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Forum "Differenzialrechnung" - Schar kombiniert mit Parabel
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Schar kombiniert mit Parabel: Tip wäre toll :(
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:45 Do 30.11.2006
Autor: kappen

Aufgabe
20)
Für jedes t |R \ {0} ist eine ´Funktion Ft gegeben : [mm] ft(x)=\bruch{1}{2}x^3-tx^2+\bruch{1}{2}t^2x [/mm]
Ihr Graph sei K

a)Untersuchen & zeichnen <-- hab ich
b)Eine Parabel zweiter Ordnung Pt geht durch die Punkte von K mit der x-achse und berührt K im ursprung. Bestimmen Sie eine Gleichung von Pt und weisen Sie nach, dass Kt und Pt keine weiteren gemeinsamen Punkte haben.
c)Kt teilt die von Pt und der x-achse eingeschlossene Fläche. In welchem Verhältnis stehen die INhalte der Teilflächen?  

Hallo ihr Lieben!

Die Aufgabe steht oben. A hab ich fertig, Ergebnisse siehe weiter unten. B erscheint mir schon von der Fragestellung sehr seltsam, aber ich habs 100% so abgeschrieben, wie es im Buch zu finden ist.

a)
[mm] f(x)=\bruch{1}{2}x^3-tx^2+\bruch{1}{2}t^2x [/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{3}{2}x^2-2tx+\bruch{1}{2}t^2 [/mm]
f''(x)=3x-2t


Nullstellen:
x=0 [mm] \vee [/mm] x=t

Extremstellen:
[mm] x=\bruch{1}{3}t \vee [/mm] x=t

[mm] f''(\bruch{1}{3}t)<0 [/mm] -> HP
f''(t)> -> TP

[mm] E1(\bruch{1}{3}t|\bruch{2}{27}t^3) [/mm]
E2(t|0)


Wendestellen: (hier bin ich mir im übrigen nicht sicher, passt nicht so richtig

[mm] x=\bruch{2}{3}t [/mm]
[mm] y=\bruch{4}{27}t^3 [/mm]



Zeichnen sollte man den Graphen mit t=3, passt alles soweit.

b)
Wie gesagt, mich hat die Aufgabenstellung sehr verwirrt.

Es heißt, die Parabel soll nur berühren, heißt eigentlich nur eine Lösung ..
Aber sie soll auch durch die anderen Punkte von Kt gehen (welche Punkte)?

Als Ansatz hätte ich jetzt [mm] Pt=ax^2+bx+c [/mm] gewählt und dann wie eine Steckbriefaufgabe behandelt.
Ist das grundsätzlich richtig, oder befindet sich hier bereits ein Denkfehler?

c)
Ist eigentlich Integralrechnung. Müsste ich können, bräuchte jedoch dafür erst einmal meine Parabel :)



Vielleicht habt ihr ja den ein oder anderen Tip für mich.

Herzlichen Dank,
Kappen
        
Bezug
Schar kombiniert mit Parabel: Hinweise
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:59 Do 30.11.2006
Autor: Loddar

Hallo kappen!


> a)
> [mm]f(x)=\bruch{1}{2}x^3-tx^2+\bruch{1}{2}t^2x[/mm]
> [mm]f'(x)=\bruch{3}{2}x^2-2tx+\bruch{1}{2}t^2[/mm]
> f''(x)=3x-2t

[ok]


> Nullstellen:
> x=0 [mm]\vee[/mm] x=t

[ok]

  
> Extremstellen:
> [mm]x=\bruch{1}{3}t \vee[/mm] x=t

[ok]


> [mm]f''(\bruch{1}{3}t)<0[/mm] -> HP
> f''(t)> -> TP

Aufpassen: hier musst du unterscheiden für $t \ > \ 0$ bzw. $t \ < \ 0$ , ob es sich hier jeweils um einen Hoch- oder Tiefpunkt handelt.

  
> [mm]E1(\bruch{1}{3}t|\bruch{2}{27}t^3)[/mm]
> E2(t|0)

[ok]


> Wendestellen: (hier bin ich mir im übrigen nicht sicher,
> passt nicht so richtig
>  
> [mm]x=\bruch{2}{3}t[/mm]
> [mm]y=\bruch{4}{27}t^3[/mm]

Als Funktionswert erhalte ich hier: [mm] $y_W [/mm] \ = \ [mm] \bruch{\red{1}}{27}*t^3$ [/mm] .




> b) Wie gesagt, mich hat die Aufgabenstellung sehr verwirrt.
>  
> Es heißt, die Parabel soll nur berühren, heißt eigentlich
> nur eine Lösung ..
> Aber sie soll auch durch die anderen Punkte von Kt gehen
> (welche Punkte)?

Die gesichte soll dieselben Nullstellen haben wie die Funktion [mm] $f_t(x)$ [/mm] ; also $0_$ und $t_$ .

Zudem müssen an diesen Stellen die Ableitungswerte übereinstimmen, da die beiden Kurven sich dort berühren (und nicht "schneiden") sollen.

Also: [mm] $f_t(0) [/mm] \ = \ p(0) \ =\ 0$

[mm] $f_t(t) [/mm] \ = \ p(t) \ =\ 0$

[mm] $f_t'(0) [/mm] \ =\ p'(0)$

[mm] $f_t'(t) [/mm] \ =\ p'(t)$


Gruß
Loddar

Bezug
                
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Schar kombiniert mit Parabel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:04 Do 30.11.2006
Autor: kappen

Hi, das ging ja schnell.

Habe mich bei dem Wendepunkt verrechnet, heißt 1 im Zähler. Danke für den Hinweis.

Hab' mir ja schon fast gedacht, dass es steckbriefartig geht, kam nur mit dem berühren nicht ganz klar. Selbe Steigung, jetzt klingelts ;)

Ich rechne weiter und werde dann hier Ergebnisse präsentieren.


Nochmal danke für die schnelle Antwort.

gruss,
kappen
Bezug
                
Bezug
Schar kombiniert mit Parabel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Do 30.11.2006
Autor: kappen

habe nun raus [mm] P_t=-\bruch{1}{2}tx^2+\bruch{1}{2}t^2x [/mm]

Deine letzte Bedinung ist m.E. nicht richtig, Die Parabel soll nur im 0|0 K berühren. Mit 4 Bedingungen ging die ganze Geschichte auch nie richtig auf.


Durch gleichsetzung von [mm] P_t [/mm] und [mm] K_t [/mm] bewiesen, dass es nur 2 Punkte gibt. (x=0 [mm] \vee [/mm] x=t)

Mache jetzt c)
Bezug
                        
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Schar kombiniert mit Parabel: alles richtig!
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:09 Do 30.11.2006
Autor: Loddar

Hallo Kappen!


Alles richtig gemacht [ok] , auch meinen kleinen Fehler entdeckt ;-) .


Gruß
Loddar

Bezug
        
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Schar kombiniert mit Parabel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:09 Do 30.11.2006
Autor: kappen

so, bin fertig.

Die Flächen stehen im Verhältnis 1:1.

Raus kommt jeweils [mm] \bruch{1}{24}t^4 [/mm] - hoffe ich jedenfalls ;)

wer will, kann das liebend gerne nachrechnen, bin mir allerdings ziemlich sicher.


Danke für die Hilfe!

Gruß,
kappen
Bezug
                
Bezug
Schar kombiniert mit Parabel: auch richtig
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:13 Do 30.11.2006
Autor: Loddar

Hallo Kappen!


[daumenhoch] !


Gruß
Loddar

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