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| Aufgabe | | Bestimmen Sie ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzklassen von Schiefsymmetrischen Matrizen bezüglich der Kongruenzrelation im Falle n=2 und [mm] K=\IR [/mm] |
Hallo ihr Lieben,
bin hier mal wieder total aufgeschmissen. Ich weiß ehrlich gesagt nicht genau wie und "was" ich da oben zeigen soll. Was ist dafür wichtig? Wie muss ich vorgehen?
Danke im vorraus!
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> Bestimmen Sie ein Repräsentantensystem für die
> Äquivalenzklassen von Schiefsymmetrischen Matrizen
> bezüglich der Kongruenzrelation im Falle n=2 und [mm]K=\IR[/mm]
> Hallo ihr Lieben,
>
Anders gesagt: Man nimmt sich die Menge aller (!) schiefsymmetrischen [mm] $\IR^{2\times 2}$ [/mm] Matrizen. Jetzt packst du "gedanklich" die Matrizen in verschiedene Schubfächer. In Schubfach 1 kommen alle hinein, die zu [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
-1 & 0 } [/mm] kongruent sind.
In Schubfach 2 ....
Dann kann jedes "Schubfach" durch eine Matrix in diesem Schubfach repräsentiert werden (da ja alle in diesem Schubfach äquivalent durch die Kongruenzrelation zu dieser sind). Diese eine Matrix (kannst du beliebig auswählen) ist dann die Beschriftung vom Schubfach.
Aufgabe: Bestimmt alle Schubfachbeschriftungen.
Zuerst solltest du dir auch überlegen, dass [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
-1 & 0 } \sim \pmat{ 0 & a \\
-a & 0 } , \forall a\in \IR_{>0}[/mm] gilt.
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Viele Möglichkeiten gibt es da doch nicht, oder?
[mm] \pmat{ x_1 & a \\ -a & x_2 } [/mm] und [mm] \pmat{ x_1 & -a \\ a & x_2 } [/mm]
Hätte also 2 Schubfächer?
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Tut mir leid, dass war totaler Blödsinn!
Bei den schiefsymmetrischen Matrizen muss die Null auf der Diagonalen sein. Eigentlich logisch :P
Die Beschriftungen der Matrix wären dann doch
[mm] \pmat{ 0 & a \\ -a & 0 } [/mm] für die Matrizen [mm] \pmat{ 0 & 1 \\ -1 & 0 } [/mm] .... [mm] \pmat{ 0 & n \\ -n & 0 } [/mm] für alle n aus [mm] \IR
[/mm]
und analog die Beschriftung
[mm] \pmat{ 0 & -a \\ a & 0 }
[/mm]
Geht das in die richtige Richtung?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:16 So 05.06.2011 | | Autor: | wieschoo |
Hi
> Tut mir leid, dass war totaler Blödsinn!
>
> Bei den schiefsymmetrischen Matrizen muss die Null auf der
> Diagonalen sein. Eigentlich logisch :P
>
> Die Beschriftungen der Matrix wären dann doch
>
> [mm]\pmat{ 0 & a \\
-a & 0 }[/mm] für die Matrizen [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
-1 & 0 }[/mm]
> .... [mm]\pmat{ 0 & n \\
-n & 0 }[/mm] für alle n aus [mm]\IR[/mm]
Ich habe mir zuerst überlegt:
Es sind [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
-1 & 0 }[/mm] und [mm]\pmat{ 0 & -1 \\
1 & 0 }[/mm] zu einander kongruent.
Wenn du eine Matrix [mm]A=\pmat{ a & b \\
c & d }[/mm] suchst mit
[mm]\pmat{ 0 & -1 \\
1 & 0 }=\pmat{ a & b \\
c & d }\pmat{ 0 & 1 \\
-1 & 0 }\pmat{ a & c \\
b & d } =\pmat{0& -b*c+a*d\\
-a*d+b*c&0}[/mm]
Dann gilt ja [mm]-1=-b*c+a*d[/mm] und [mm]1=-a*d+b*c[/mm]
Dann wäre es [mm]A'=\pmat{ 1 & 2 \\
1 & 1 }[/mm], die weiterhilft.
Desweiteren gilt auch [mm]\pmat{ 0 & 1 \\
-1 & 0 }\sim\pmat{ 0 & n \\
-n & 0 }[/mm] . Hier hilft: [mm]A=\pmat{ 0 & \sqrt{n} \\
\sqrt{n} & 0 }[/mm] weiter. Damit hättest du ja alle Fälle und es wären alle schiefsymmetrischen Matrizen zu einander kongruent, da die Kongruenzrelation ja transitiv ist.
So langsam kommen mir auch die Zweifel. Ich gebe ab.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Di 07.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Di 07.06.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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