Satz vom regulären Wert < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Di 21.12.2010 | | Autor: | Teufel |
| Aufgabe | | Sei $f: [mm] M\to [/mm] N$ eine [mm] C^k-Abbildung [/mm] zwischen [mm] C^k-Mannigfaltigkeiten. [/mm] Sei y ein regulärer Wert von f. Zeige: [mm] f^{-1}(y) [/mm] ist eine Mannigfaltigkeit der Dimension dim(M)-dim(N). |
Hi!
Irgendwie werde ich nicht mit Mannigfaltigkeiten warm und nun soll ich das hier beweisen. Ich habe bis jetzt eigentlich nur
[mm] $f^{-1}(y)=\{x \in M|f(x)=y\}=\{x \in M|f(x)-y=0\}$ [/mm] und [mm] $T_x [/mm] f: [mm] T_x [/mm] M [mm] \to T_{f(x)} [/mm] N$ ist surjektiv, aber das sind ja nur 2 einfache Definitionen.
Ich weiß nicht, wie ich nun einbauen soll, dass y ein regulärer Wert ist.
Und ich weiß auch nicht, wie ich überhaupt weitermachen soll. Spontan würde ich sagen, dass man vielleicht irgendwas mit Karten machen muss, aber mir will damit kein guter Ansatz einfallen.
Kann mir bitte jemand helfen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:24 Di 21.12.2010 | | Autor: | Berieux |
Hi!
Man zeigt, dass [mm] f^{-1}(y) [/mm] eine [mm] C^k [/mm] - Untermannigfaltigkeit von M ist. D.h. wir brauchen zu jedem p aus [mm] f^{-1}(y) [/mm] eine Karte (x, U) mit [mm] x(f^{-1}(y) \cap U) = x(U) \cap \IR^{dim(M)-dim(N)} \times \left\{0\right\}^{dim(N)} [/mm].
Da das Differential von f in [mm] p \in f^{-1}(y) [/mm] surjektiv ist, sieht aber f lokal wie eine Projektion aus, d.h. es gibt für alle [mm] p \in f^{-1}(y) [/mm] Karten (x,U) von M (mit [mm] p \in U [/mm]) und (u,V) von N sodass [mm] u \circ f \circ x^{-1}(q_{1},...,q_{m})= (q_{1},...,q_{n}), \forall (q_{1},...,q_{m}) \in x(U) [/mm] (mit dim(M)=m, dim(N)=n).
Zeige dass die Karte (x,U) schon das Gewünschte liefert.
Beste Grüße,
Berieux
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Danke für die Antwort erst einmal.
> Hi!
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> Man zeigt, dass [mm]f^{-1}(y)[/mm] eine [mm]C^k[/mm] - Untermannigfaltigkeit
> von M ist. D.h. wir brauchen zu jedem p aus [mm]f^{-1}(y)[/mm] eine
> Karte (x, U) mit [mm]x(f^{-1}(y) \cap U) = x(U) \cap \IR^{dim(M)-dim(N)} \times \left\{0\right\}^{dim(N)} [/mm].
Ok. Bis hierhin ist alles klar.
>
> Da das Differential von f in [mm]p \in f^{-1}(y)[/mm] surjektiv ist,
> sieht aber f lokal wie eine Projektion aus,
Hier hört es leider auf. Ich weiß nicht, wie ich diese Eigenschaft, dass die Tangentialabbildung von f in den Punkten p aus [mm] f^{-1}(y) [/mm] surjektiv ist, ausschlachten kann.
> d.h. es gibt
> für alle [mm]p \in f^{-1}(y)[/mm] Karten (x,U) von M (mit [mm]p \in U [/mm])
> und (u,V) von N sodass [mm]u \circ f \circ x^{-1}(q_{1},...,q_{m})= (q_{1},...,q_{n}), \forall (q_{1},...,q_{m}) \in x(U)[/mm]
> (mit dim(M)=m, dim(N)=n).
Ich weiß nicht genau, wieso diese Abbildung die hinteren m-n Koordinaten abschneidet. Hat aber sicher mit dem Punkt davor zu tun...
> Zeige dass die Karte (x,U) schon das Gewünschte liefert.
>
> Beste Grüße,
> Berieux
Kann mir das jemand bitte erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:52 Mi 22.12.2010 | | Autor: | Berieux |
Hallo!
> > Da das Differential von f in [mm]p \in f^{-1}(y)[/mm] surjektiv ist,
> > sieht aber f lokal wie eine Projektion aus,
>
> Hier hört es leider auf. Ich weiß nicht, wie ich diese
> Eigenschaft, dass die Tangentialabbildung von f in den
> Punkten p aus [mm]f^{-1}(y)[/mm] surjektiv ist, ausschlachten kann.
Falls ihr diese Aussage (oder sowas Ähnliches) noch nicht hattet, wird die Sache natürlich aufwendiger. Der wesentliche Punkt ist das Inverse-Funktionen-Theorem.
Die Aussage ist:
Falls Df(p) surjektiv ist, gibt es geeignete Karten, sodass die lokale Darstellung von f bzgl. dieser Karten gerade die Projektion auf die ersten n-Komponenten ist (mit n=dim(N)).
Ich skizziere mal den Beweis:
Wir starten mit Karten (x,U) von M (mit p in U) und (y,V) von N (mit f(U) in V), und konstruieren hieraus neue Karten, die die behauptete Eigenschaft besitzen.
Zunächst ist natürlich [mm] \tilde{f}:=y \circ f \circ x^{-1} [/mm] differenzierbar, und [mm] D\tilde{f}(0):\IR^m \to \IR^n [/mm] surjektiv (oBdA y(f(p))=x(p)=0).
D.h. [mm] D\tilde{f}(0) [/mm] hat Rang n. Man kann die Komponenten von x so ordnen, dass schon [mm] (\bruch{\partial \tilde{f}_{i}}{\partial x_{j}})_{i,j \leq n} [/mm] Rang n hat, also invertierbar ist.
Dann ist [mm] F(q):= \tilde{f}(q)+(0,..,0,q_{n+1},..,q_{m}) [/mm] lokal um 0 ein [mm] C^k [/mm] Diffeomorphismus.
Definiere neue Karten [mm] (x_{0}, U_{0}), (y_{0}, V_{0}), [/mm] mit
[mm] y_0=y|_{V_0}, x_0 =F \circ x [/mm].
[mm] U_0 [/mm] und [mm] V_0 [/mm] musst du noch so definieren, dass dann [mm] x_0 [/mm] und [mm] y_0 [/mm] wirklich Karten sind.
Dann kannst du nachrechnen, dass diese Karten die gewünschte Eigenschaft haben.
Beste Grüße,
Berieux
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:57 Di 28.12.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, ich hab es nun!
Vielen Dank.
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