Satz von Stokes < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:11 Do 24.09.2015 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | Sei S [mm] \subset \IR^{3} [/mm] die Fläche, die entsteht, wenn man von der Kugeloberfläche mit Radius 2 und Zentrum im Nullpunkt den Teil mit [mm] x_{1} \ge [/mm] 0 betrachtet, dh. S = { x [mm] \in \IR^{3}| [/mm] |x|=2, [mm] x_{1} \ge [/mm] 0 }.
S sei so orientiert, dass [mm] \vec{n} [/mm] = (1, 0, [mm] 0)^{T} [/mm] im Punkt x = (2, 0, 0) die Normalenrichtung ist. Sei ausserdem [mm] \vec{A} [/mm] das Vektorfeld:
[mm] \vec{A} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ x_{3}(x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \\ -x_{2}(x_{2}^{2} + x_{3}^{2})}
[/mm]
a) Berechnen Sie [mm] \vec{B} [/mm] = rot [mm] \vec{A}.
[/mm]
b) Geben Sie eine Parametrisierung von [mm] \partial [/mm] S an, so dass [mm] \partial [/mm] S bezüglich [mm] \vec{n} [/mm] positiv orientiert ist.
c) Berechnen Sie [mm] \integral_{S}^{}{\vec{B} * \vec{d\sigma}}. [/mm] |
Hallo Zusammen,
also ich habe obige Aufgabe und komme leider bei der c) nicht weiter. Meine Ergebnisse:
a) [mm] \vektor{-4x_{2}^{2} -4x_{3}^{2} \\ 0 \\ 0}
[/mm]
b)
Parametrisierung:
Kugelkoordinaten: [mm] \vektor{r* sin\theta *cos\phi \\ r* sin\theta *sin\phi \\ r* cos\theta} [/mm] mit [mm] \theta \in [/mm] (0, [mm] \bruch{\pi}{2}) [/mm] und [mm] \phi \in [/mm] (0, [mm] 2\pi)
[/mm]
Dann die Ableitungen einmal nach [mm] \theta:
[/mm]
[mm] \vektor{r* cos\theta *cos\phi \\ r* cos\theta *sin\phi \\ -r* sin\theta}
[/mm]
dann die Ableitung nach [mm] \phi:
[/mm]
[mm] \vektor{-r* sin\theta *sin\phi \\ r* sin\theta *cos\phi \\ 0}
[/mm]
Dann von den beiden Ableitungen das Kreuzprodukt:
[mm] \vektor{r^{2}* sin^{2}\theta *cos\phi \\ r^{2}* sin^{2}\theta *sin\phi \\ r^{2}* sin\theta *cos\theta}
[/mm]
Für die c) hatte ich mir überlegt das Integral mit dem Satz von Stokes zu berechnen. Ist das eine gute Wahl oder geht das einfacher? Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gestellt.
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Hallo Exel84,
> Sei S [mm]\subset \IR^{3}[/mm] die Fläche, die entsteht, wenn man
> von der Kugeloberfläche mit Radius 2 und Zentrum im
> Nullpunkt den Teil mit [mm]x_{1} \ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 betrachtet, dh. S = { x
> [mm]\in \IR^{3}|[/mm] |x|=2, [mm]x_{1} \ge[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
0 }.
>
> S sei so orientiert, dass [mm]\vec{n}[/mm] = (1, 0, [mm]0)^{T}[/mm] im Punkt
> x = (2, 0, 0) die Normalenrichtung ist. Sei ausserdem
> [mm]\vec{A}[/mm] das Vektorfeld:
>
> [mm]\vec{A}[/mm] = [mm]\vektor{0 \\ x_{3}(x_{2}^{2} + x_{3}^{2}) \\ -x_{2}(x_{2}^{2} + x_{3}^{2})}[/mm]
>
> a) Berechnen Sie [mm]\vec{B}[/mm] = rot [mm]\vec{A}.[/mm]
>
> b) Geben Sie eine Parametrisierung von [mm]\partial[/mm] S an, so
> dass [mm]\partial[/mm] S bezüglich [mm]\vec{n}[/mm] positiv orientiert ist.
>
> c) Berechnen Sie [mm]\integral_{S}^{}{\vec{B} * \vec{d\sigma}}.[/mm]
>
> Hallo Zusammen,
>
> also ich habe obige Aufgabe und komme leider bei der c)
> nicht weiter. Meine Ergebnisse:
>
> a) [mm]\vektor{-4x_{2}^{2} -4x_{3}^{2} \\ 0 \\ 0}[/mm]
>
> b)
> Parametrisierung:
>
> Kugelkoordinaten: [mm]\vektor{r* sin\theta *cos\phi \\ r* sin\theta *sin\phi \\ r* cos\theta}[/mm]
> mit [mm]\theta \in[/mm] (0, [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm] und [mm]\phi \in[/mm] (0, [mm]2\pi)[/mm]
>
> Dann die Ableitungen einmal nach [mm]\theta:[/mm]
>
> [mm]\vektor{r* cos\theta *cos\phi \\ r* cos\theta *sin\phi \\ -r* sin\theta}[/mm]
>
> dann die Ableitung nach [mm]\phi:[/mm]
>
> [mm]\vektor{-r* sin\theta *sin\phi \\ r* sin\theta *cos\phi \\ 0}[/mm]
>
> Dann von den beiden Ableitungen das Kreuzprodukt:
>
> [mm]\vektor{r^{2}* sin^{2}\theta *cos\phi \\ r^{2}* sin^{2}\theta *sin\phi \\ r^{2}* sin\theta *cos\theta}[/mm]
>
Deine Berechnungen sind ok. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Für die c) hatte ich mir überlegt das Integral mit dem
> Satz von Stokes zu berechnen. Ist das eine gute Wahl oder
> geht das einfacher? Kann mir da bitte jemand weiterhelfen?
>
Das ist genau der richtige Satz.
Für die Anwendung dieses Satzes hast Du bereits alles.
> Vielen Dank im Voraus!
>
>
> Ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum
> gestellt.
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:59 Do 24.09.2015 | | Autor: | Exel84 |
| Aufgabe | dann habe ich das jetzt so weiter gerechnet:
[mm] \integral_{S}^{}{rot \vec{A} * d\sigma}
[/mm]
[mm] \integral_{S}^{}{\vektor{-4*r^{2}\cdot{} sin^{2}\theta \cdot{}sin^{2}\phi -4*r^{2}\cdot{} cos^{2}\theta \\ 0 \\ 0}} [/mm] * [mm] \vektor{r^{2}\cdot{} sin^{2}\theta \cdot{}cos\phi \\ r^{2}\cdot{} sin^{2}\theta \cdot{}sin\phi \\ r^{2}\cdot{} sin\theta \cdot{}cos\theta} d\theta [/mm] * [mm] d\phi
[/mm]
= [mm] \integral_{S}^{}{-4*r^{4}\cdot{} sin^{4}\theta \cdot{}sin^{2}\phi* cos\phi -4*r^{4}\cdot{} cos^{2}\theta*sin^{2}\theta*cos\phi}*d\theta [/mm] * [mm] d\phi
[/mm]
= [mm] -4*r^{4}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cdot{} sin^{4}\theta}*d\theta \cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{sin^{2}\phi* cos\phi}* d\phi -4*r^{4}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2}\theta*sin^{2}\theta*d\theta *\integral_{0}^{2\pi} cos\phi}* d\phi
[/mm]
mit r = 2
= -64 * [mm] (\bruch{3\pi}{16}*\pi) [/mm] - 0
= [mm] -12*pi^{2} [/mm] |
Stimmt meine Rechnung so?
Vielen Dank im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:46 So 27.09.2015 | | Autor: | Exel84 |
Kann mir da keiner weiterhelfen?
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Hallo Exel84,
> dann habe ich das jetzt so weiter gerechnet:
>
> [mm]\integral_{S}^{}{rot \vec{A} * d\sigma}[/mm]
>
> [mm]\integral_{S}^{}{\vektor{-4*r^{2}\cdot{} sin^{2}\theta \cdot{}sin^{2}\phi -4*r^{2}\cdot{} cos^{2}\theta \\ 0 \\ 0}}[/mm]
> * [mm]\vektor{r^{2}\cdot{} sin^{2}\theta \cdot{}cos\phi \\ r^{2}\cdot{} sin^{2}\theta \cdot{}sin\phi \\ r^{2}\cdot{} sin\theta \cdot{}cos\theta} d\theta[/mm]
> * [mm]d\phi[/mm]
>
> = [mm]\integral_{S}^{}{-4*r^{4}\cdot{} sin^{4}\theta \cdot{}sin^{2}\phi* cos\phi -4*r^{4}\cdot{} cos^{2}\theta*sin^{2}\theta*cos\phi}*d\theta[/mm]
> * [mm]d\phi[/mm]
>
> = [mm]-4*r^{4}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\cdot{} sin^{4}\theta}*d\theta \cdot{}\integral_{0}^{2\pi}{sin^{2}\phi* cos\phi}* d\phi -4*r^{4}\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{cos^{2}\theta*sin^{2}\theta*d\theta *\integral_{0}^{2\pi} cos\phi}* d\phi[/mm]
>
> mit r = 2
>
> = -64 * [mm](\bruch{3\pi}{16}*\pi)[/mm] - 0
>
> = [mm]-12*pi^{2}[/mm]
> Stimmt meine Rechnung so?
>
Der Integrand stimmt. Mit den gewählten Integrationsgrenzen
ergibt sich ein Wert von 0.
Daher müssen die Integrationsgrenzen anders gewählt werden,
und zwar so, daß [mm] x_{1} \ge 0[/mm] ist. Dies ist zwar für den gewählten
Bereich von [mm]\theta[/mm] erfüllt, aber nicht für den gewählten Bereich
von [mm]\phi[/mm].
> Vielen Dank im Voraus!
>
Gruss
MathePower
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