Satz von Rouché < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:09 Di 22.04.2008 | | Autor: | ck2000 |
| Aufgabe | | Sei D = {z [mm] \in \IC [/mm] : |z| < 1 } Sei weiter a < e . Zeigen Sie, dass die Gleichung [mm] e^z [/mm] = [mm] az^n [/mm] in D gezählt mit Vielfachheiten genau n verschiedene Wurzeln besitzt. |
Ich würde diese Gleichung umformen in
[mm] e^z -az^n [/mm] = 0 und hätte dann f(z) = [mm] e^z -az^n [/mm] und davon die Anzahl der Nullstellen in D. Ist das der richtige Ansatz?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:47 Di 22.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Sei $D = [mm] \{z \in \IC : |z| < 1 \}$ [/mm] Sei weiter $a < e$ . Zeigen
> Sie, dass die Gleichung [mm]e^z[/mm] = [mm]az^n[/mm] in D gezählt mit
> Vielfachheiten genau n verschiedene Wurzeln besitzt.
> Ich würde diese Gleichung umformen in
> [mm]e^z -az^n[/mm] = 0 und hätte dann f(z) = [mm]e^z -az^n[/mm] und davon die
> Anzahl der Nullstellen in D. Ist das der richtige Ansatz?
ich nehme an, es sollte zudem $a [mm] \not=0$ [/mm] gelten?
Es geht ja hier um eine Anwendung des
Satzes von Rouché
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Rouch%C3%A9
Nun betrachte die Funktionen [mm] $f(z):=-a*z^n$ [/mm] und [mm] $g(z):=e^z$ [/mm] ($z [mm] \in \IC$). [/mm] Zeige:
Für alle $z [mm] \in \partial [/mm] D$ (also alle $z [mm] \in \IC$ [/mm] mit $|z|=1$) gilt:
$|f(z)| < |g(z)|$
(Dabei wird insbesondere $a < e$ von Bedeutung sein.)
Nach Rouché folgt dann, dass $f$ und $f+g$ gleich viele Nullstellen in $D$ haben. Und es ist [mm] $(f+g)(z)=f(z)+g(z)=-a*z^n+e^z=e^z-a*z^n$, [/mm] und die Anzahl der Nullstellen von $f$ in $D$ kann man (für $a [mm] \not=0$) [/mm] sofort angeben (beachte die Vielfachheiten).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:42 Mo 28.04.2008 | | Autor: | ck2000 |
ich habe mich vertippt. Es muss gelten a>e. Aber das wird nicht viel daran ändern.
Danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> ich habe mich vertippt. Es muss gelten a>e. Aber das wird
> nicht viel daran ändern.
genau, an der entsprechenden Stelle wäre Dir das eh aufgefallen (ich habe ja nur geguckt, was Du laut Aufgabenstellung zu tun hast, nicht, ob das so auch klappt  ).
Gruß,
Marcel
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