Satz von Scheffé < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:04 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mikexx |
| Aufgabe | Im Elstrodt steht auf Seite 150 der Satz 5.9 von Scheffé. Er lautet:
Die Funktionen [mm] $f,f_n\in\mathcal{M}^+ (n\in\mathbb{N})$ [/mm] seien integrierbar, und es gelte [mm] $\lim_{n\to\infty}f_n=f $\mu\text{ - f.ü.}, \lim_{n\to\infty}\int_X f_n\, d\mu=\int_Xf\, d\mu$.
[/mm]
Dann gilt:
[mm] $\lim_{n\to\infty}\int_X\lvert f_n-f\rvert\, d\mu=0$.
[/mm]
Ich habe drei Fragen zum Beweis im Elstrodt.
Beweis:
Das Lemma von Fatou liefert:
[mm] $2\int_X f\, d\mu=\int_X\liminf_n (F_n+f-\lvert f_n-f\rvert)\, d\mu\leq\iminf_n\int_X (f_n+f-\lvert f_n-f\rvert)\, d\mu$
[/mm]
[mm] $=2\int_X\, d\mu-\limsup\int_X\vert f_n-f\rvert\, d\mu$. [/mm] |
1.) Der Beweis zeigt also, dass [mm] $\limsup_n\int_X\lvert f_n-f\rvert\, d\mu=0$. [/mm] Wieso folgt daraus, dass [mm] $\lim_{n\to\infty}\int_X\vert f_n-f\rvert\, d\mu=0$?
[/mm]
2.) Wieso darf man den Limes infererior einer Summe so berechnen, dass man den Limes inferior der einzelnen Summanden addiert?
3.) Gilt die erste Identität nicht eigentlich nur fast überall?
Meine Ideen:
Zu 1.) Ich verstehe das so: Man hat gezeigt, dass der größte Haäufungspunkt 0 ist. Nun ist die Folge [mm] $(g_n), g_n:=\int_X\lvert f_n-f\rvert\ d\mu$ [/mm] erstens nach unten beschränkt (nämlich durch 0) und zweitens monoton fallend, da ja [mm] $f_n\to [/mm] f$ fast überall. Demnach konvergiert die Folge und das bedeutet, sie hat genau einen Häufungspunkt, der dann eben der ermittelte Häufungspunkt 0 sein muss.
Zu 2.) Also bei dem Limes kenne ich es so, dass man den Limes einer Summe als Summe der Limes der Summanden berechnen darf, wenn die Limes der Summanden alle existieren.
Hier ist es wohl ähnlich. Die Limes inferior existieren alle, da die Summanden alle nach unten durch 0 beschränlt sind.
Zu 3.) Eine Identität zwischen Lebesgue-Integralen mit fast sicher zu deklarieren ist ja eigentlich überflüssig, weil den Integralen Nullmengen ja ohnehin egal sind... deswegen ist es wohl weggelassen.
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Hiho,
> Zu 1.) Ich verstehe das so:
Viel trivialer (wobei ich das Integral jetzt mal mit [mm] I_n [/mm] abkürze)
Es gilt für jede beliebige Folge [mm] a_n $\liminf a_n \le \limsup a_n$ [/mm] und damit in deinem Fall:
$0 [mm] \le \liminf I_n \le \limsup I_n [/mm] = 0$, woraus sofort Gleichheit und damit die Existenz des Grenzwerts folgt.
> Zu 2.) Also bei dem Limes kenne ich es so, dass man den
> Limes einer Summe als Summe der Limes der Summanden
> berechnen darf, wenn die Limes der Summanden alle
> existieren.
> Hier ist es wohl ähnlich. Die Limes inferior existieren
> alle, da die Summanden alle nach unten durch 0 beschränlt
> sind.
Korrekt. Der [mm] \liminf [/mm] exisitert immer (ist möglicherweise aber [mm] $-\infty$ [/mm] oder [mm] $\infty$), [/mm] die Grenzwertsätze für [mm] \liminf [/mm] oder [mm] \limsup [/mm] gelten aber natürlich nur für [mm] $|\liminf| \not= \infty$ [/mm]
Der Beweis verläuft analog wie beim [mm] $\lim$.
[/mm]
Und dass eine Folge nach unten beschränkt ist, stellt nicht sicher, dass der [mm] \liminf [/mm] nicht unendlich ist. Beispielsweise ist [mm] $\liminf_{n\to\infty} [/mm] n = [mm] \infty$, [/mm] aber natürlich ist die Folge [mm] $a_n [/mm] = n$ nach unten durch 0 beschränkt.
> Zu 3.) Eine Identität zwischen Lebesgue-Integralen mit
> fast sicher zu deklarieren ist ja eigentlich überflüssig,
> weil den Integralen Nullmengen ja ohnehin egal sind...
> deswegen ist es wohl weggelassen.
Nein. Das Lebesgue-Integral ist eine reelle Zahl, da gilt nichts "fast überall", sondern das ist die Gleichheit in [mm] $\IR$!
[/mm]
Die Integrale sind aber gleich, weil die Gleichheit der Integranden "fast überall" gelten und Änderungen auf Nullmengen keine Auswirkungen auf den Wert des Integrals haben, der, ich betone das nochmal, in [mm] \IR [/mm] liegt.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Danke.
Aber woher weiß ich dann hier, dass die Limes inferior alle endlich sind?
Für die ersten beiden ist es klar, weil die mit den Limiten übereinstimmen und die wegen der Integrierbarkeit endlich sind.
Aber woher weiß ich dass
[mm] $\liminf_n(-\int_X\lvert f_n-f\rvert\, d\mu)=-\limsup\int\lvert f_n-f\rvert\, d\mu$ [/mm] endlich ist?
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Hiho,
das brauchst du glücklicherweise nicht (ich seh auch nicht, wie man das schnell begründen könnte).
Die Grenzwertsätze für den [mm] \liminf [/mm] gelten natürlich auch, wenn alle bis auf einen Grenzwert endlich sind.
Dass man unendliche Grenzwerte ausschließt hat ja nur den Grund, dass man Ausdrücke der Form [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] ausschließen will.
Hat man aber nur einen unendlichen Grenzwert, ist das kein Problem.
edit: Und außerdem zeigst du ja, dass er existiert. Du rechnest ihn ja explizit aus. So macht man das bei den GW für den "normalen" Limes ja meist auch. Man wendet sie erst an und sagt am Ende "da alle Einzelgrenzwerte existieren, waren die Umformungen ok."
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:50 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Dann ist meine letzte Frage, welchen Grenzwertsatz man genau hier eigentlich verwendet.
Ich kenne nämlich die Grenzwertsätze für den Liminf bzw. Limsup nicht so gut.
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Hiho,
> Dann ist meine letzte Frage, welchen Grenzwertsatz man genau hier eigentlich verwendet.
> Ich kenne nämlich die Grenzwertsätze für den Liminf bzw. Limsup nicht so gut.
Das sind die gleichen wie für den [mm] $\lim$.
[/mm]
Wie da plötzlich der [mm] $\limsup$ [/mm] hinkommt, hast du aber verstanden?
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:56 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Ich habe eben mal Grenzwertsätze für den Limes inferior gegoogelt und da kamen irgendwie andere als die für den Limes.
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Der Limes superior kommt da doch zustanden, weil
[mm] $\liminf(-irgendwas)=-\limsup(irgendwas)$?
[/mm]
Oder was meinst Du?
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Hiho,
> Ich habe eben mal Grenzwertsätze für den Limes inferior gegoogelt und da kamen irgendwie andere als die für den Limes.
Das kann man schlecht beurteilen, wenn man nicht weiß "was du gegoogelt" hast. Ich hab auch schon ergoogelt, dass Elvis noch lebt und die Erde eine Scheibe ist.
Beim [mm] \liminf [/mm] musst du aufpassen, welchen du da findest. Den mengentheoretischen oder den für Zahlenfolgen.
> Der Limes superior kommt da doch zustanden, weil
>
> [mm]\liminf(-irgendwas)=-\limsup(irgendwas)[/mm]?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Es tut mir leid, aber mir ist immer noch nicht klar, wieso ich
[mm] $\liminf(a_n+b_n-c_n)=\liminf(a_n)+\liminf(b_n)-\liminf(c_n)$
[/mm]
rechnen darf, wenn die ersten beiden endlich sind und der dritte Limes inferior evtl. nicht..
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Hiho,
> Es tut mir leid, aber mir ist immer noch nicht klar, wieso ich
>
> [mm]\liminf(a_n+b_n-c_n)=\liminf(a_n)+}liminf(b_n)-\liminf(c_n)[/mm]
>
> rechnen darf, wenn die ersten beiden endlich sind und der dritte Limes inferior evtl. nicht..
Hast du mein Edit nicht gesehen? Das brauchst du hier gar nicht, weil alle [mm] \liminf [/mm] doch existieren (auch wenn man die Existenz des Dritten erst später "weiß").
So macht man das doch auch bei "normalen" Grenzwerten. Man verwendet die Grenzwertsätze erst einmal und wenn man am Ende feststellt, dass alle Einzelgrenzwerte existieren, weiß man, dass die Umformung korrekt war.
Und dass der letzte Grenzwert existiert, zeigst du ja in dem Beweis 
Und dass man die Grenzwertsätze auch noch anwenden kann, wenn alle Grenzwerte bis auf einen endlich sind, ist doch bei den "normalen" Grenzwerten ebenso.
Willst du dazu nun einen Beweis sehen? Das wird friemlig, aber schwer ist es eigentlich nicht....
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:30 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Leuchtet mir nicht ein.
Ich muss doch einen handfesten Grund haben, wieso ich den Limes Inferior des Integrals so in die Summe von drei Limes Inferior umschreiben darf, ich kann das doch nicht einfach so machen und hinterher sagen, es ist okay...
Das kommt mir falsch vor!
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Hiho,
> Ich muss doch einen handfesten Grund haben, wieso ich den
> Limes Inferior des Integrals so in die Summe von drei Limes
> Inferior umschreiben darf, ich kann das doch nicht einfach
> so machen und hinterher sagen, es ist okay...
der Grund lautet "Grenzwertsätze für den Limes Inferior".
Das Integral spielt da ja gar keine Rolle, sondern nur die Frage, warum ich den Limes Inferior von drei Folgen als drei Limes Inferior schreiben darf.
Begründet habe es dir ja auch. Lies den Beweis mal von hinten nach vorn, dann werden dir die Schritte vielleicht klarer und jeder Schritt ist eindeutig.
Ich lass dir Frage aber mal halboffen, da du mit der Antwort offensichtlich nicht zufrieden bist
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:01 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Du sagst, die Grenzwertsätze für den Limes inferior seien die gleichen wie die für den Limes.
Und für den Limes gibt es also einen Grenzwertsatz, der sagt:
[mm] $\lim(a_n+b_n-c_n)=\lim(a_n)+\lim(b_n)-\lim(c_n)$
[/mm]
wenn [mm] $\lim(a_n)<\infty, \lim(b_n)<\infty, \lim(c_n)=\infty$?
[/mm]
By the way: Gibts auch einen, der sagt:
[mm] $\lim(a_n\pmb_n)=\lim(a_n)\pm\lim(b_n)$,
[/mm]
wenn [mm] $\lim(a_n)=\infty$, $\lim(b_n)<\infty$?
[/mm]
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Hiho,
> Und für den Limes gibt es also einen Grenzwertsatz, der sagt:
>
> [mm]\lim(a_n+b_n-c_n)=\lim(a_n)+\lim(b_n)-\lim(c_n)[/mm]
>
> wenn [mm]\lim(a_n)<\infty, \lim(b_n)<\infty, \lim(c_n)=\infty[/mm]?
Ja, auch wenn der in der "normalen" Literatur meistens nicht drin steht, aber klar ist es sofort, wenn man bedenkt, dass aus [mm] $\lim(a_n) [/mm] = a, [mm] \lim(b_n) [/mm] = b$ sofort folgt:
$a + b - 1 - [mm] c_n \le a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - [mm] c_n \le [/mm] a + b + 1 - [mm] c_n$ [/mm] für $n [mm] \ge n_0$ [/mm] wobei [mm] n_0 [/mm] geeignet gewählt ist.
> By the way: Gibts auch einen, der sagt:
>
> [mm]\lim(a_n\pm b_n)=\lim(a_n)\pm\lim(b_n)[/mm]
>
> wenn [mm]\lim(a_n)=\infty[/mm], [mm]\lim(b_n)<\infty[/mm]?
Siehe oben.
Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:50 Fr 29.11.2013 | | Autor: | mikexx |
Sorry, wenn das hier so ausartet, aber ich sehe den Beweis nicht. Wenn ich also Folgen [mm] $(a_n), (b_n), (c_n)$ [/mm] habe mit
[mm] $\lim_n a_n=a<\infty, \lim_n b_n=b<\infty, \lim_n c_n=\infty$
[/mm]
und nun gilt [mm] $\lim_n(a_n+b_n-c_n)=a+b-\infty$
[/mm]
dann müsste es doch zu jedem [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ ein [mm] $n_0\in\mathbb{N}$ [/mm] geben, s.d.
[mm] $\lvert a_n+b_n-c_n-(a+b-\infty)\rvert\leq\varepsilon~\forall~n\geq n_0$
[/mm]
und das ist m.E. doch wohl nicht gegeben...
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Hiho,
> Sorry, wenn das hier so ausartet
Dafür ist es doch da 
> dann müsste es doch zu jedem [mm]\varepsilon >0[/mm]
nein. [mm] $\lim c_n [/mm] = [mm] \infty$ [/mm] (oder wie manche Bücher es nennen "uneigentliche Konvergenz") bedeutet: [mm] $\forall k>0\, \exists n_0 \,\forall n\ge n_0 \;c_n \ge [/mm] k$
Oder in Worten: [mm] c_n [/mm] wächst über alle Schranken.
Analog eben für [mm] -\infty [/mm] mit einem [mm] $\le$.
[/mm]
Allgemein ist eine [mm] ($\varepsilon$ [/mm] - )Umgebungen um [mm] \infty [/mm] auch so definiert: [mm] $B_\varepsilon(\infty) [/mm] := [mm] [\varepsilon,\infty)$ [/mm] und damit macht die Definition des Grenzwerts wieder Sinn, wenn man sie wie gewohnt mit der Umgebungsnotation aufschreibt, anstatt gleich den Betrag als Abstand zu verwenden:
[mm] $c_n \to [/mm] c [mm] \gdw$ [/mm] "Für alle [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert ein [mm] $n_0 \in \IN$ [/mm] so dass [mm] $c_n \in B_\varepsilon(c)$ [/mm] für alle$ [mm] n\ge n_0$.
[/mm]
Wobei jetzt eben [mm] c=\infty [/mm] als Grenzwert zugelassen ist.
Nun zu dem Beweis von oben:
Zu zeigen ist ja nun also: [mm] $a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - [mm] c_n \to -\infty [/mm] = a + b - [mm] \infty [/mm] = [mm] \lim a_n [/mm] + [mm] \lim b_n [/mm] - [mm] \lim c_n$
[/mm]
Mit obiger Abschätzung ist eben leicht zu zeigen, dass [mm] $\forall k>0\, \exists n_0 \,\forall n\ge n_0 \;a_n [/mm] + [mm] b_n [/mm] - [mm] c_n \le [/mm] k$
Gruß,
Gono.
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