Schnellere Lösung? < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mo 13.09.2010 | | Autor: | kappen |
| Aufgabe | Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem und die Koeffizienten der DGL, [mm] y_1=xe^x [/mm] und [mm] y_2=cosx [/mm] sind Lösungen!
[mm]y^{(4)}+a_3y'''+a_2y''+a_1y'+a_0y=0[/mm] |
Hi :)
Frage mich, ob ich diese Aufgabe schneller lösen könnte, als ich es so gemacht habe..
Wollte zuerst die Ordnung reduzieren, das wurde aber schnell kompliziert, also habe ich die beiden Lösungen 4 mal differenziert und eingesetzt, dann per Koeffizientenvergleich [mm] a_0=1, a_1=-2, a_2=2, a_3=-2 [/mm] herausbekommen und dann wie üblich weiter gerechnet, als kenne ich keine Lösung. Die anderen beiden Lösungen waren dann auch, wie vermutet [mm] e^x [/mm] und sinx.
Kann ich mir den 2. Teil sparen, indem ich einfach die erratenen Lösungen einsetze, damit zeige, dass diese die DGL lösen? Wie kann ich argumentieren, dass es keine weiteren Lösungen zu dieser DGL gibt?
Danke & schöne Grüße =)
|
|
| |
|
Hallo kappen,
> Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem und die Koeffizienten
> der DGL, [mm]y_1=xe^x[/mm] und [mm]y_2=cosx[/mm] sind Lösungen!
> [mm]y^{(4)}+a_3y'''+a_2y''+a_1y'+a_0y=0[/mm]
>
> Hi :)
>
> Frage mich, ob ich diese Aufgabe schneller lösen könnte,
> als ich es so gemacht habe..
>
> Wollte zuerst die Ordnung reduzieren, das wurde aber
> schnell kompliziert, also habe ich die beiden Lösungen 4
> mal differenziert und eingesetzt, dann per
> Koeffizientenvergleich [mm]a_0=1, a_1=-2, a_2=2, a_3=-2[/mm]
> herausbekommen und dann wie üblich weiter gerechnet, als
> kenne ich keine Lösung. Die anderen beiden Lösungen waren
> dann auch, wie vermutet [mm]e^x[/mm] und sinx.
Aus [mm]y_{1}[/mm] geht hervor, daß eine Nullstelle des
charakeristischen Polynoms [mm]\lamda=1[/mm]. Diese
kommt wegen dem linearen Polynom x doppelt vor.
Somit ergibt sich: [mm]\left(\lambda-1\right)^{2}[/mm]
Aus [mm]y_{2}[/mm] folgt, daß "i" eine Nullstelle des
charakteristisches Polynoms ist. Da komplexe Nullstellen
bei einem Polynom 4. Grades mit reellen Koeffizienten
immer doppelt vorkommen, ergibt sich hier: [mm]\lambda^{2}+1[/mm]
Zusammen ergibt sich das charakteristische Polynom:
[mm]\left(\lambda-1\right)^{2}*\left(\lambda^{2}+1\right)[/mm]
>
> Kann ich mir den 2. Teil sparen, indem ich einfach die
> erratenen Lösungen einsetze, damit zeige, dass diese die
> DGL lösen? Wie kann ich argumentieren, dass es keine
> weiteren Lösungen zu dieser DGL gibt?
Eine homogene DGL vierter Ordnung hat nur 4 Lösungen.
weil das charakteristische Polynom hierzu, nur 4 Nullstellen
besitzt.
>
> Danke & schöne Grüße =)
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:44 Mo 13.09.2010 | | Autor: | kappen |
Super :) Danke dir
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:34 Di 14.09.2010 | | Autor: | fred97 |
>
> Eine homogene DGL vierter Ordnung hat nur 4 Lösungen.
Hallo Mathepower,
Du meinst sicher das Richtige, hast Dich aber unglücklich ausgedrückt.
Besser: jedes Fundamentalsystem einer linearen homogenen DGL vierter Ordnung besteht aus 4 linear unabh. Lösungen.
Die DGL selbst hat unendlich viele Lösungen
Gruß FRED
> weil das charakteristische Polynom hierzu, nur 4
> Nullstellen
> besitzt.
>
>
> >
> > Danke & schöne Grüße =)
>
>
> Gruss
> MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mi 15.09.2010 | | Autor: | kappen |
Hab' ich aber auch so verstanden, die Koeffizienten wurden ja nicht bestimmt..
|
|
|
|
