Schachtelung ohne innere Zahl < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Sa 07.04.2018 | | Autor: | Mr.Hazl |
| Aufgabe | | Zeigen Sie am Beispiel der Schachtelung [mm] <(0;\bruch{1}{n})>,n\in\IN [/mm] von offenen Intervallen aus [mm] \IR, [/mm] dass sie keine reele Zahl als innere Zahl besitzt. |
Einen schönen guten Tag,
meine Überlegung zu der Aufgabe ist, dass zu jeder positiven reellen Zahl eine größere natürliche Zahl existiert.
Leider habe ich keine Idee wie man diesen Sachverhalt mathematisch korrekt notiert, daher wäre es nett wenn mir jemand einen Tipp geben könnte.
Mit freundlichen Grüßen
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
> Zeigen Sie am Beispiel der Schachtelung
> [mm]<(0;\bruch{1}{n})>,n\in\IN[/mm] von offenen Intervallen aus [mm]\IR,[/mm]
> dass sie keine reele Zahl als innere Zahl besitzt.
> Einen schönen guten Tag,
>
> meine Überlegung zu der Aufgabe ist, dass zu jeder
> positiven reellen Zahl eine größere natürliche Zahl
> existiert.
>
> Leider habe ich keine Idee wie man diesen Sachverhalt
> mathematisch korrekt notiert, daher wäre es nett wenn mir
> jemand einen Tipp geben könnte.
>
Deine Idee läuft ja auf die Anwendung des ![[]](/images/popup.gif) Archimedischen Axioms hinaus.
Im Prinzip musst du also nur begründen, weshalb es zu jeder positiven reellen Zahl x eine natürliche Zahl n mit
[mm] \frac{1}{n}
gibt.
Nach einer Multiplikation der obigen Ungleichung und dem Verweis auf das o.g. Axiom steht dann schon alles notwendige da, um den Sachverhalt zu beweisen.
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:35 Sa 07.04.2018 | | Autor: | Mr.Hazl |
Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
Könnte man zum Beispiel folgendermaßen begründen?
Für [mm] x\in\IR>0 [/mm] gibt es ein n mit [mm] \bruch{1}{n}
Könntest du mir bitte noch mal genauer erläutern was du mit Multiplikation da direkt meinst?
Mir fällt es etwas schwer, zu jedem y>x>0 existiert eine natürliche Zahl [mm] n\in\IN [/mm] mit nx>y, auf die Aufgabe anzuwenden.
Mit freundlichen Grüßen
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Hallo,
> Vielen Dank erstmal für die schnelle Antwort.
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> Könnte man zum Beispiel folgendermaßen begründen?
>
> Für [mm]x\in\IR>0[/mm] gibt es ein n mit [mm]\bruch{1}{n}
>
Das ist mein Grundgedanke, genau.
> Könntest du mir bitte noch mal genauer erläutern was du
> mit Multiplikation da direkt meinst?
> Mir fällt es etwas schwer, zu jedem y>x>0 existiert eine
> natürliche Zahl [mm]n\in\IN[/mm] mit nx>y, auf die Aufgabe
> anzuwenden.
Also, seien [mm] x,y\in\IR [/mm] mit [mm]0y[/mm]. Das ist das Archimedische Axiom.
Nun sei y=1 und
0<x<1
Dann gibt es n mit
nx>1 bzw. 1<nx.
Da n eine natürliche Zahl ist und somit positiv, folgt (mit Division durch n):
[mm] \frac{1}{n}
Vorhin hatte ich es andersherum gedacht, daher der Tipp mit der Multiplikation. So herum ist es aber vielleicht verständlicher.
Gruß, Diophant
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