Schnitt von Gerade + Ebene < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:07 Mi 07.10.2009 | | Autor: | low_head |
| Aufgabe | Durch [mm] 3x_{1}-2x_{2}+x_{3} [/mm] = 8 ist eine Ebene E1 gegeben. Die Punkte A(-5|4|-2) , B(-2|8|-3) und C(-6|5|3) liegen in einer Ebene E2. Des Weiteren ist eine Gerade g durch [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ -1}+t\vektor{-2 \\ 2 \\ 4} [/mm] gegeben.
Bestimme die Schnittpunkte [mm] S_{1} [/mm] und [mm] S_{2} [/mm] der Geraden g mit den Ebenen E1 und E2. |
[mm] S_{1}:
[/mm]
3(6-2t)-2(-3+2t)+1(-1+4t) =8
-> 18-6t+6-4t-1+4t = 8
-> -6t = -15
-> t = 2,5
Einsetzen von t in g:
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ -1}+2,5\vektor{-2 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{1 \\ 2 \\ 9}
[/mm]
[mm] S_{1} [/mm] (1|2|9)
[mm] S_{2}:
[/mm]
Mit den 3 Punkten die Parameterform aufstellen:
E2: [mm] \overrightarrow{x}=\vektor{5 \\ -4 \\ -2}+s\vektor{3 \\ 4 \\ -1}+t\vektor{-1 \\ 1 \\ 5}
[/mm]
Umwandeln in die Koordinatenform um das Gauss-Verfahren zu umgehen, da ich das nicht gut kann >.<
Mit Kreuzprodukt oder dem 2ten Verfahren, der Name ist mir entfallen den Normalenvektor ausrechen: [mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
d ausrechen:
[mm] \vektor{3 \\ -2 \\ 1} [/mm] * [mm] \vektor{5 \\ -4 \\ 2} [/mm] = 15+8+2 = 25
Koordinatenform: [mm] 3x_{1}-2x_{2}+x_{3} [/mm] = 25
Einstezen von g in die Koordinatenform:
3(6-2t)-2(-3+2t)+1(-1+4t) = 25
-> 18-6t+6-4t-1+4t = 25
-> -6t = 2
-> t = -1/3
Einsetzen von t in g:
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{6 \\ -3 \\ -1}-\bruch{1}{3}\vektor{-2 \\ 2 \\ 4}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{20/3 \\ -11/3 \\ -7/3}
[/mm]
Aber ich glaub das ist falsch.. die Zahlen sind so komisch..
Liebe Grüße, low.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:25 Mi 07.10.2009 | | Autor: | low_head |
Für d muss ich ja einen Punkt der Ebene mit dem Normalenvektor multiplizieren.
Ich nehme meinen Stützpunkt A (-5|4|-2)
[mm] \vektor{-5 \\ 4 \\ -2}*\vektor{3 \\ -2 \\ 1}= [/mm] -15-8-2=-25
dann setzte ich g in die Koordinatenform ein und erhalten:
t=8
und dann t in g und erhalte
[mm] \overrightarrow{x}=\vektor{-10\\ 13\\31}
[/mm]
richtig? >.<
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:25 Mi 07.10.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo low_head!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Das habe ich auch erhalten ...
Gruß
Loddar
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![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Hier hast Du beim 2. Vektor die Vorzeichen umgedreht. Es kommt heraus: $d \ = \ [mm] \red{-}25$ [/mm] .
