Schnitt- und Vereinigungsmenge < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:50 So 22.10.2006 | | Autor: | omni-vi |
| Aufgabe | Seien I, J [mm] \not= \emptyset [/mm] beliebige Mengen und für alle i [mm] \in [/mm] I, j [mm] \in [/mm] J sei [mm] A_{ij} [/mm] eine Menge. Man beweise oder widerlege:
[mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}) [/mm] = [mm] \bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I} A_{ij}) [/mm] |
Hallo, ich habe eine direkte Verständnisfrage zu der Aufgabe. Was muß ich mir unter [mm] A_{ij}, \bigcup_{j \in J} A_{ij} [/mm] bzw. [mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}) [/mm] vorstellen? Ich versteh einfach nicht, welche Mengen damit jeweils gemeint sind.
Angenommen, I sei die Menge der Elemente (1,2,3), und J die Menge der Elemente (2,3,4,5).
Was sind dann [mm] A_{ij} [/mm] bzw die anderen? Ich würde den Beweis wenn möglich gern selbst erbringen, scheitere jedoch im Moment leider schon am Verständnis der Aufgabe.
Danke fürs lesen !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 19:58 So 22.10.2006 | | Autor: | matt57 |
Hallo
Versuche mal, Dir den Begriff der Indexmenge klarzumachen...
Ich vermute, dass dort die Lösung liegt. Mit i,j sind ja unter anderem geordnete Paare gemeint. Also benötigst Du auf jeden Fall irgend eine Idee die z.B. mit {1,2;1,3;1,4...;i,j} zu tun hat.
Wenn ich mich irre, bitte reagieren - habe selbst gerade mit dem Studium angefangen... und bin in Vielem noch im Dunkeln tappend!
Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:36 So 22.10.2006 | | Autor: | omni-vi |
Hallo, ich versuche nun schon seit Stunden zu verstehen, was es mit diesen seltsamen Mengen auf sich hat. Vor ein paar Minuten kam mir dann der folgende Gedanke, so dass ich glaube zumindestens die Indexmenge verstanden zu haben. Ich stelle es mir als 2d Array vor (kommt meinem Verstand am nächsten  )
Bsp:
Ich habe eine Menge M, und zu jedem k [mm] \in [/mm] M eine Menge [mm] N_k. [/mm] Das sieht dann so aus (nach meinem Verständnis):
M [mm] N_k
[/mm]
1 -> {1,2,3}
2 -> {7,9,3}
3 -> {0,3,5}
4 -> {3}
[mm] \bigcap_{k \in M} N_k [/mm] sind dann alle Werte, die in Jeder Menge [mm] N_k [/mm] sind, in diesem speziellen Fall also die 3. So wie ich das verstanden habe, müssen die Elemente dabei nur in [mm] N_k [/mm] sein, nicht jedoch in M.
[mm] \bigcup_{k \in M} N_k [/mm] wären dann also alle Elemente, die in in mindestens einem [mm] N_k [/mm] vorkommen, also (0,1,2,3,5,7,9).
Ich kann mir denken, das diese Erkentniss jetzt wohl ganz schön offensichtlich ist, und den meisten hier klar sein dürfte, aber ich habe echt die letzten 6 Stunden gebraucht, um das zu verstehen :).
Wenn ich mich irre, korrigiert mich bitte.
Die Kombination [mm] A_{ij} [/mm] verstehe ich allerdings immer noch nicht wirklich. Wie ordne ich die Paare da an?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:50 So 22.10.2006 | | Autor: | omni-vi |
| Aufgabe | Seien I, J [mm] \not= \emptyset [/mm] beliebige Mengen und für alle i [mm] \in [/mm] I, j [mm] \in [/mm] J sei [mm] A_{ij} [/mm] eine Menge. Man beweise oder widerlege:
[mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}) [/mm] = [mm] \bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I} A_{ij}) [/mm] |
Hallo,
also was [mm] A_{ij} [/mm] ist habe ich mittlerweile verstanden
Aber ein Teil der Frage ist noch offen:
[mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij})
[/mm]
Wie genau ist das anzuwenden? Also bilde ich erst den Durchschnitt, oder erst die Vereinigung? Warscheinlich die Vereinigung, weil sie näher an [mm] A_{ij} [/mm] steht :) ?! Aber welche Teilmengen vereinige ich da? Alle möglichen Kombinationen aus i und j? Oder muß ich eins fest lassen?
Danke :)
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> Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
> also was [mm]A_{ij}[/mm] ist habe ich mittlerweile verstanden
Bist Du Dir ganz sicher?
Da mich Deine Posts zu diesem Thema nicht überzeugt haben, erkläre ich es nochmal an einem Beispiel, wenn Dir alles schon klar ist, überlies es einfach:
Seien [mm] I:=\{1,2,3\} [/mm] und [mm] J:=\{a,b\}.
[/mm]
Was verbirgt sich nun hinter den Mengen [mm] A_{ij}?
[/mm]
Das sind die Mengen [mm] A_{1a}, A_{1b}, A_{2a}, A_{2b}, A_{3a}, A_{3b}.
[/mm]
Darüber, wie diese Mengen aussehen, weiß man nichts. Es ist einfach eine Möglichkeit, die Mengen zu zählen.
Das ganze hat nicht per se eine Bedeutung. Eine Bedeutung müßte man ihnen erst zuweisen.
Könnte man machen. Z.B.
[mm] A_{1a}:= [/mm] Menge aller Hosenknöpfe,
[mm] A_{1b}:= [/mm] Menge aller Zettel auf meinem Schreibtisch
[mm] A_{2a}:= \emptyset
[/mm]
[mm] A_{2b}:= \{Blumentopf, 35\}
[/mm]
[mm] A_{3a}:= [/mm] Menge der abgebrochenen Bleistifte auf meinem Schreibtisch
[mm] A_{3b}:= [/mm] Menge der roten Gegenstände
Oder so:
[mm] A_{ij}:= \{x | x=ki^j, K\in \IN \}.
[/mm]
Das bedeutet
[mm] A_{1a}:= \{x | x=k*1^a, K\in \IN \}= \{ 1*1^a, 2*1^a, 3*1^a,...\}
[/mm]
[mm] A_{1b}:= \{x | x=k*1^b, K\in \IN \}= \{ 1*1^b, 2*1^b, 3*1^b,...\}
[/mm]
[mm] A_{2a}:= \{x | x=k*2^a, K\in \IN \}= \{ 1*2^a, 2*2^a, 3*2^a,...\}
[/mm]
[mm] A_{2b}:= \{x | x=k*2^b, K\in \IN \}= \{ 1*2^b, 2*2^b, 3*2^b,...\}
[/mm]
[mm] A_{3a}:= \{x | x=k*3^a, K\in \IN \}= \{ 1*3^a, 2*3^a, 3*3^a,...\}
[/mm]
[mm] A_{3b}:= \{x | x=k*3^b, K\in \IN \}= \{ 1*3^b, 2*3^b, 3*3^b,...\}
[/mm]
>
> Aber ein Teil der Frage ist noch offen:
> [mm]\bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij})[/mm]
>
> Wie genau ist das anzuwenden? Also bilde ich erst den
> Durchschnitt, oder erst die Vereinigung? Warscheinlich die
> Vereinigung, weil sie näher an [mm]A_{ij}[/mm] steht :)
Zuerst die Vereinigung, weil die Klammer um [mm] \bigcup_{j \in J} A_{ij} [/mm] ein Befehl ist, das so zu machen.
Seien [mm] I:=\{1,2,3\} [/mm] und J:={a,b}.
Was verbirgt sich hinter
[mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}) [/mm] ?
Es ist [mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij})
[/mm]
[mm] =\bigcap_{i \in I}(A_{ia} \cup A_{ib})
[/mm]
[mm] =(A_{1a} \cup A_{2b}) \cap (A_{2a} \cup A_{2b}) \cap (A_{3a} \cup A_{3b})
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mo 23.10.2006 | | Autor: | omni-vi |
Hallo Angela,
vielen Dank für deine ausfühliche Antwort. So wie du die Mengen [mm] A_{ij} [/mm] beschrieben hast, dachte ich es mir auch, ich hab es nur nicht so schön formuliert .
Die Erklärung, wie ich Durchschnitt bzw Vereinigung zusammensetzen soll, waren sehr hilfreich, auch dafür nochmal vielen Dank :) !
Beste Grüße
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:41 So 22.10.2006 | | Autor: | omni-vi |
Okay, ich denke was [mm] A_{ij} [/mm] ist, habe ich jetzt verstanden. Es wird einfach jeder Kombination aus i und j eine neue Menge zugeordnet. Also ein 3d Array sozusagen.
Bsp (i,j = (0,1) )
i j [mm] A_{ij}
[/mm]
0 0 -> (0,1,2,3)
0 1 -> (2)
1 0 -> (2,3)
1 1 -> (1,3)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 Mo 23.10.2006 | | Autor: | omni-vi |
| Aufgabe | Seien I, J [mm] \not= \emptyset [/mm] beliebige Mengen und für alle i [mm] \in [/mm] I, j [mm] \in [/mm] J sei [mm] A_{ij} [/mm] eine Menge. Man beweise oder widerlege:
[mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}) [/mm] = [mm] \bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I} A_{ij}) [/mm] |
Hallo,
dank der Hilfe hier im Forum hab ich die Aufgabe jetzt verstanden (hoffe ich zumindestens ). Ich habe mich jetzt auch an einem Beweis versucht, und fände es schön wenn mir jemand sagte, ob der richtig ist.
Sei x [mm] \in \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}) [/mm] beliebig.
Wenn x [mm] \in \bigcup_{j \in J} A_{ij}, [/mm] dann ist es in mindestens einem [mm] A_{ij}. [/mm] Das heißt, es gibt ein [mm] j_0 \in [/mm] J, so das x [mm] \in A_{ij_0}. [/mm]
Außerdem ist ja laut Annahme x [mm] \in \bigcap_{i \in I}, [/mm] so dass x [mm] \in \bigcap_{i \in I}(A_{ij_0}). [/mm] Wenn es im Durchschnitt ist, muß es aber auch in jeder einzelnen Menge sein.
Für jedes i [mm] \in [/mm] I muß es also ein [mm] j_0 \in [/mm] J geben, so dass x [mm] \in A_{ij_0}.
[/mm]
Das heißt aber auch, für [mm] j_0 \in [/mm] J gilt für jedes i [mm] \in [/mm] I x [mm] \in A_{ij_0}. [/mm] (Kann ich diesen Umkerschluß hier ziehen? Ist das Korrekt? Das ist meiner Meinung nach nämlich der entscheidene Punkt des Beweises) Wenn der Schluß richtig ist, geht es dann wie folgt weiter:
Wenn es aber ein [mm] j_0 \in [/mm] J gibt, so dass für jedes i [mm] \in [/mm] I x [mm] \in A_{ij_0} [/mm] ist, so muß x natürlich auch [mm] \in \bigcap_{i \in I} A_{ij_0} [/mm] sein. Und da wir ja ein [mm] j_0 \in [/mm] J haben, ist [mm] j_0 [/mm] auch [mm] \in \bigcup_{j \in J}. [/mm] Also gilt auch x [mm] \in \bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I} A_{ij}).
[/mm]
So, jetzt nochmal mathematisch, wie ich es abgeben möchte:
Sei ein beliebiges x [mm] \in \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}).
[/mm]
x [mm] \in \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij})
[/mm]
[mm] \gdw \exists j_0 \in [/mm] J, so das x [mm] \in \bigcap_{i \in I}(A_{ij_0})
[/mm]
[mm] \gdw \forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I [mm] (\exists j_0 \in [/mm] J, so das x [mm] \in (A_{ij_0}))
[/mm]
[mm] \gdw \exists j_0 \in [/mm] J, so das [mm] (\forall [/mm] i [mm] \in [/mm] I x [mm] \in (A_{ij_0}))
[/mm]
[mm] \gdw \exists j_0 \in [/mm] J, so das [mm] \bigcap_{i \in I} A_{ij_0}
[/mm]
[mm] \gdw \bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I} A_{ij})
[/mm]
Also gilt [mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}) [/mm] = [mm] \bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I} A_{ij})
[/mm]
Da ich immer [mm] \gdw [/mm] verwende, kann man den Beweis in beide Richtungen anwenden, die Aussagen sind also äquivalent, und damit identisch.
So, Kritik willkommen :)
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> Für jedes i [mm]\in[/mm] I muß es also ein [mm]j_0 \in[/mm] J geben, so dass
> x [mm]\in A_{ij_0}.[/mm]
> Das heißt aber auch, für [mm]j_0 \in[/mm] J gilt
> für jedes i [mm]\in[/mm] I x [mm]\in A_{ij_0}.[/mm] (Kann ich diesen
> Umkerschluß hier ziehen? Ist das Korrekt? Das ist meiner
> Meinung nach nämlich der entscheidene Punkt des Beweises)
Nein, das geht leider nicht. Denn nur weil es für jedes $i [mm] \in [/mm] I$ ein $j [mm] \in [/mm] J$ gibt, heißt das nicht, dass es auch ein $j$ für jedes $i$ gibt!
Deshalb sind die beiden Mengen eben nicht gleich. In die Menge [mm] $\bigcap_{i \in I} \left( \bigcup_{j \in J} A_{ij} \right)$ [/mm] kommen alle $x$, für die gilt: zu jedem $i [mm] \in [/mm] I$ existiert ein $j [mm] \in [/mm] J$ mit $x [mm] \in A_{ij}$. [/mm] Das gefundene $j$ wird im Allgemeinen aber von $i$ abhängen!
Andererseits besteht die Menge [mm] $\bigcup_{j \in J} \left( \bigcap_{i \in I} A_{ij} \right)$ [/mm] aus denjenigen Elementen $x$, für die gilt: es gibt ein $j [mm] \in [/mm] J$, so dass für alle $i [mm] \in [/mm] I$ gilt: $x [mm] \in A_{ij}$.
[/mm]
Vielleicht besser umgangssprachlich: die Aussagen "Auf jeden Topf passt ein Deckel." und "Es gibt einen Deckel, der auf alle Töpfe passt." sind ja auch nicht identisch... 
Gruß,
Lars
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:06 Mo 23.10.2006 | | Autor: | omni-vi |
| Aufgabe | Seien I, J [mm] \not= \emptyset [/mm] beliebige Mengen und für alle i [mm] \in [/mm] I, j [mm] \in [/mm] J sei [mm] A_{ij} [/mm] eine Menge. Man beweise oder widerlege:
[mm] \bigcap_{i \in I}(\bigcup_{j \in J} A_{ij}) [/mm] = [mm] \bigcup_{j \in J}(\bigcap_{i \in I} A_{ij}) [/mm] |
Danke für die Antwort.
>In die Menge [mm] $\bigcap_{i \in I} \left( \bigcup_{j \in J} A_{ij} \right)$ [/mm] kommen alle $x$, für die gilt: zu >jedem $i [mm] \in [/mm] I$ existiert ein $j [mm] \in [/mm] J$ mit $x [mm] \in A_{ij}$. [/mm] Das gefundene $j$ wird im Allgemeinen aber >von $i$ abhängen!
>Andererseits besteht die Menge [mm] $\bigcup_{j \in J} \left( \bigcap_{i \in I} A_{ij} \right)$ [/mm] aus >denjenigen Elementen $x$, für die gilt: es gibt ein $j [mm] \in [/mm] J$, so dass für alle $i [mm] \in [/mm] I$ gilt: $x [mm] \in >A_{ij}$.
[/mm]
Hm, tja da hast du wohl völlig recht. Ich dachte mein Antwort sei richtig, daher hab ich nicht genug nachgedacht :(. Aber jetzt hab ich etwas über deiner Antwort gebrütet, und mir ist ein schönes Beispiel eingefallen, was ich jetzt noch abschließend bringen möchte, falls das hier noch jemand anders liest.
Seien [mm] I:=\{0,1\} [/mm] und [mm] J:=\{a,b\}.
[/mm]
[mm] A_{0a} [/mm] := [mm] {\Box}
[/mm]
[mm] A_{0b} [/mm] := [mm] {\emptyset}
[/mm]
[mm] A_{1a} [/mm] := [mm] {\emptyset}
[/mm]
[mm] A_{1b} [/mm] := [mm] {\Box}
[/mm]
$x$ := [mm] \Box
[/mm]
Dann [mm] \forall [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ [mm] \exists [/mm] $j [mm] \in [/mm] J$ mit $x [mm] \in A_{ij}$
[/mm]
Aber es gibt ebend kein $j [mm] \in [/mm] J$ so das [mm] \forall [/mm] $i [mm] \in [/mm] I$ $x [mm] \in A_{ij}$.
[/mm]
Nun damit ist der Beweis wohl auch vollständig, und ich kann die Lösung abgeben.
Danke an alle !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:08 Mo 23.10.2006 | | Autor: | omni-vi |
Sorry, das sollte keine neue Frage sein, sondern nur eine Mitteilung .
Das Problem ist für mich gelöst, ich habe keine Frage mehr.
Danke
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