Satz über Umkehrfunktion < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Do 29.09.2005 | | Autor: | Johann.S |
Hallo,
kann mir jemand etwas zu dem Beweis des Satzes über Umkehrfunktion und dem Satz über Implizite Funktionen "erzählen"?
Ich habe morgen Vordiplomprüfung und wollte nen Überblick zu den Beweisen bekommen.
Wir hatten die Sätze in der Vorlesung und es wurde halt gesagt, dass sie sehr fundamentale Sätze der Differentialrechnung im [mm] R^n [/mm] sind.
Mit den Aussagen der Sätze kann ich was anfangen, aber die Beweise verstehe ich nicht ganz. Will ich auch gar nicht aber ich hätte gern einen Überblick ne Art Beweisskizze, was die Probleme sind und wie man sie umgeht.
Einfach in ein paar Stichpunkten.
Wir hatten in der Vorlesung erst den Satz über inverse Funktionen mit Banach bewiesen und damit dann den über implizite Funktionen, aber wie bringt man sen Satz über Umkehrfunktionen auf ein Banach(Fixpunkt)-problem und warum?
Wäre nett wenn ihr mir helfen könntet, auch wenns ein bisschen knapp ist .
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:40 Fr 30.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Johann!
Gut, dann will ich mal versuchen die Beweisidee zu vermitteln.
Zunächst die (verkürzte, ohne die Voraussetzung nennende) Aussage:
Im Falle [mm] $\det [/mm] f'(a) [mm] \ne [/mm] 0$ gibt es eine offene Umgebung $V$ von $a$, so dass
[mm] $f|_V:V \to [/mm] f(V)$
ein Diffeomorphismus ist.
Zum Beweis können wir oBdA $a=0$, $f(0)=0$ und [mm] $f'(0)=id_{\IR^n}$ [/mm] annehmen.
Ziel ist es jetzt sich für ein festes $y$ eine Funktion [mm] $\Phi_y$ [/mm] zu konstruieren, die genau in solchen Punkten $x$ Fixpunkte besitzt, für die $f(x)=y$ gilt.
Wenn wir es geschafft haben zu zeigen, dass [mm] $\Phi_y$ [/mm] lokal den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktsatzes genügt, dann folgt aus ebendiesem: Für alle $y$ in einer Umgebung von $0$ gibt es genau ein $x$ aus einer Umgebung von $0$ mit [mm] $\Phi_y(x)=x$, [/mm] also mit $f(x)=y$. Dies zeigt dann schon einmal, dass $f$ lokal (in einer Umgebung von $0$)bijektiv (und differenzierbar ja sowieso, nach Voraussetzung) ist. Anschließend muss man dann noch die Stetigkeit/Differenzierbarkeit der Umkehrabbildung zeigen.
Wie sieht denn nun diese "Wunderfunktion" aus, deren Fixpunkte für festes $y$ genau die Urbilder von $y$ unter $f$ liefern und die so wunderbar den Voraussetzungen des Banachschen Fixpunktes genügt?
Ganz einfach:
[mm] $\Phi_y(x)=x-f(x)+y$.
[/mm]
Beachte also:
[mm] $\Phi_y(x)=x \quad \Leftrightarrow \quad [/mm] f(x)=y$.
Das ist die Beweisidee!
Liebe Grüße
Julius
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