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| Aufgabe | Einem Einheitskreis (Radius 1, blau) werden wie in der Zeichnung zu sehen, vier einander berührende kongruente Ellipsen (rot) einbeschrieben. Dabei soll der Kreis Schmiegekreis dieser Ellipsen in deren außen liegenden Nebenscheitelpunkten sein. Man bestimme die Längen der Halbachsen sowie den Radius der inneren Schmiegekreise (grün) dieser Ellipsen.
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Die Aufgabe ist zum erbaulichen Zeitvertreib für alle gedacht, die sich gerne mit geometrischen Fragen beschäftigen.
Übrigens: Es wäre auch interessant, die Aufgabe zu variieren. Ich habe z.B. noch den Fall bearbeitet, in welchem man innerhalb des Kreises nicht vier, sondern nur drei einander berührende Ellipsen hat. Auch in diesem Fall erhält man relativ "schöne" Werte für die Lösungen - insbesondere ohne Gleichungen mit höherem als zweitem Grad zu lösen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:28 Do 10.02.2022 | | Autor: | Fulla |
Dummyfrage, damit die Übungsaufgabe nicht untergeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Sa 12.02.2022 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 13:56 Fr 11.02.2022 | | Autor: | statler |
a = [mm] $\frac{1}{3} \sqrt{3}$; [/mm] b = [mm] $\frac{1}{3}$; [/mm] r = [mm] $\frac{1}{9}\sqrt{3}$
[/mm]
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Hallo statler !
Für den Fall n=4 (4 Ellipsen) ist dies die korrekte Lösung.
Ich habe allerdings inzwischen Formeln entwickelt, welche für eine beliebige Anzahl n (natürliche Zahl ≥ 3) von Ellipsen funktionieren.
Mich würde trotzdem interessieren, mit welcher zentralen Idee du das Problem gelöst hast. Für meinen Lösungsweg nenne ich mal nur das Stichwort "Diskriminante".
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:40 Sa 12.02.2022 | | Autor: | statler |
Hallo lieber Kollege,
> Mich würde trotzdem interessieren, mit welcher zentralen
> Idee du das Problem gelöst hast. Für meinen Lösungsweg
> nenne ich mal nur das Stichwort "Diskriminante".
ich habe (gegen meine eigentliche Philosophie) mit analytischer Geometrie und folglich auch mit (dem Verschwinden) einer Diskriminante gearbeitet.
Viel schöner fände ich eine 'synthetische' Lösung, z. B. indem man sich dein Bild als den Anblick einer Halbkugel von oben vorstellt, wobei die Ellipsen Kreise in der Kugeloberfläche sind. Das müßte ich aber noch mal durchdenken.
Analytische Geometrie ist für mich immer so ein bißchen eine Krücke, also unelegant.
In diesem Sinne und Grüße aus HH in das befreundete Ausland
Dieter
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Dieter
ich habe versucht, deine "synthetische" Idee mit den Kreisen auf
der Halbkugel nachzuvollziehen. Im Fall n=4 scheint es zu passen.
Für den allgemeinen Fall könnte man dann wohl Folgendes aussagen:
Die große Halbachse $ a$ der Ellipse entspricht dem Radius des Inkreises
des gleichschenkligen und doppelt rechtwinkligen Kugeldreiecks
(Kugelradius 1) mit
$ \alpha = \beta = \frac{\pi}{2}\$ und $ \gamma = \frac{2 \pi}{n}\$
Der Inkreisradius soll in der Ebene des Inkreises (also nicht etwa
auf der Kugeloberfläche) betrachtet werden.
Für die kleine Halbachse $\ b $ gilt $ b\ =\ a^2$ und für den Radius $\rho $ der
inneren Scheitelschmiegekreise $\rho\ =\ \frac{b^2}{a} \ =\ a^3\$
Für die eigentliche Durchführung sehe ich dann aber auch keinen
anderen Weg als "analytische Geometrie" - nur eben halt im $ \IR^3 $ .
LG , Al
Und hier noch die wirklich "schöne", zum Schluss rein trigonometrische
Formel für die große Halbachse $a$ , für beliebiges n:
$\ a\ =\ \sin \left(\ \arctan\ \left(\ \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)\right)$
Den Weg dazu möchte ich nun hier nicht wiedergeben. Entwickelt habe
ich ihn, während am Fernseher Curling, Langlauf und Abstimmungs-
ergebnisse gezeigt und kommentiert wurden ...
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Mit den Mitteln der Darstellenden Geometrie kann man nun (ausgehend von der
Idee von statler mit der Halbkugel) auch eine recht einfache planimetrische
Konstruktion entwickeln. Meine Geogebra-Konstruktion:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Der blaue Kreis ist der Randkreis der Halbkugel, auf deren Oberfläche die n
Kreise ringsum aneinandergereiht werden sollen. Der Wert von n kann in der
ggb-Version mittels Schieberegler gewählt werden. Jeder der n Kreise ist nun
Inkreis eines Kugeldreiecks, welches in der Grundriss-Ansicht als Kreissektor
mit dem Zentriwinkel $\ 2\ [mm] \varphi$ [/mm] mit $\ [mm] \varphi\ [/mm] =\ [mm] \frac{\pi}{n}$ [/mm] erscheint.
Ein paar 3D-Überlegungen zum Thema Inkreismittelpunkt führen dann zu der
gezeigten Konstruktion.
Falls erwünscht, bin ich zu weiteren Erläuterungen gerne bereit.
LG , Al-Chwarizmi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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