Schneiden von Ebenen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | [mm] E_1: [/mm] ax+2y-az-4=0
[mm] E_2: (1,b,3)^T+r(a,2,2)^T+s(-1,-2a,-5)^T
[/mm]
a) Bestimme a u b so, dass sich die Ebenen längs der Geraden
[mm] g:\vec{x}=(0,-3,-10)^T+t(1,2,5)^T [/mm] schneiden
b) Wie muss a gewählt werden, damit [mm] E_1 [/mm] zur x-Achse den Abstand 2 hat? |
Hallöle!
zu a)
ich habe [mm] E_2 [/mm] zunächst als Lgs geschrieben und danach in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt.
Da kommt dann was ziemlich langes raus.
[mm] -2a+ra^2+2b+4r-2ar=4
[/mm]
Umgeformt:
[mm] ra^2+4r-2ar=4+2a-2b
[/mm]
= r(a2+4-2a)=4+2a-2b
[mm] r=\bruch{4+2a-2b}{a2+4-2a}
[/mm]
Normalerweise hätte ich das als nächstes für r in [mm] E_1 [/mm] eingesetzt aber der Bruch ist so groß. Hab das Gefühl ich hab mich da irgendwie verhauen.
Wie mach ich das?
Lösung laut Lösungsblatt: a=1, b=-1
zu b)
Abstand von [mm] (1,0,0)^T [/mm] (z.B.) und [mm] E_1 [/mm] muss 2 sein
Da hab ich überhaupt keinen Ansatz....kann mir jemand helfen?
Esperanza
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Erstbal zu b, das ist ziemlich leicht.
Einen Abstand gibts doch nur, wenn die Ebene parallel zur x-Achse verläuft, das heißt, die Ebenengleichung muß unabhängig von x sein. DAs x darf also nicht in der GL vorkommen, was direkt a=0 bedeuten muß. Dabei fällt sogar die z-Abhängigkeit heraus, und du hast nur noch y=2 da stehen. In der tat, parallel zu x und z, und der Abstand ist offensichtlich 2.
Zu a)
Ich hätte die Grade erstmal in die erste Ebene eingesetzt. Schau mal, daß du das t möglicht weit ausklammern kannst. WEnn diese Grade eine Schnittgrade sein soll, muß sie vollständig in der ersten Ebene liegen, das heißt, das muß von t unabhängig sein. Also, nach dem Ausklammern sollte der Term in der Klammer 0 sein, damit die Gleichung für alle t erfüllt ist. Somit hast du schonmal a berechnet.
Nun kannst du weiter überlegen, daß der Aufpunktvektor der Graden auch in der zweiten Ebene liegen muß. Setze also die Ebene mit dem APV der Graden gleich, das ist ein Gleichungssystem mit 3 Unbekannten (r,s,b). Daraus läßt sich b berechnen, und besser auch noch die anderen beiden Unbekannten, um zu zeigen, daß das überhaupt lösbar ist.
EDIT: Ich sehe grade, damit ist noch nicht bewiesen, daß die Grade auch in der 2. Ebene liegt. Du könntest statt dem letzten Schritt auch gleich Ebene und Grade gleichsetzen und schauen, daß das auch unabhängig von t lösbar ist.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Mi 26.07.2006 | | Autor: | riwe |
da hast du einfach die flinte zu früh ins korn geworfen!
das ergebnis für r ist richtig bedeutet doch einfach, dass der richtungsvektor "nur" [mm] \vec{v}=s(-1,-2a,5)^{T} [/mm] ist.
damit ergibt sich aus [mm] s(-1,-2a,5)^{T}=(1,2,5)^{T} [/mm] sofort s = -1 und a = 1.
damit hast du [mm]r=\frac{6-2b}{3} [/mm] und
[mm] \frac{1}{3}\vektor{9-2b\\12-b\\21-4b}+t\vektor{1\\2\\6}=\vektor{0\\-3\\-10}, [/mm] woraus
b = -1 resultiert
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Hallo riwe,
> da hast du einfach die flinte zu früh ins korn geworfen!
> das ergebnis für r ist richtig bedeutet doch einfach, dass
> der richtungsvektor "nur" [mm]\vec{v}=s(-1,-2a,5)^{T}[/mm] ist.
> damit ergibt sich aus [mm]s(-1,-2a,5)^{T}=(1,2,5)^{T}[/mm] sofort s
> = -1 und a = 1.
Das is klar, das versteh ich noch.
> damit hast du [mm]r=\frac{6-2b}{3}[/mm] und
>
[mm]\frac{1}{3}\vektor{9-2b\\12-b\\21-4b}+t\vektor{1\\2\\6}=\vektor{0\\-3\\-10},[/mm]
> woraus
> b = -1 resultiert
Das hier nicht mehr....woher nimmst du das? Sorry...bin grad schwer von Begriff.
Gruß, Esperanza
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:55 Mi 26.07.2006 | | Autor: | riwe |
hallo esperanza,
vielleicht hätte ich genauer schreiben sollen
[mm] s(-1,-2a,5)^{T}=t(1,2,5)^{T} [/mm] und damit s = -t und a = 1.
jetzt setzt du - wie immer - in E ein, das ergibt mit s = - t, a =1 und eben
[mm]r =\frac{6-2b}{3} [/mm]
[mm] g_1: \vec{x}=\vektor{1\\b\\3}+\frac{6-2b}{3}\vektor{1\\2\\2}+t\vektor{1\\2\\5}
[/mm]
die "punktkoorinaten" (pfui, aber ich denke, du verstehst, was ich meine, zusammenfassen)
gibt den "dis/inkriminierten" ausdruck.
und jetzt ist nur noch b so zu wählen, dass der aufpunkt der schnittgeraden g P(0/-3/-10) auf der geraden [mm] g_1 [/mm] liegt, daher "=" . dann sind sie nicht nur parallel, sondern identisch.
alles klar?
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