm]
> > >
> > > [mm]cos(Winkel\vec{a}, \vec{b})= \bruch{\vec{a}*\vec{b}}{|\vec{a}|*|\vec{b}|}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=\bruch{\vektor{0 \\ -6\\ 8}*\vektor{-6 \\ 0\\ 8}}{\wurzel{100}*\wurzel{100}}[/mm]
>
> >
> > >
> > > [mm]=\bruch{64}{100}[/mm]
> > >
> > > [mm]\cos\alpha=[/mm] 0,65
> > du berechnest den Winkel bei C, und der heißt nun mal
> > [mm]\gamma.[/mm]
> > [mm]\bruch{64}{100}\ne0,65[/mm]
> > > [mm]\alpha=50,2°[/mm]
> > also: [mm]\gamma=50,2°[/mm] ist richtig, weil du es von früher
> > übernommen hast.
> > >
> > > Trotzdem weiß ich nicht wie ich das Volumen errechnen
> > > könnte!
> > Berechne doch, wie die anderen dir schon mehrfach
> geraten
> > haben, zunächst die Grundfläche G des Dreiecks:
> > mathemak schrieb:
> > [mm]A_\triangle = 1/2 \cdot a \cdot c \cdot \sin(\gamma)[/mm]
> >
> > angewandt auf unsere Gegebenheiten:
> > [mm]a=|\vec{a}|[/mm] und [mm]b=|\vec{b}|[/mm] -> bitte ausrechnen!
> >
> > Der Winkel, den du oben ausgerechnet hast, ist nicht
> > [mm]\alpha,[/mm] sondern [mm]\gamma[/mm] !!
> > Damit kannst du die Dreiecksfläche berechnen - zeige
> uns
> > deinen Rechenweg hier!
> >
> > wenn du antwortest, kannst du mit einem Klick auf
> > "Zitieren" (ganz unten!) alle Formeln etc. in das neue
> > Fenster holen und dann gleich zwischen meinen
> Anmerkungen
> > losrechnen.
> >
> >
> > Gruß informix
>
>
>
>
>
> 4x+4y+3z=24
> Ursprung P(0,0,0 )
> Ich habe jetzt die Formel:
> [mm]G=\bruch{1}{2}a*b*sin\gamma[/mm]
>
> [mm]a=\overrightarrow{BC}[/mm]
> [mm]b=\overrightarrow{AC}[/mm]
>
> [mm]a=\vektor{0 \\ -6\\8}[/mm]
> [mm]b=\vektor{-6 \\ 0\\8}[/mm]
Du benötigst für die nachfolgende Rechnung die BETRÄGE der Vektoren [mm] \vec{a} [/mm] und [mm] \vec{b}.
[/mm]
Gruß Abakus
>
> [mm]\bruch{1}{2}*a=\vektor{0 \\ -6\\8}*b=\vektor{-6 \\ 0\\8}*sin\gamma[/mm]
>
> [mm]\gamma[/mm] war 50,2°
>
> also G= 24,589
>
> dann [mm]V=\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>
> h war der Abstand d(P,E)= 3,748
>
> V= 30,715
>
> Stimmt das?
> Gruß Steffie
>
>
>
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4x+4y+3z=24
> Ursprung P(0,0,0 )
> Ich habe jetzt die Formel:
> [mm]G=\bruch{1}{2}a*b*sin\gamma[/mm]
>
> [mm]a=|\overrightarrow{BC}[/mm]|
> [mm]b=|\overrightarrow{AC}[/mm]|
>
> [mm]a=|\vektor{0 \\ -6\\8}[/mm]| a= 10
> [mm]b=|\vektor{-6 \\ 0\\8}[/mm] | b=10
G= [mm]\bruch{1}{2}*a*b*sin\gamma[/mm]
>
> [mm]\gamma[/mm] war 50,2°
>
> also G= 38,414
>
> dann [mm]V=\bruch{1}{3}G*h[/mm]
>
> h war der Abstand d(P,E)= 3,748
>
> V= 47,99
>
> Stimmt das?
> Gruß Steffie
>
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:11 Mi 22.10.2008 | | Autor: | MarkusF |
Ja, das stimmt. (siehe auch andere Diskussion)
Viele Grüße,
Markus
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