Schätzung für Sandwich-Theorem < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Untersuche die Folge auf Konvergenz und bestimme den Grenzwert ggfs.
[mm] a_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] |
Hallo,
zu der gegebenen Aufgabe Suche ich den Grenzwert.
Meine 1. Überlegung ist, dass ich den Grenzwert versuche mit dem Sandwich-Theorem zu bestimmen, und zwar wie folgt:
Folgende Shätzung ist sicherlich richtig:
0 [mm] \le \bruch{n!}{n^{n}}
[/mm]
Die Folge kann ich auch umschreiben zu:
[mm] \bruch{n!}{n^{n}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{2}{n}*...*\bruch{n}{n}
[/mm]
Nun bräuchte ich, um meine Schätzung für das Sandwich-Theorem zu ergänzen eine weitere Schätzung von [mm] \bruch{1}{n} [/mm] * [mm] \bruch{2}{n}*...*\bruch{n}{n} [/mm] und zwar die auf jedenfall größer / gleich dazu ist.
Pauschal kann man Summen ja so abschätzen, dass man die Anzahl der Summanden nimmt und einmal mit dem kleinsten Summand und einmal mit dem größen Summand Multipliziert, um eine obere und untere Grenze zu erhalten. Ich finde leider sehr wenig Material zum Schätzen und bräuchte hier einen Denkanstoß oder Material was ich mir anschauen kann.
Auf den 1. Blick kann ich vermuten (natürlich auch davon getrieben, dass man den Grenzwert von 1/n kennt), dass man das ganze zu 1/n abschätzt. Allerdings fehlt mir hier ein bisschen das Wissen, wie ich ein Produkt "ordentlich" abschätzen kann...
Viele Grüße,
mathelernender
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Hiho,
> Auf den 1. Blick kann ich vermuten (natürlich auch davon
> getrieben, dass man den Grenzwert von 1/n kennt), dass man
> das ganze zu 1/n abschätzt. Allerdings fehlt mir hier ein
> bisschen das Wissen, wie ich ein Produkt "ordentlich"
> abschätzen kann...
Du siehst den Wald vor lauter Bäumen nicht.
Was weißt du denn über die Faktoren [mm] $\bruch{2}{n},\bruch{3}{n},\ldots, \bruch{n}{n}$?
[/mm]
Folglich ist [mm] \bruch{1}{n} [/mm] multipliziert damit auf jeden Fall was?
Gruß,
Gono
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...es wird ja mit 1/n multipliziert, folglich durch n geteilt. Also muss der ganze Term ja kleiner als 1/n sein.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Mi 24.06.2015 | | Autor: | Loddar |
Hallo mathelernender!
> ...es wird ja mit 1/n multipliziert, folglich durch n
> geteilt. Also muss der ganze Term ja kleiner als 1/n sein.
Mir ist jetzt nicht so ganz klar, ob das wirklich korrekt bei Dir angekommen ist, oder nicht.
Jedenfalls gilt:
[mm]0 \ < \ \bruch{n!}{n^n} \ = \ \bruch{1}{n}*\bruch{2}{n}*\bruch{3}{n}*\bruch{4}{n}*...*\bruch{n}{n} \ \le \ \bruch{1}{n}*1*1*1*...*1 \ = \ \bruch{1}{n}[/mm]
Damit sollte sich der Grenzwert dann schnell bestimmen lassen.
Gruß
Loddar
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Hi Loddar,
ui, also wenn Du das ganze so schreibst, zweifel ich doch an mir, ob ich das richtig sehe...
Also:
Du schätzt
1/n * 2/n * ... * n-1/n * n / n
zu
1/n * 1 * 1 * 1 * ... * 1
so ist das in der Tat nicht bei mir angekommen...klar, so sieht man es schon und die Schätzung ist ja auch korrekt, weil jeder Produktterm auf jedenfall <= 1 ist und damit einfach "nach oben" auf 1 geschätzt wird. Damit ist die Ungleichung ja richtig. Clever, sehe ich ein. Aber: Wie lernt man das? Erfahrung, Erfahrung, Erfahrung? :-/
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:04 Mi 24.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> Hi Loddar,
>
> ui, also wenn Du das ganze so schreibst, zweifel ich doch
> an mir, ob ich das richtig sehe...
>
> Also:
>
> Du schätzt
> 1/n * 2/n * ... * n-1/n * n / n
> zu
> 1/n * 1 * 1 * 1 * ... * 1
>
> so ist das in der Tat nicht bei mir angekommen...klar, so
> sieht man es schon und die Schätzung ist ja auch korrekt,
> weil jeder Produktterm auf jedenfall <= 1 ist und damit
> einfach "nach oben" auf 1 geschätzt wird. Damit ist die
> Ungleichung ja richtig. Clever, sehe ich ein. Aber: Wie
> lernt man das? Erfahrung, Erfahrung, Erfahrung? :-/
>
>
Was genau ist die Frage? Nur, ob sowas Erfahrung ist!? Ich wuerde sagen, ja. Aber auch das uebt sich ja in Vorlesungen. Da bekommt man fuer bestimmte Dinge schon eine gewisse Intuition (wenngleich ein handfester Beweis nie fehlen darf). Ausserdem wiederholen sich bestimmte Aufgaben(typen) doch immer und immer wieder :D :D :D
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> Was genau ist die Frage? Nur, ob sowas Erfahrung ist!? Ich wuerde sagen, > ja. Aber auch das uebt sich ja in Vorlesungen. Da bekommt man fuer
> bestimmte Dinge schon eine gewisse Intuition (wenngleich ein handfester > Beweis nie fehlen darf). Ausserdem wiederholen sich bestimmte
> Aufgaben(typen) doch immer und immer wieder :D :D :D
...aber sicherlich nur, wenn Du oft genug die selbe Vorlesung hörst 
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:34 Mi 24.06.2015 | | Autor: | Chris84 |
> > Was genau ist die Frage? Nur, ob sowas Erfahrung ist!? Ich
> wuerde sagen, > ja. Aber auch das uebt sich ja in
> Vorlesungen. Da bekommt man fuer
> > bestimmte Dinge schon eine gewisse Intuition (wenngleich
> ein handfester > Beweis nie fehlen darf). Ausserdem
> wiederholen sich bestimmte
> > Aufgaben(typen) doch immer und immer wieder :D :D :D
>
> ...aber sicherlich nur, wenn Du oft genug die selbe
> Vorlesung hörst
Nee :P DAS meinte ich nicht ^^
Man kann man ja auch Nachhilfe geben! Oder hier rumschleichen ;)
Deine Aufgabe (oder aehnlich) habe ich hier auch schon so ein paar Mal gesehen ^^
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